Теорема Гаусса–Бонне

Теорема дифференциальной геометрии

Пример сложной области, где применима теорема Гаусса–Бонне. Показывает знак геодезической кривизны.

В математической области дифференциальной геометрии теорема Гаусса – Бонне (или формула Гаусса–Бонне ) является фундаментальной формулой, которая связывает кривизну поверхности с ее базовой топологией .

В простейшем случае треугольника на плоскости сумма его углов составляет 180 градусов. ^[1] Теорема Гаусса–Бонне распространяет это на более сложные формы и криволинейные поверхности, соединяя локальную и глобальную геометрии.

Теорема названа в честь Карла Фридриха Гаусса , который разработал версию, но никогда не публиковал ее, и Пьера Оссиана Бонне , который опубликовал частный случай в 1848 году. ^{[ не проверено в тексте ]}

Заявление

Предположим, что M — компактное двумерное риманово многообразие с границей ∂ M. Пусть K — гауссова кривизна M , а k _g — геодезическая кривизна ∂ M. Тогда ^[2] [ ^3]

${\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,}$

где dA — элемент площади поверхности, а ds — линейный элемент вдоль границы M. Здесь χ ( M ) — эйлерова характеристика M .

Если граница ∂ M кусочно -гладкая , то мы интерпретируем интеграл ∫ _{∂ M} k _g ds как сумму соответствующих интегралов вдоль гладких участков границы плюс сумму углов , на которые гладкие участки поворачиваются в углах границы.

Многие стандартные доказательства используют теорему о поворотных касательных, которая приблизительно утверждает, что число оборотов жордановой кривой равно точно ±1. ^[2]

Простой пример

Предположим, что M — северное полушарие, вырезанное из сферы радиусом R. Его эйлерова характеристика равна 1. В левой части теоремы имеем и , поскольку граница — экватор, а экватор — геодезическая сферы. Тогда . ${\displaystyle K=1/R^{2}}$ ${\displaystyle k_{g}=0}$ ${\displaystyle \int _{M}KdA=2\pi }$

С другой стороны, предположим, что мы сплющиваем полусферу, превращая ее в диск. Это преобразование является гомеоморфизмом, поэтому эйлерова характеристика по-прежнему равна 1. Однако в левой части теоремы теперь имеем и , поскольку окружность не является геодезической плоскости. Тогда . ${\displaystyle K=0}$ ${\displaystyle k_{g}=1/R}$ ${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi }$

Наконец, возьмем октант сферы, также гомеоморфный предыдущим случаям. Тогда . Теперь почти всюду вдоль границы, которая является геодезическим треугольником. Но у нас есть три прямых угла, поэтому . ${\displaystyle \int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle k_{g}=0}$ ${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}}$

Интерпретация и значение

Теорема применима, в частности, к компактным поверхностям без границы, в этом случае интеграл

${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\,ds}$

можно опустить. Он утверждает, что полная гауссова кривизна такой замкнутой поверхности равна 2 π, умноженному на эйлерову характеристику поверхности. Обратите внимание, что для ориентируемых компактных поверхностей без границы эйлерова характеристика равна 2 − 2 g , где g — род поверхности: Любая ориентируемая компактная поверхность без границы топологически эквивалентна сфере с некоторыми прикрепленными ручками, а g подсчитывает количество ручек.

Если согнуть и деформировать поверхность M , ее эйлерова характеристика, будучи топологическим инвариантом, не изменится, в то время как кривизны в некоторых точках изменятся. Теорема утверждает, что несколько удивительно, что полный интеграл всех кривизн останется прежним, независимо от того, как была произведена деформация. Так, например, если у вас есть сфера с «вмятиной», то ее полная кривизна равна 4 π (эйлерова характеристика сферы равна 2), независимо от того, насколько велика или глубока вмятина.

Компактность поверхности имеет решающее значение. Рассмотрим, например, открытый единичный круг , некомпактную риманову поверхность без границы, с кривизной 0 и эйлеровой характеристикой 1: формула Гаусса–Бонне не работает. Однако она верна для компактного замкнутого единичного круга, который также имеет эйлерову характеристику 1, из-за добавленного граничного интеграла со значением 2 π .

В качестве приложения тор имеет эйлерову характеристику 0, поэтому его полная кривизна также должна быть равна нулю. Если тор несет обычную риманову метрику из своего вложения в R ³ , то внутренняя часть имеет отрицательную гауссову кривизну, внешняя часть имеет положительную гауссову кривизну, а полная кривизна действительно равна 0. Также возможно построить тор, отождествляя противоположные стороны квадрата, в этом случае риманова метрика на торе будет плоской и будет иметь постоянную кривизну 0, что снова приведет к полной кривизне 0. Невозможно указать риманову метрику на торе с всюду положительной или всюду отрицательной гауссовой кривизной.

Для треугольников

Иногда формулу Гаусса–Бонне формулируют как

${\displaystyle \int _{T}K=2\pi -\sum \alpha -\int _{\partial T}\kappa _{g},}$

где T — геодезический треугольник . Здесь мы определяем «треугольник» на M как односвязную область, граница которой состоит из трех геодезических . Затем мы можем применить GB к поверхности T, образованной внутренней частью этого треугольника и кусочной границей треугольника.

Геодезическая кривизна граничных геодезических равна 0, а эйлерова характеристика T равна 1.

Следовательно, сумма углов поворота геодезического треугольника равна 2π минус полная кривизна внутри треугольника. Поскольку угол поворота в углу равен π минус внутренний угол, мы можем перефразировать это следующим образом: ^[4]

Сумма внутренних углов геодезического треугольника равна π плюс полная кривизна, охватываемая треугольником: ${\displaystyle \sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.}$

В случае плоскости (где гауссова кривизна равна 0, а геодезические линии — прямые) мы восстанавливаем знакомую формулу для суммы углов в обычном треугольнике. На стандартной сфере, где кривизна везде равна 1, мы видим, что сумма углов геодезических треугольников всегда больше π .

