Поперечная проекция Меркатора

Адаптация стандартной проекции Меркатора

Поперечная проекция Меркатора

Поперечная картографическая проекция Меркатора ( TM , TMP ) является адаптацией стандартной проекции Меркатора . Поперечная версия широко используется в национальных и международных картографических системах по всему миру, включая универсальную поперечную проекцию Меркатора . В сочетании с подходящим геодезическим датумом поперечная проекция Меркатора обеспечивает высокую точность в зонах менее нескольких градусов в направлении с востока на запад.

Стандартные и поперечные аспекты

Сравнение касательных и секущих форм нормальной, косой и поперечной проекций Меркатора со стандартными параллелями красного цвета

Поперечная проекция Меркатора является поперечным аспектом стандартной (или нормальной ) проекции Меркатора. Они имеют одну и ту же базовую математическую конструкцию, и, следовательно, поперечная проекция Меркатора наследует многие черты от нормальной проекции Меркатора:

• Обе проекции являются цилиндрическими : для нормальной проекции Меркатора ось цилиндра совпадает с полярной осью, а линия касания — с экватором. Для поперечной проекции Меркатора ось цилиндра лежит в экваториальной плоскости, а линия касания — любой выбранный меридиан, тем самым обозначаемый как центральный меридиан .
• Обе проекции могут быть преобразованы в секущие формы, что означает уменьшение масштаба таким образом, чтобы цилиндр пересекал модельный глобус.
• Оба существуют в сферической и эллипсоидальной формах.
• Обе проекции являются конформными , так что масштаб точки не зависит от направления, а локальные формы хорошо сохраняются;
• Обе проекции имеют постоянный масштаб на линии касания (экватор для нормальной проекции Меркатора и центральный меридиан для поперечной).

Поскольку центральный меридиан поперечной проекции Меркатора может быть выбран по желанию, его можно использовать для построения высокоточных карт (узкой ширины) в любой точке земного шара. Секущая, эллипсоидальная форма поперечной проекции Меркатора является наиболее широко применяемой из всех проекций для точных крупномасштабных карт.

Сферическая поперечная проекция Меркатора

При построении карты в любой проекции сфера обычно выбирается для моделирования Земли, когда протяженность отображаемой области превышает несколько сотен километров в длину в обоих измерениях. Для карт меньших областей следует выбирать эллипсоидальную модель , если требуется большая точность; см. следующий раздел. Сферическая форма поперечной проекции Меркатора была одной из семи новых проекций, представленных в 1772 году Иоганном Генрихом Ламбертом . ^{[1] [2]} (Текст также доступен в современном английском переводе. ^[3] ) Ламберт не давал названия своим проекциям; название поперечная Меркатор датируется второй половиной девятнадцатого века. ^[4] Основные свойства поперечной проекции здесь представлены в сравнении со свойствами нормальной проекции.

Нормальные и поперечные сферические проекции

Эллипсоидальная поперечная проекция Меркатора

Эллипсоидальная форма поперечной проекции Меркатора была разработана Карлом Фридрихом Гауссом в 1822 году ^[5] и дополнительно проанализирована Иоганном Генрихом Луи Крюгером в 1912 году ^[6].

Проекция известна под несколькими названиями: (эллипсоидальная) поперечная Меркатора в США; Гаусс-конформная или Гаусс-Крюгер в Европе; или Гаусс-Крюгер поперечная Меркатора в более общем смысле. Помимо того, что это просто синоним эллипсоидальной поперечной картографической проекции Меркатора, термин Гаусс-Крюгер может использоваться и в других, немного отличающихся значениях:

• Иногда этот термин используется для конкретного вычислительного метода для поперечной проекции Меркатора: то есть, как преобразовывать широту/долготу и проецируемые координаты. Не существует простой замкнутой формулы для этого, когда Земля моделируется как эллипсоид. Но метод Гаусса–Крюгера дает те же результаты, что и другие методы, по крайней мере, если вы достаточно близки к центральному меридиану: менее 100 градусов долготы, скажем. Дальше некоторые методы становятся неточными.
• Термин также используется для определенного набора поперечных проекций Меркатора, используемых в узких зонах в Европе и Южной Америке, по крайней мере в Германии, Турции, Австрии, Словении, Хорватии, Боснии и Герцеговине, Сербии, Черногории, Северной Македонии, Финляндии и Аргентине. Эта система Гаусса-Крюгера похожа на универсальную поперечную систему Меркатора, но центральные меридианы зон Гаусса-Крюгера находятся всего в 3° друг от друга, в отличие от 6° в UTM.

