Вторая производная

Математическая операция

Вторая производная квадратичной функции постоянна .

В исчислении вторая производная или производная второго порядка функции f является производной производной f . Неофициально вторую производную можно сформулировать как «скорость изменения скорости изменения»; например, вторая производная положения объекта по времени — это мгновенное ускорение объекта или скорость, с которой скорость объекта изменяется во времени. В обозначениях Лейбница :

$${\displaystyle a={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},}$$

avtxx ${\displaystyle {\tfrac {d^{2}x}{dt^{2}}}}$

На графике функции вторая производная соответствует кривизне или вогнутости графика . График функции с положительной второй производной вогнут вверх, а график функции с отрицательной второй производной изогнут в противоположную сторону.

Правило второй производной степени

Степенное правило для первой производной, если оно применяется дважды, приведет к получению второго степенного правила производной следующим образом:

$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}x^{n}={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}x^{n}={\frac {d}{dx}}\left(nx^{n-1}\right)=n{\frac {d}{dx}}x^{n-1}=n(n-1)x^{n-2}.}$$

Обозначения

Обычно обозначают вторую производную функции . ^{[1] [2]} То есть: ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f''(x)}$

$${\displaystyle f''=\left(f'\right)'}$$

обозначений Лейбницаyx

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.}$$

$${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).}$$

Пример

Учитывая функцию

$${\displaystyle f(x)=x^{3},}$$

f

$${\displaystyle f'(x)=3x^{2}.}$$

f ${\displaystyle f'}$

$${\displaystyle f''(x)=6x.}$$

Связь с графиком

Сюжет от до . Касательная линия синяя, где кривая вогнута вверх, зеленая, где кривая вогнута вниз, и красная в точках перегиба (0, /2 и ). ${\displaystyle f(x)=\sin(2x)}$ ${\displaystyle -\pi /4}$ ${\displaystyle 5\pi /4}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

вогнутость

Вторую производную функции f можно использовать для определения вогнутости графика f . ^[2] Функция, вторая производная которой положительна, будет вогнутой вверх (также называемой выпуклой), что означает, что касательная линия будет лежать ниже графика функции. Точно так же функция, вторая производная которой отрицательна, будет вогнутой вниз (также называемой просто вогнутой), а ее касательные линии будут лежать над графиком функции.

Точки перегиба

Если вторая производная функции меняет знак, график функции переключится с вогнутого вниз на вогнутый вверх или наоборот. Точка, в которой это происходит, называется точкой перегиба . Предполагая, что вторая производная непрерывна, она должна принимать нулевое значение в любой точке перегиба, хотя не каждая точка, где вторая производная равна нулю, обязательно является точкой перегиба.

Второй производный тест

Связь между второй производной и графиком можно использовать для проверки того, является ли стационарная точка функции (т. е. точка, где ) локальным максимумом или локальным минимумом . Конкретно, ${\displaystyle f'(x)=0}$

• Если , то имеет локальный максимум при . ${\displaystyle f''(x)<0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• Если , то имеет локальный минимум в . ${\displaystyle f''(x)>0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$
• Если , тест второй производной ничего не говорит о точке , возможной точке перегиба. ${\displaystyle f''(x)=0}$ ${\displaystyle x}$

Причину, по которой вторая производная дает такие результаты, можно увидеть на примере реальной аналогии. Рассмотрим транспортное средство, которое сначала движется вперед с большой скоростью, но с отрицательным ускорением. Очевидно, что положение транспортного средства в точке, где скорость достигает нуля, будет максимальным расстоянием от исходного положения – по истечении этого времени скорость станет отрицательной и транспортное средство начнет двигаться задним ходом. То же самое верно и для минимума, когда транспортное средство сначала имеет очень отрицательную скорость, но положительное ускорение.

Лимит

Для второй производной можно записать один предел :

$${\displaystyle f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.}$$

Предел называется второй симметричной производной . ^{[3] [4]} Обратите внимание, что вторая симметричная производная может существовать, даже если (обычная) вторая производная не существует.