Особые случаи

Ряд более ранних результатов в сферической геометрии и гиперболической геометрии, полученных в предыдущие столетия, были отнесены к частным случаям теории Гаусса–Бонне.

Треугольники

В сферической тригонометрии и гиперболической тригонометрии площадь треугольника пропорциональна величине, на которую сумма его внутренних углов не составляет 180°, или, что эквивалентно, (обратной) величине, на которую сумма его внешних углов не составляет 360°.

Площадь сферического треугольника пропорциональна его избытку по теореме Жирара — сумме, на которую его внутренние углы в сумме дают больше 180°, что равно сумме, на которую его внешние углы в сумме дают меньше 360°.

Площадь гиперболического треугольника , наоборот, пропорциональна его дефекту , как установил Иоганн Генрих Ламберт .

Многогранники

Теорема Декарта о полном угловом дефекте многогранника является многогранным аналогом: она утверждает, что сумма дефекта во всех вершинах многогранника, гомеоморфного сфере , равна 4 π . В более общем случае, если многогранник имеет эйлерову характеристику χ = 2 − 2 g (где g — род, означающий «число отверстий»), то сумма дефекта равна 2 πχ . Это частный случай Гаусса–Бонне, где кривизна сосредоточена в дискретных точках (вершинах).

Если рассматривать кривизну как меру , а не как функцию, то теорема Декарта представляет собой теорему Гаусса–Бонне, где кривизна является дискретной мерой , а теорема Гаусса–Бонне для мер обобщает как теорему Гаусса–Бонне для гладких многообразий, так и теорему Декарта.

Комбинаторный аналог

Существует несколько комбинаторных аналогов теоремы Гаусса–Бонне. Сформулируем следующий аналог. Пусть M — конечное двумерное псевдомногообразие . Пусть χ ( v ) обозначает число треугольников, содержащих вершину v . Тогда

${\displaystyle \sum _{v\,\in \,\operatorname {int} M}{\bigl (}6-\chi (v){\bigr )}+\sum _{v\,\in \,\partial M}{\bigl (}3-\chi (v){\bigr )}=6\chi (M),\ }$

где первая сумма распространяется на вершины внутри M , вторая сумма — на граничные вершины, а χ ( M ) — эйлерова характеристика M .

Аналогичные формулы можно получить для двумерного псевдомногообразия, если заменить треугольники на более высокие многоугольники. Для многоугольников с n вершинами необходимо заменить 3 и 6 в приведенной выше формуле на ⁠н/н − 2⁠ и ⁠2 н/н − 2⁠ , соответственно. Например, для четырехугольников мы должны заменить 3 и 6 в формуле выше на 2 и 4, соответственно. Более конкретно, если M — замкнутое 2-мерное цифровое многообразие , то род оказывается ^[5]

${\displaystyle g=1+{\frac {M_{5}+2M_{6}-M_{3}}{8}},}$

где M _i указывает число точек поверхности, каждая из которых имеет i смежных точек на поверхности. Это простейшая формула теоремы Гаусса–Бонне в трехмерном цифровом пространстве.

Обобщения

Теорема Черна (по Шиинг-Шен Черну 1945) является 2 n -мерным обобщением GB (см. также гомоморфизм Черна–Вейля ).

Теорему Римана–Роха можно также рассматривать как обобщение GB на комплексные многообразия .

Далеко идущим обобщением, включающим все вышеупомянутые теоремы, является теорема Атьи–Зингера об индексе .

Обобщением на 2-многообразия, которые не обязательно должны быть компактными, является неравенство Кона-Фоссена .

В популярной культуре

Скульптура из плоских материалов с использованием теоремы Гаусса-Бонне

В романе Грега Игана «Диаспора » два персонажа обсуждают вывод этой теоремы.

Теорема может быть использована непосредственно как система для управления скульптурой - например, в работе Эдмунда Харриса в коллекции Колледжа почета Университета Арканзаса . ^[6]

Смотрите также

• Теорема Черна–Гаусса–Бонне
• Теорема Атьи–Зингера об индексе

Ссылки

1. Черн, Шиинг-Шен (4 марта 1998 г.). "Интервью с Шиинг-Шен Черн" (PDF) (Интервью). Интервью взято Эллином Джексоном . Получено 22 июля 2019 г.
2. до Карму, Манфредо Пердигао (1992). Риманова геометрия . Бостон: Биркхойзер. ISBN 0817634908. OCLC  24667701.
3. do Carmo, Manfredo Perdigão (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall. ISBN 0132125897. OCLC  1529515.
4. Уикс, Джеффри Р. (12.12.2001). Форма пространства. CRC Press. doi :10.1201/9780203912669. ISBN 9780203912669– через Тейлор и Фрэнсис .
5. Чэнь, Ли; Ронг, Юнву (август 2010 г.). «Цифровой топологический метод вычисления рода и чисел Бетти». Топология и ее приложения . 157 (12): 1931–1936. doi : 10.1016/j.topol.2010.04.006 .
6. Харрис, Эдмунд (2020). «Скульптура Гаусса-Бонне». Труды Bridges 2020: Математика, Искусство, Музыка, Архитектура, Образование, Культура . 2020 : 137–144 . Получено 17.11.2020 .

Дальнейшее чтение

• Гринфельд, Павел (2014). Введение в тензорный анализ и исчисление подвижных поверхностей . Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.
• «Теорема Гаусса–Бонне», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

Внешние ссылки

• Теорема Гаусса–Бонне в Wolfram Mathworld