Проекция является конформной с постоянным масштабом на центральном меридиане. (Существуют и другие конформные обобщения поперечной проекции Меркатора от сферы до эллипсоида, но только проекция Гаусса-Крюгера имеет постоянный масштаб на центральном меридиане.) На протяжении двадцатого века поперечная проекция Меркатора Гаусса-Крюгера была принята в той или иной форме многими странами (и международными организациями); ^[7] кроме того, она обеспечивает основу для серии проекций Universal Transverse Mercator . Проекция Гаусса-Крюгера в настоящее время является наиболее широко используемой проекцией в точном крупномасштабном картографировании. ^{[ требуется ссылка ]}

Проекция, разработанная Гауссом и Крюгером, была выражена в терминах степенных рядов низкого порядка , которые, как предполагалось, расходятся в направлении восток-запад, точно так же, как в сферической версии. Это было доказано британским картографом Э. Х. Томпсоном, чья неопубликованная точная (замкнутая форма) версия проекции, сообщенная Лоуренсом Патриком Ли в 1976 году, ^[8] показала, что эллипсоидальная проекция конечна (ниже). Это самое поразительное различие между сферической и эллипсоидальной версиями поперечной проекции Меркатора: Гаусс-Крюгер дает разумную проекцию всего эллипсоида на плоскость, хотя ее основное применение заключается в точном крупномасштабном картографировании «вблизи» центрального меридиана. ^{[ требуется ссылка ]}

Эллипсоидальная поперечная проекция Меркатора: конечная проекция.

Функции

• Вблизи центрального меридиана (Гринвич в приведенном выше примере) проекция имеет малое искажение, и формы Африки, Западной Европы, Британских островов, Гренландии и Антарктиды выгодно отличаются от глобусов.
• Центральные области поперечных проекций на сфере и эллипсоиде неразличимы на мелкомасштабных проекциях, показанных здесь.
• Меридианы на 90° к востоку и западу от выбранного центрального меридиана проецируются на горизонтальные линии через полюса. Более отдаленное полушарие проецируется выше северного полюса и ниже южного полюса.
• Экватор делит пополам Африку, пересекает Южную Америку и затем продолжается до полной внешней границы проекции; верхний и нижний края, а также правый и левый края должны быть идентифицированы (т.е. они представляют собой одни и те же линии на земном шаре). (Индонезия разделена пополам.)
• Искажение увеличивается к правой и левой границам проекции, но не увеличивается до бесконечности. Обратите внимание на Галапагосские острова, где 90° западного меридиана встречается с экватором внизу слева.
• Карта является конформной. Линии, пересекающиеся под любым заданным углом на эллипсоиде, проецируются в линии, пересекающиеся под тем же углом на проекции. В частности, параллели и меридианы пересекаются под углом 90°.
• Фактор масштабирования точки не зависит от направления в любой точке, так что форма небольшой области достаточно хорошо сохраняется. Необходимым условием является то, что величина фактора масштабирования не должна слишком сильно меняться в рассматриваемой области. Обратите внимание, что в то время как Южная Америка сильно искажена, остров Цейлон достаточно мал, чтобы иметь разумную форму, хотя он и находится далеко от центрального меридиана.
• Выбор центрального меридиана сильно влияет на вид проекции. Если выбрано 90°W, то вся Америка приемлема. Если выбрано 145°E, то Дальний Восток хорош, а Австралия ориентирована севером вверх.

