Вращения и отражения в двух измерениях

Математическая концепция

В евклидовой геометрии двумерные вращения и отражения представляют собой два вида изометрий евклидовой плоскости , которые связаны друг с другом.

Процесс

Вращение на плоскости может быть образовано путем составления пары отражений. Сначала отразим точку P в ее образ P′ по другую сторону от прямой L ₁ . Затем отразим точку P′ в ее образ P′′ по другую сторону от прямой L ₂ . Если прямые L ₁ и L ₂ образуют угол θ друг с другом, то точки P и P′′ будут образовывать угол 2 θ вокруг точки O , пересечения L ₁ и L ₂ . То есть, угол ∠ POP′′ будет иметь размер 2 θ .

Пара вращений вокруг одной и той же точки O будет эквивалентна другому вращению вокруг точки O. С другой стороны, композиция отражения и вращения или вращения и отражения (композиция не коммутативна ) будет эквивалентна отражению.

Математическое выражение

Вышеприведенные утверждения можно выразить более математически. Пусть поворот вокруг начала координат O на угол θ обозначается как Rot( θ ) . Пусть отражение относительно прямой L, проходящей через начало координат, которая образует угол θ с осью x , обозначается как Ref( θ ) . Пусть эти повороты и отражения действуют на все точки на плоскости, и пусть эти точки будут представлены векторами положения . Тогда поворот можно представить в виде матрицы , $${\displaystyle \operatorname {Rot} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},}$$

и также для размышления, $${\displaystyle \operatorname {Ref} (\theta )={\begin{bmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{bmatrix}}.}$$

При данных определениях вращения и отражения координат справедливы следующие четыре тождества : $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Rot} (\phi )&=\operatorname {Rot} (\theta +\phi ),\\[4pt]\operatorname {Ref} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Rot} (2\theta -2\phi ),\\[2pt]\operatorname {Rot} (\theta )\,\operatorname {Ref} (\phi )&=\operatorname {Ref} (\phi +{\tfrac {1}{2}}\theta ),\\[2pt]\operatorname {Ref} (\phi )\,\operatorname {Rot} (\theta )&=\operatorname {Ref} (\phi -{\tfrac {1}{2}}\theta ).\end{aligned}}}$$

Доказательство

Эти уравнения можно доказать с помощью простого умножения матриц и применения тригонометрических тождеств , в частности тождеств суммы и разности.

Множество всех отражений относительно прямых, проходящих через начало координат, и вращений вокруг начала координат вместе с операцией композиции отражений и вращений образует группу . Группа имеет тождество: Rot(0) . Каждое вращение Rot( φ ) имеет обратное Rot(− φ ) . Каждое отражение Ref( θ ) является своим собственным обратным. Композиция имеет замыкание и ассоциативна, поскольку умножение матриц ассоциативно.

Обратите внимание, что Ref( θ ) и Rot( θ ) представлены ортогональными матрицами . Все эти матрицы имеют определитель , абсолютное значение которого равно единице. Матрицы вращения имеют определитель +1, а матрицы отражения имеют определитель −1.

Множество всех ортогональных двумерных матриц вместе с матричным умножением образуют ортогональную группу : O (2) .

В следующей таблице приведены примеры матриц вращения и отражения:

Вращение осей

xy -декартова система координат , повернутая на угол в x′y′ -декартова система координат ${\displaystyle \theta }$

В математике поворот осей в двух измерениях — это отображение из xy — декартовой системы координат в x′y′ — декартову систему координат, в которой начало координат остается фиксированным, а оси x′ и y′ получаются поворотом осей x и y против часовой стрелки на угол . Точка P имеет координаты ( x , y ) относительно исходной системы и координаты ( x′ , y′ ) относительно новой системы. ^[1] В новой системе координат точка P будет казаться повернутой в противоположном направлении, то есть по часовой стрелке на угол . Поворот осей в более чем двух измерениях определяется аналогично. ^{[2] [3]} Поворот осей — это линейное отображение ^{[4] [5]} и жесткое преобразование . ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$

Смотрите также

• 2D компьютерная графика#Вращение
• Теорема Картана–Дьедонне
• По часовой стрелке
• Группа диэдра
• Изометрия евклидовой плоскости
• Евклидовы симметрии
• Мгновенный центр вращения
• Ортогональная группа
• Группа вращения SO(3) – 3 измерения

Ссылки

1. Проттер и Морри (1970, стр. 320)
2. Антон (1987, стр. 231)
3. Бремя и ярмарки (1993, стр. 532)
4. Антон (1987, стр. 247)
5. Борегар и Фрели (1973, стр. 266)

Источники

• Антон, Говард (1987), Элементарная линейная алгебра (5-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
• Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Берден, Ричард Л.; Фейрес, Дж. Дуглас (1993), Численный анализ (5-е изд.), Бостон: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3
• Проттер, Мюррей Х.; Моррей, Чарльз Б. младший (1970), College Calculus with Analytic Geometry (2-е изд.), Reading: Addison-Wesley , LCCN  76087042