матрица Ганкеля

Квадратная матрица, в которой каждая восходящая косая диагональ слева направо является постоянной.

В линейной алгебре матрица Ганкеля (или каталектическая матрица ), названная в честь Германа Ганкеля , представляет собой квадратную матрицу , в которой каждая восходящая косая диагональ слева направо является константой. Например,

$${\displaystyle \qquad {\begin{bmatrix}a&b&c&d&e\\b&c&d&e&f\\c&d&e&f&g\\d&e&f&g&h\\e&f&g&h&i\\\end{bmatrix}}.}$$

В более общем смысле матрица Ганкеля — это любая матрица вида ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{0}&a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n-1}\\a_{1}&a_{2}&&&\vdots \\a_{2}&&&&a_{2n-4}\\\vdots &&&a_{2n-4}&a_{2n-3}\\a_{n-1}&\ldots &a_{2n-4}&a_{2n-3}&a_{2n-2}\end{bmatrix}}.}$$

С точки зрения компонентов, если элемент обозначить как , и предполагая , то мы имеем для всех ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{ij}}$ ${\displaystyle i\leq j}$ ${\displaystyle A_{i,j}=A_{i+k,j-k}}$ ${\displaystyle k=0,...,j-i.}$

Характеристики

• Любая матрица Ганкеля симметрична .
• Пусть — матрица обмена . Если — матрица Ганкеля, то где — матрица Тёплица . ${\displaystyle J_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle m\times n}$
  • Если является вещественно симметричным, то будет иметь те же собственные значения, что и с точностью до знака. ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H=TJ_{n}}$ ${\displaystyle T}$
• Матрица Гильберта является примером матрицы Ганкеля.
• Определитель матрицы Ганкеля называется каталектикантом .

оператор Ганкеля

Для формального ряда Лорана соответствующий оператор Ганкеля определяется как ^[2] Это берет многочлен и отправляет его в произведение , но отбрасывает все степени с неотрицательным показателем, так что дает элемент в , формальный степенной ряд со строго отрицательными показателями. Отображение естественным образом -линейно, и его матрица относительно элементов и является матрицей Ганкеля Любая матрица Ганкеля возникает таким образом. Теорема Кронекера гласит, что ранг этой матрицы конечен в точности, если является рациональной функцией , то есть дробью двух многочленов $${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{N}a_{n}z^{n},}$$ $${\displaystyle H_{f}:\mathbf {C} [z]\to \mathbf {z} ^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]].}$$ ${\displaystyle g\in \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$ ${\displaystyle H_{f}}$ ${\displaystyle \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle 1,z,z^{2},\dots \in \mathbf {C} [z]}$ ${\displaystyle z^{-1},z^{-2},\dots \in z^{-1}\mathbf {C} [[z^{-1}]]}$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots \\a_{2}&a_{3}&\ldots \\a_{3}&a_{4}&\ldots \\\vdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}.}$$ ${\displaystyle f}$ $${\displaystyle f(z)={\frac {p(z)}{q(z)}}.}$$

Приближения

Мы часто интересуемся приближениями операторов Ганкеля, возможно, операторами низкого порядка. Чтобы аппроксимировать выход оператора, мы можем использовать спектральную норму (норму оператора 2) для измерения погрешности нашего приближения. Это предполагает сингулярное разложение как возможный метод аппроксимации действия оператора.

Обратите внимание, что матрица не обязательно должна быть конечной. Если она бесконечна, традиционные методы вычисления отдельных сингулярных векторов не будут работать напрямую. Мы также требуем, чтобы аппроксимация была матрицей Ганкеля, что можно показать с помощью теории AAK. ${\displaystyle A}$

Преобразование матрицы Ганкеля

Преобразование матрицы Ганкеля , или просто преобразование Ганкеля , последовательности — это последовательность определителей матриц Ганкеля, образованных из . Для данного целого числа определите соответствующую -мерную матрицу Ганкеля как имеющую матричные элементы Тогда последовательность, заданная как является преобразованием Ганкеля последовательности Преобразование Ганкеля инвариантно относительно биномиального преобразования последовательности . То есть, если записать как биномиальное преобразование последовательности , то получим ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle b_{k}}$ ${\displaystyle n>0}$ ${\displaystyle (n\times n)}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle [B_{n}]_{i,j}=b_{i+j}.}$ ${\displaystyle h_{n}}$ $${\displaystyle h_{n}=\det B_{n}}$$ ${\displaystyle b_{k}.}$ $${\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}b_{k}}$$ ${\displaystyle b_{n}}$ ${\displaystyle \det B_{n}=\det C_{n}.}$

Применение матриц Ганкеля

Матрицы Ганкеля формируются, когда при заданной последовательности выходных данных требуется реализация базового пространства состояний или скрытой марковской модели . ^[3] Сингулярное разложение матрицы Ганкеля обеспечивает средство вычисления матриц A , B и C , которые определяют реализацию пространства состояний. ^[4] Матрица Ганкеля, сформированная из сигнала, оказалась полезной для разложения нестационарных сигналов и представления времени и частоты.

Метод моментов для полиномиальных распределений

Метод моментов, примененный к полиномиальным распределениям, приводит к матрице Ганкеля, которую необходимо инвертировать для получения весовых параметров аппроксимации полиномиального распределения. ^[5]

Положительные матрицы Ганкеля и проблемы моментов Гамбургера

Смотрите также

• Матрица Коши
• оператор Якоби
• Матрица Теплица , «перевернутая» (то есть перевернутая строка) матрица Ганкеля
• Матрица Вандермонда

Примечания

1. Ясуда, М. (2003). «Спектральная характеристика эрмитовых центросимметричных и эрмитовых косоцентросимметричных K-матриц». SIAM J. Matrix Anal. Appl . 25 (3): 601–605. doi :10.1137/S0895479802418835.
2. Фурманн 2012, §8.3
3. Аоки, Масанао (1983). «Прогнозирование временных рядов». Заметки об экономическом анализе временных рядов: системно-теоретические перспективы . Нью-Йорк: Springer. С. 38–47. ISBN 0-387-12696-1.
4. Аоки, Масанао (1983). «Определение ранга матриц Ганкеля». Заметки об экономическом анализе временных рядов: системные теоретические перспективы . Нью-Йорк: Springer. С. 67–68. ISBN 0-387-12696-1.
5. J. Munkhammar, L. Mattsson, J. Rydén (2017) "Оценка полиномиального распределения вероятностей с использованием метода моментов". PLoS ONE 12(4): e0174573. https://doi.org/10.1371/journal.pone.0174573

Ссылки

• Брент РП (1999), «Устойчивость быстрых алгоритмов для структурированных линейных систем», Быстрые надежные алгоритмы для матриц со структурой (редакторы — Т. Кайлат, А. Х. Сайед), гл.4 ( SIAM ).
• Фурманн, Пол А. (2012). Полиномиальный подход к линейной алгебре . Universitext (2-е изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer. doi :10.1007/978-1-4614-0338-8. ISBN 978-1-4614-0337-1. Збл  1239.15001.

• Victor Y. Pan (2001). Структурированные матрицы и полиномы: унифицированные сверхбыстрые алгоритмы . Биркхойзер . ISBN 0817642404.
• JR Partington (1988). Введение в операторы Ганкеля . LMS Student Texts. Том 13. Cambridge University Press . ISBN 0-521-36791-3.