В большинстве приложений система координат Гаусса–Крюгера применяется к узкой полосе вблизи центральных меридианов, где различия между сферической и эллипсоидальной версиями невелики, но тем не менее важны для точного картографирования. Прямые ряды для масштаба, конвергенции и искажения являются функциями эксцентриситета и как широты, так и долготы на эллипсоиде: обратные ряды являются функциями эксцентриситета и как x, так и y на проекции. В секущей версии линии истинного масштаба на проекции больше не параллельны центральному меридиану; они слегка искривлены. Угол конвергенции между спроецированными меридианами и линиями сетки константы x больше не равен нулю (за исключением экватора), поэтому необходимо скорректировать пеленг сетки, чтобы получить азимут от истинного севера. Разница невелика, но ею нельзя пренебрегать, особенно на высоких широтах.

Реализации проекции Гаусса–Крюгера

В своей статье 1912 года ^[6] Крюгер представил два различных решения, различающихся здесь параметром расширения:

• Крюгер– n (пункты 5–8): Формулы для прямой проекции, дающие координаты x и y , являются разложениями четвертого порядка относительно третьего сплющивания n (отношение разности и суммы большой и малой осей эллипсоида). Коэффициенты выражены через широту ( φ ), долготу ( λ ), большую ось ( a ) и эксцентриситет ( e ). Обратные формулы для φ и λ также являются разложениями четвертого порядка относительно n, но с коэффициентами, выраженными через x , y , a и e .
• Крюгера– λ (пункты 13 и 14): Формулы, задающие координаты проекции x и y, являются разложениями (порядков 5 и 4 соответственно) по долготе λ , выраженной в радианах: коэффициенты выражаются через φ , a и e . Обратная проекция для φ и λ является разложением шестого порядка по отношению ⁠х/а⁠ , с коэффициентами, выраженными через y , a и e . (См. Поперечная проекция Меркатора: серия Редферна .)

Ряды Крюгера– λ были реализованы первыми, возможно, потому, что их было гораздо легче оценивать на ручных калькуляторах середины двадцатого века.

• Ли–Редфирн–ОСГБ : В 1945 году Л. П. Ли ^[9] подтвердил λ- расширения Крюгера и предложил их принятие OSGB ^[10], но Редфирн (1948) ^[11] указал, что они неточны из-за (a) относительно высоких широт Великобритании и (b) большой ширины картографируемой области, более 10 градусов долготы. Редфирн расширил ряд до восьмого порядка и рассмотрел, какие члены необходимы для достижения точности 1 мм (наземное измерение). Ряды Редфирна по-прежнему являются основой картографических проекций OSGB. ^[10]
• Thomas–UTM : λ- расширения Крюгера были также подтверждены Полом Томасом в 1952 году: ^[12] они легко доступны у Снайдера. ^[13] Его проекционные формулы, полностью эквивалентные представленным Редферном, были приняты Агентством по картографии Министерства обороны США в качестве основы для UTM . ^[14] Они также включены в преобразователь координат GEOTRANS ^[15] , предоставленный Управлением геоматики Национального агентства геопространственной разведки США.
• Другие страны : Серия Redfearn является основой для геодезического картографирования во многих странах: Австралия, Германия, Канада, Южная Африка и многие другие. (Список приведен в Приложении A.1 Stuifbergen 2009.) ^[16]
• Было предложено много вариантов серии Редфирна, но только те, которые были приняты национальными картографическими агентствами, имеют значение. Пример модификаций, не имеющих такого статуса, см. в разделе Поперечная проекция Меркатора: серия Боуринга . Все такие модификации были затмены мощью современных компьютеров и развитием n -серий высокого порядка, описанных ниже. Точные серии Редфирна, хотя и низкого порядка, нельзя игнорировать, поскольку они все еще закреплены в квазилегальных определениях OSGB и UTM и т. д.

Ряд Крюгера– n был реализован (до четвертого порядка по n ) следующими странами.

