Гармоническая форма Мааса

Математическая функция

В математике слабая форма Мааса — это гладкая функция на верхней полуплоскости , преобразующаяся подобно модулярной форме под действием модулярной группы , являющаяся собственной функцией соответствующего гиперболического оператора Лапласа и имеющая не более линейного экспоненциального роста в точках возврата . Если собственное значение под лапласианом равно нулю, то называется гармонической слабой формой Мааса или кратко гармонической формой Мааса . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Слабая форма волны Маасса, которая на самом деле имеет умеренный рост на вершинах, является классической формой волны Маасса .

Разложения Фурье гармонических форм Мааса часто кодируют интересные комбинаторные, арифметические или геометрические производящие функции. Регуляризованные тета-лифты гармонических форм Мааса могут быть использованы для построения функций Грина Аракелова для специальных делителей на ортогональных многообразиях Шимуры .

Определение

Комплекснозначная гладкая функция на верхней полуплоскости H = { z ∈ C :  Im ( z ) > 0}  называется слабой формой Мааса целого веса k (для группы SL(2, Z ) ) , если она удовлетворяет следующим трем условиям: ${\displaystyle f}$  

(1) Для каждой матрицы функция удовлетворяет закону модульного преобразования ${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\text{SL}}(2,\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=(cz+d)^{k}f(z).}$

(2) является собственной функцией гиперболического лапласиана веса k ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \Delta _{k}=-y^{2}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)+iky\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right),}$

где ${\displaystyle z=x+iy.}$

(3) имеет максимум линейный экспоненциальный рост в точке возврата, то есть существует константа C > 0 такая, что f  ( z ) = O ( e ^Cy ) при ${\displaystyle f}$  ${\displaystyle y\to \infty .}$

Если — слабая форма Мааса с собственным значением 0 при , то есть, если , то называется гармонической слабой формой Мааса или кратко — гармонической формой Мааса . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta _{k}}$ ${\displaystyle \Delta _{k}f=0}$ ${\displaystyle f}$

Основные свойства

Каждая гармоническая форма Мааса веса имеет разложение Фурье вида ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(z)=\sum \nolimits _{n\geq n^{+}}c^{+}(n)q^{n}+\sum \nolimits _{n\leq n^{-}}c^{-}(n)\Gamma (1-k,-4\pi ny)q^{n},}$

где q = e ^2πiz , и являются целыми числами, зависящими от Более того,  ${\displaystyle n^{+},n^{-}}$ ${\displaystyle f.}$

${\displaystyle \Gamma (s,y)=\int _{y}^{\infty }t^{s-1}e^{-t}dt}$

обозначает неполную гамма-функцию (которая должна быть интерпретирована соответствующим образом при n =0  ). Первое слагаемое называется голоморфной частью , а второе слагаемое называется неголоморфной частью  ${\displaystyle f.}$

Существует комплексный антилинейный дифференциальный оператор, определяемый формулой ${\displaystyle \xi _{k}}$

${\displaystyle \xi _{k}(f)(z)=2iy^{k}{\overline {{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}f(z)}}.}$

Так как , образ гармонической формы Мааса слабо голоморфен. Следовательно, определяет отображение из векторного пространства гармонических форм Мааса веса в пространство слабо голоморфных модулярных форм веса Было доказано Брюнье и Функе ^[1] (для произвольных весов, систем множителей и подгрупп конгруэнции), что это отображение сюръективно. Следовательно, существует точная последовательность ${\displaystyle \Delta _{k}=-\xi _{2-k}\xi _{k}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$ ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M_{2-k}^{!}}$ ${\displaystyle 2-k.}$

${\displaystyle 0\to M_{k}^{!}\to H_{k}\to M_{2-k}^{!}\to 0,}$

обеспечивая связь с алгебраической теорией модулярных форм. Важным подпространством является пространство тех гармонических форм Мааса, которые отображаются в формы каспа под . ${\displaystyle H_{k}}$ ${\displaystyle H_{k}^{+}}$ ${\displaystyle \xi _{k}}$

Если гармонические формы Мааса интерпретировать как гармонические сечения линейного расслоения модулярных форм веса, снабженного метрикой Петерссона над модулярной кривой, то этот дифференциальный оператор можно рассматривать как композицию оператора звезды Ходжа и антиголоморфного дифференциала. Понятие гармонических форм Мааса естественным образом обобщается на произвольные конгруэнтные подгруппы и (скалярные и векторные) системы множителей. ${\displaystyle k}$

Примеры

• Каждая слабо голоморфная модулярная форма является гармонической формой Маасса.
• Неголоморфный ряд Эйзенштейна

${\displaystyle E_{2}(z)=1-{\frac {3}{\pi y}}-24\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{1}(n)q^{n}}$

веса 2 является гармонической формой Маасса веса 2.