Выражение справа можно записать как частное разности коэффициентов разности:

$${\displaystyle {\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\dfrac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\dfrac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.}$$

различияпоследовательностей

Однако существование указанного предела не означает, что функция имеет вторую производную. Приведенный выше предел просто дает возможность вычислить вторую производную, но не дает определения. Контрпримером является знаковая функция , которая определяется как: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}$

$${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}$$

Знаковая функция не является непрерывной в нуле, поэтому вторая производная не существует. Но вышеуказанный предел существует для : ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle x=0}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}}$$

Квадратичная аппроксимация

Точно так же, как первая производная связана с линейными приближениями , вторая производная связана с лучшим квадратичным приближением функции f . Это квадратичная функция , первая и вторая производные которой такие же, как у f в данной точке. Формула наилучшего квадратичного приближения функции f вокруг точки x = a :

$${\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.}$$

Это квадратичное приближение представляет собой полином Тейлораx = a

Собственные значения и собственные векторы второй производной

Для многих комбинаций граничных условий можно получить явные формулы для собственных значений и собственных векторов второй производной . Например, при условии, что граничные условия Дирихле однородны (т. е. где v — собственный вектор), собственные значения равны , а соответствующие собственные векторы (также называемые собственными функциями ) равны . Здесь для . _ ${\displaystyle x\in [0,L]}$ ${\displaystyle v(0)=v(L)=0}$ ${\displaystyle \lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}}$ ${\displaystyle v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)}$ ${\displaystyle v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x)}$ ${\displaystyle j=1,\ldots ,\infty }$

Другие известные случаи см. в разделе « Собственные значения и собственные векторы второй производной» .

Обобщение на более высокие измерения

Гессен

Вторая производная обобщается на более высокие измерения посредством понятия вторых частных производных . Для функции f : R ³ → R они включают три частичных выражения второго порядка.

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.}$$

Если изображение функции и область определения имеют потенциал, то они вместе образуют симметричную матрицу, известную как гессиан . Собственные значения этой матрицы можно использовать для реализации многопараметрического аналога теста второй производной. (См. также второй тест частной производной .)

Лапласиан

Другим распространенным обобщением второй производной является лапласиан . Это дифференциальный оператор (или ), определенный формулой ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ ${\displaystyle \Delta }$

$${\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}$$

градиентаматрицы Гессе

Смотрите также

• Веселость , вторая производная мгновенной фазы
• Конечная разность , используемая для аппроксимации второй производной.
• Второй тест частной производной
• Симметрия вторых производных

Рекомендации

1. «Содержание - Вторая производная» . amsi.org.au. _ Проверено 16 сентября 2020 г.
2. «Вторые производные». Математика24 . Проверено 16 сентября 2020 г.
3. А. Зигмунд (2002). Тригонометрический ряд . Издательство Кембриджского университета. стр. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.
4. Томсон, Брайан С. (1994). Симметричные свойства действительных функций . Марсель Деккер. п. 1. ISBN 0-8247-9230-0.

дальнейшее чтение

Распечатать

• Антон, Ховард; Бивенс, Ирландия; Дэвис, Стивен (2 февраля 2005 г.), Исчисление: ранние трансцендентальные измерения, одиночные и многомерные (8-е изд.), Нью-Йорк: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Апостол, Том М. (июнь 1967 г.), Calculus, Vol. 1: Исчисление с одной переменной и введение в линейную алгебру, том. 1 (2-е изд.), Уайли, ISBN 978-0-471-00005-1
• Апостол, Том М. (июнь 1969 г.), Calculus, Vol. 2: Исчисление многих переменных и линейная алгебра с приложениями , том. 1 (2-е изд.), Уайли, ISBN 978-0-471-00007-5
• Ивс, Ховард (2 января 1990 г.), Введение в историю математики (6-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-03-029558-4
• Ларсон, Рон; Хостетлер, Роберт П.; Эдвардс, Брюс Х. (28 февраля 2006 г.), Исчисление: ранние трансцендентные функции (4-е изд.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Спивак, Майкл (сентябрь 1994 г.), Исчисление (3-е изд.), Опубликуй или погибни, ISBN 978-0-914098-89-8
• Стюарт, Джеймс (24 декабря 2002 г.), Исчисление (5-е изд.), Брукс Коул, ISBN 978-0-534-39339-7
• Томпсон, Сильванус П. (8 сентября 1998 г.), Calculus Made Easy (пересмотренное, обновленное, расширенное издание), Нью-Йорк: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

Интернет-книги

• Кроуэлл, Бенджамин (2003), Исчисление
• Гаррет, Пол (2004), Заметки по исчислению для первокурсников
• Хусейн, Фараз (2006), Понимание исчисления
• Кейслер, Х. Джером (2000), Элементарное исчисление: подход с использованием бесконечно малых
• Маух, Шон (2004), Полная версия книги Шона по прикладной математике, заархивировано из оригинала 15 апреля 2006 г.
• Слотер, Дэн (2000), От разностных уравнений к дифференциальным уравнениям
• Стрэнг, Гилберт (1991), исчисление
• Строян, Кейт Д. (1997), Краткое введение в исчисление бесконечно малых , заархивировано из оригинала 11 сентября 2005 г.
• Викибуки, Исчисление

Внешние ссылки

• Дискретная вторая производная от неравномерно расположенных точек