• Франция ^[17]
• Финляндия ^[18]
• Швеция ^[19]
• Япония ^[20]

Версии ряда Крюгера –n более высокого порядка были реализованы до седьмого порядка Энгзагером и Подером ^[21] и до десятого порядка Кавасе. ^[22] Помимо расширения ряда для преобразования между широтой и конформной широтой, Карни реализовал ряд до тридцатого порядка. ^[23]

Точный Гаусс–Крюгер и точность усеченного ряда

Точное решение EH Thompson описано LP Lee. ^[8] Оно построено в терминах эллиптических функций (определенных в главах 19 и 22 справочника NIST ^[24] ), которые могут быть вычислены с произвольной точностью с использованием алгебраических вычислительных систем, таких как Maxima. ^[25] Такая реализация точного решения описана Karney (2011). ^{[23] [26]}

Точное решение является ценным инструментом для оценки точности усеченных рядов n и λ. Например, исходный ряд Krüger– n 1912 года очень выгодно отличается от точных значений: они отличаются менее чем на 0,31 мкм в пределах 1000 км от центрального меридиана и менее чем на 1 мм к 6000 км. С другой стороны, разница между рядом Redfearn, используемым GEOTRANS, и точным решением составляет менее 1 мм к разнице долготы в 3 градуса, что соответствует расстоянию 334 км от центрального меридиана на экваторе, но всего лишь 35 км на северной границе зоны UTM. Таким образом, ряд Krüger– n намного лучше ряда Redfearn λ.

Серия Редфирна становится намного хуже по мере расширения зоны. Карни рассматривает Гренландию как поучительный пример. Длинный тонкий массив суши сосредоточен на 42W и в самой широкой точке находится не более чем в 750 км от этого меридиана, в то время как размах по долготе достигает почти 50 градусов. Крюгер– n имеет точность в пределах 1 мм, но версия Редфирна серии Крюгера– λ имеет максимальную ошибку в 1 километр.

Ряд Карни 8-го порядка (по n ) имеет точность до 5 морских миль в пределах 3900 км от центрального меридиана.

Формулы для сферической поперечной проекции Меркатора

Повторное рассмотрение сферической нормальной проекции Меркатора

Нормальный аспект касательной цилиндрической проекции сферы

Нормальные цилиндрические проекции описываются относительно цилиндра, касательного к экватору с осью вдоль полярной оси сферы. Цилиндрические проекции строятся так, что все точки на меридиане проецируются в точки с (где — радиус Земли ), а — предписанная функция . Для касательной нормальной проекции Меркатора (единственные) формулы, гарантирующие конформность, следующие: ^[27] ${\displaystyle x=a\lambda }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle x=a\lambda \,,\qquad y=a\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {\varphi }{2}}\right)\right]={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi }{1-\sin \varphi }}\right].}$

Конформность подразумевает, что точечный масштаб k не зависит от направления: он является функцией только широты:

${\displaystyle k(\varphi )=\sec \varphi .\,}$

Для секущей версии проекции в правой части всех этих уравнений имеется множитель k ₀ : это гарантирует, что масштаб на экваторе равен k _{0 .}

Нормальные и поперечные сетки

Поперечные сетки Меркатора

Рисунок слева показывает, как поперечный цилиндр связан с обычной сеткой на сфере. Он касается некоторого произвольно выбранного меридиана, а его ось перпендикулярна оси сферы. Оси x и y , определенные на рисунке, связаны с экватором и центральным меридианом точно так же, как для нормальной проекции. На рисунке справа повернутая сетка связана с поперечным цилиндром таким же образом, как нормальный цилиндр связан со стандартной сеткой. «Экватор», «полюса» (E и W) и «меридианы» повернутой сетки отождествляются с выбранным центральным меридианом, точками на экваторе в 90 градусах к востоку и западу от центрального меридиана и большими окружностями, проходящими через эти точки.

Поперечная геометрия Меркатора

Положение произвольной точки ( φ , λ ) на стандартной сетке также можно определить в терминах углов на повернутой сетке: φ′ (угол M′CP) является эффективной широтой, а − λ′ (угол M′CO) становится эффективной долготой. (Знак минус необходим для того, чтобы ( φ′ , λ′ ) были связаны с повернутой сеткой так же, как ( φ , λ ) связаны со стандартной сеткой). Декартовы оси ( x′ , y′ ) связаны с повернутой сеткой так же, как оси ( x , y ) связаны со стандартной сеткой.