• Ряд Эйзенштейна E 3/2 _Загира веса 3/2 ^[2] является гармонической формой Мааса веса 3/2 (для группы Γ ₀ (4) ). Ее образ под является ненулевым кратным тета-функции Якоби   ${\displaystyle \xi _{3/2}}$

${\displaystyle \theta (z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }q^{n^{2}}.}$

• Производная некогерентного ряда Эйзенштейна веса 1, связанного с мнимым квадратичным порядком ^[3], представляет собой гармоническую форму Маасса веса 1.
• Фиктивная модулярная форма ^[4] является голоморфной частью гармонической формы Маасса.
• Ряды Пуанкаре , построенные с помощью функции M-Уиттекера, являются слабыми формами Маасса. ^{[5] [6]} Когда спектральный параметр конкретизируется до гармонической точки, они приводят к гармоническим формам Маасса.
• Оценка дзета-функции Вейерштрасса в интеграле Эйхлера новой формы веса 2, соответствующей рациональной эллиптической кривой E, может быть использована для связывания гармонической формы Маасса веса 0 с E. ^[7]    
• Одновременный порождающий ряд для значений на делителях Хегнера и интегралов вдоль геодезических циклов J -функции Клейна (нормализованной таким образом, что постоянный член равен нулю) является гармонической формой Маасса веса 1/2. ^[8]

История

Вышеприведенное абстрактное определение гармонических форм Мааса вместе с систематическим исследованием их основных свойств было впервые дано Бруинье и Функе. ^[1] Однако многие примеры, такие как ряды Эйзенштейна и ряды Пуанкаре, уже были известны ранее. Независимо от этого, Цвегерс разработал теорию фиктивных модульных форм, которая также связана с гармоническими формами Мааса. ^[4]

Алгебраическая теория целочисленных весовых гармонических форм Мааса в стиле Каца была разработана Канделори. ^[9]

Цитаты

1. Bruinier & Funke 2004, стр. 45–90.
2. Загир 1975, стр. 883–886.
3. Кудла, Рапопорт и Ян 1999, стр. 347–385.
4. Zwegers 2002.
5. Фэй 1977, стр. 143–203.
6. Хейхал 1983.
7. Альфес и др. 2015.
8. Герцог, Имамоглу и Тот 2011, стр. 947–981.
9. Канделори 2014, стр. 489–517.

Цитируемые работы

• Альфес, Клаудия; Гриффин, Майкл; Оно, Кен; Ролен, Ларри (2015). «Мнимые модулярные формы Вейерштрасса и эллиптические кривые». Исследования по теории чисел . 1 (24). arXiv : 1406.0443 .
• Bruinier, Jan Hendrik; Funke, Jens (2004). «О двух геометрических тета-лифтах». Duke Mathematical Journal . 125 (1): 45–90. arXiv : math/0212286 . doi :10.1215/S0012-7094-04-12513-8. ISSN  0012-7094. MR  2097357. S2CID  2078210.
• Канделори, Лука (2014). «Гармонические слабые формы Мааса: геометрический подход». Математические Аннален . 360 (1–2): 489–517. дои : 10.1007/s00208-014-1043-5. S2CID  119474785.
• Дьюк, Уильям; Имамомлу, Озлем; Тот, Арпад (2011). «Циклические интегралы j-функции и фиктивные модулярные формы». Annals of Mathematics . Вторая серия. 173 (2): 947–981. doi : 10.4007/annals.2011.173.2.8 .
• Фэй, Джон (1977). «Коэффициенты Фурье резольвенты фуксовой группы». Журнал для королевы и математики . 294 : 143–203.
• Хейхал, Деннис (1983). Формула следа Сельберга для PSL(2,R) . Конспект лекций по математике. Том 1001. Springer-Verlag.
• Кудла, Стив; Рапопорт, Майкл; Янг, Тонгай (1999). «О производной ряда Эйзенштейна веса один». International Mathematics Research Notices . 1999 (7): 347–385. doi : 10.1155/S1073792899000185 .
• Загер, Дон (1975). «Номера классов и формы модулей 3/2». Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A (на французском языке). 281 : 883–886.
• Цвегерс, СП (2002). Mock Theta Functions (диссертация). Университет Утрехта. ISBN 978-903933155-2.

Дальнейшее чтение

• Оно, Кен (2009). «Раскрытие видений мастера: гармонические формы Мааса и теория чисел». В Джерисон, Дэвид; Мазур, Барри; Мровка, Томаш; Шмид, Вильфрид; Стэнли, Ричард П.; Яу, Шинг-Тунг (ред.). Текущие разработки в математике. Том 2008. International Press of Boston. С. 347–454. ISBN 978-157146139-1.