Касательная поперечная проекция Меркатора определяет координаты ( x′ , y′ ) через − λ′ и φ′ с помощью формул преобразования касательной нормальной проекции Меркатора:

${\displaystyle x'=-a\lambda '\,\qquad y'={\frac {a}{2}}\ln \left[{\frac {1+\sin \varphi '}{1-\sin \varphi '}}\right].}$

Это преобразование проецирует центральный меридиан на прямую линию конечной длины и в то же время проецирует большие окружности через E и W (включая экватор) на бесконечные прямые линии, перпендикулярные центральному меридиану. Истинные параллели и меридианы (кроме экватора и центрального меридиана) не имеют простого отношения к повернутой сетке и проецируются на сложные кривые.

Связь между сетками

Углы двух сеток связаны с помощью сферической тригонометрии на сферическом треугольнике NM′P, определяемом истинным меридианом через начало координат, OM′N, истинным меридианом через произвольную точку, MPN, и большим кругом WM′PE. Результаты таковы: ^[27]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin \varphi '&=\sin \lambda \cos \varphi ,\\\tan \lambda '&=\sec \lambda \tan \varphi .\end{aligned}}}$

Формулы прямого преобразования

Прямые формулы, дающие декартовы координаты ( x , y ), немедленно следуют из вышеизложенного. Принимая x  =  y′ и y  = − x′ (и восстанавливая множители k ₀ для учета версий секущей)

${\displaystyle {\begin{aligned}x(\lambda ,\varphi )&={\frac {1}{2}}k_{0}a\ln \left[{\frac {1+\sin \lambda \cos \varphi }{1-\sin \lambda \cos \varphi }}\right],\\[5px]y(\lambda ,\varphi )&=k_{0}a\arctan \left[\sec \lambda \tan \varphi \right],\end{aligned}}}$

Вышеуказанные выражения приведены в работе Ламберта ^[1] , а также (без выводов) в работах Снайдера ^[13] , Мэлинга ^[28] и Осборна ^[27] (с полными подробностями).

Формулы обратного преобразования

Обращение приведенных выше уравнений дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda (x,y)&=\arctan \left[\sinh {\frac {x}{k_{0}a}}\sec {\frac {y}{k_{0}a}}\right],\\[5px]\varphi (x,y)&=\arcsin \left[{\mbox{sech}}\;{\frac {x}{k_{0}a}}\sin {\frac {y}{k_{0}a}}\right].\end{aligned}}}$

Шкала баллов

В терминах координат относительно повернутой сетки коэффициент масштабирования точек определяется как k  = sec  φ′ : он может быть выражен либо в терминах географических координат, либо в терминах координат проекции:

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\lambda ,\varphi )&={\frac {k_{0}}{\sqrt {1-\sin ^{2}\lambda \cos ^{2}\varphi }}},\\[5px]k(x,y)&=k_{0}\cosh \left({\frac {x}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

Второе выражение показывает, что масштабный фактор является просто функцией расстояния от центрального меридиана проекции. Типичное значение масштабного фактора равно k ₀  = 0,9996, так что k  = 1, когда x составляет приблизительно 180 км. Когда x составляет приблизительно 255 км и k ₀  = 1,0004: масштабный фактор находится в пределах 0,04% от единицы на полосе шириной около 510 км.

Конвергенция

Угол конвергенции

Угол конвергенции γ в точке проекции определяется углом, измеренным от проецируемого меридиана, который определяет истинный север, до линии сетки постоянной x , определяющей север сетки. Таким образом, γ положительно в квадранте к северу от экватора и к востоку от центрального меридиана, а также в квадранте к югу от экватора и к западу от центрального меридиана. Конвергенция должна быть добавлена ​​к пеленгу сетки, чтобы получить пеленг от истинного севера. Для секущей поперечной проекции Меркатора конвергенция может быть выражена ^[27] либо в терминах географических координат, либо в терминах координат проекции:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (\lambda ,\varphi )&=\arctan(\tan \lambda \sin \varphi ),\\[5px]\gamma (x,y)&=\arctan \left(\tanh {\frac {x}{k_{0}a}}\tan {\frac {y}{k_{0}a}}\right).\end{aligned}}}$

Формулы для поперечной эллипсоидальной проекции Меркатора

Подробности фактических реализаций

• Ряд Гаусса-Крюгера в долготе: Поперечная проекция Меркатора: Ряд Редферна
• Ряд Гаусса-Крюгера в n (третье сжатие): Поперечная проекция Меркатора: ряд сжатий
• Точная (замкнутая форма) поперечная проекция Меркатора: Поперечная проекция Меркатора: точное решение
• Ряд Редферна четвертого порядка по кратким формулам (пример): Поперечная проекция Меркатора: Ряд Боуринга

Координаты, сетки, восточное и северное направления

Координаты проекции, полученные в результате различных разработок эллипсоидальной поперечной проекции Меркатора, являются декартовыми координатами, такими, что центральный меридиан соответствует оси x , а экватор соответствует оси y . Как x, так и y определены для всех значений λ и ϕ . Проекция не определяет сетку: сетка является независимой конструкцией, которая может быть определена произвольно. На практике национальные реализации и UTM используют сетки, выровненные с декартовыми осями проекции, но они имеют конечную протяженность, с началами, которые не обязательно совпадают с пересечением центрального меридиана с экватором.

Истинное начало координат сетки всегда берется на центральном меридиане, так что координаты сетки будут отрицательными к западу от центрального меридиана. Чтобы избежать таких отрицательных координат сетки, стандартная практика определяет ложное начало координат к западу (и, возможно, к северу или югу) от начала координат сетки: координаты относительно ложного начала координат определяют восточное и северное направления , которые всегда будут положительными. Ложное восточное направление , E ₀ , является расстоянием истинного начала координат сетки к востоку от ложного начала координат. Ложное северное направление , N ₀ , является расстоянием истинного начала координат сетки к северу от ложного начала координат. Если истинное начало координат сетки находится на широте φ ₀ на центральном меридиане, а масштабный коэффициент центрального меридиана равен k _0, то эти определения дают восточное и северное направления следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=E_{0}+x(\lambda ,\varphi ),\\[5px]N&=N_{0}+y(\lambda ,\varphi )-k_{0}m(\varphi _{0}).\end{aligned}}}$

Термины «восток» и «север» не означают строго восточное и северное направления. Линии сетки поперечной проекции, кроме осей x и y , не проходят с севера на юг или с востока на запад, как это определено параллелями и меридианами. Это очевидно из глобальных проекций, показанных выше. Вблизи центрального меридиана различия невелики, но измеримы. Разница между линиями сетки север-юг и истинными меридианами — это угол конвергенции.

Смотрите также

• Список картографических проекций
• проекция Меркатора
• Масштаб (карта)
• Косая проекция Меркатора

Ссылки

1. Ламберт, Иоганн Генрих. 1772. Anmerkungen und Zusätze zur Entwerfung der Land- und Himmelscharten . In Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung, часть 3, раздел 6)
2. Альберт Вангерин (редактор), 1894. Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften ( 54 ). Опубликовано Вильгельмом Энгельманном. Это статья Ламберта с дополнительными комментариями редактора. Доступно в Исторической математической библиотеке Мичиганского университета.
3. Тоблер, Уолдо Р. (1972). «Заметки и комментарии о составе земных и небесных карт». Издательство Мичиганского университета. Архивировано из оригинала 2016-03-04.
4. Снайдер, Джон П. (1993). Сплющивание Земли: две тысячи лет картографических проекций . Издательство Чикагского университета. стр. 82. ISBN 978-0-226-76747-5.Это превосходный обзор практически всех известных прогнозов с древности до 1993 года.
5. Гаусс, Карл Фридрих, 1825. «Allgemeine Auflösung der Aufgabe: die Theile einer gegebnen Fläche auf einer andern gegebnen Fläche so abzubilden, daß die Abbildung dem Abgebildeten in den kleinsten Theilen ähnlich wird» Preisarbeit der Kopenhagener Akademie 1822. cher Astronomische Abhandlungen, Альтона , нет. 3, с. 5–30. [Перепечатано, 1894 г., Klassiker der Exakten Wissenschaften Оствальда, вып. 55: Лейпциг, Вильгельм Энгельманн, с. 57–81, под редакцией Альберта Вангерина, стр. 97–101. Также в Herausgegeben von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen в Kommission bei Julius Springer в Берлине, 1929, т. 12, стр. 1–9.]
6. Крюгер, Л. (1912). Konforme Abbildung des Erdellipsoids в Эбене . Королевский прусский геодезический институт, новая серия 52.
7. "Краткие материалы 1-го Европейского семинара по опорным сеткам, Испра, 27–29 октября 2003 г." (PDF) . Европейское агентство по окружающей среде . 2004-06-14. стр. 6 . Получено 2009-08-27 .ЕАОС рекомендует использовать поперечную проекцию Меркатора для конформного панъевропейского картографирования в масштабах более 1:500 000.
8. Lee, LP (1976). Конформные проекции на основе эллиптических функций . Cartographica Monographs . Том 16. Торонто: BV Gutsell, Йоркский университет. ISBN 0-919870-16-3.Приложение № 1 к The Canadian Cartographer 13. С. 1–14, 92–101 и 107–114.
9. Ли, Л. П. (1945). Обзор, том  8 (часть 58), стр. 142–152. Поперечная проекция Меркатора сфероида. (Опечатки и комментарии в томе  8 (часть 61), стр. 277–278.
10. Руководство по системам координат в Великобритании. Доступно в виде документа pdf на странице "Welcome to GPS Network". Архивировано из оригинала 2012-02-11 . Получено 2012-01-11 .
11. Редферн, Дж. К. Б. (1948). Обзор обзора, том  9 (часть 69), стр. 318–322, Поперечные формулы Меркатора.
12. Томас, Пол Д. (1952). Равноугольные проекции в геодезии и картографии . Вашингтон: Специальное издание Береговой и геодезической службы США 251.
13. Snyder, John P. (1987). Картографические проекции — рабочее руководство. Профессиональная статья Геологической службы США 1395. Типография правительства США, Вашингтон, округ КолумбияЭту статью можно скачать со страниц USGS. Она дает полную информацию о большинстве проекций, вместе с интересными вводными разделами, но не выводит ни одну из проекций из первых принципов.
14. Хагер, Дж. В.; Бехенский, Дж. Ф.; Дрю, Б. В. (1989). "Универсальные сетки: универсальная поперечная проекция Меркатора (UTM) и универсальная полярная стереографическая проекция (UPS)" (PDF) . Технический отчет TM 8358.2, Агентство картографии Министерства обороны .
15. «Офис геоматики». 2024.
16. N. Stuifbergen (2009). "Широкозонная поперечная проекция Меркатора" (PDF) . Канадский технический отчет по гидрографии и океанологии (262). Канадская гидрографическая служба. Архивировано из оригинала (PDF) 2016-08-09.
17. "Картографическая проекция траверса Меркатора" (PDF) . geodesie.ign.fr (на французском языке). Национальный географический институт . Январь 1995 года . Проверено 27 июля 2024 г.
18. Р. Куиттинен; Т. Сарьякоски; М. Олликайнен; М. Путанен; Р. Нуурос; П. Татиля; Дж. Пелтола; Р. Руотсалайнен; М. Олликайнен (2006). «ETRS89—järjestelmään liittyvät karttaprojektiot, tasokoordinaatistot ja karttalehtijako, Liite 1: Projektiokaavat» [картографические проекции, относящиеся к системе ETRS89, координаты уровней и разделение листов карты, Приложение 1: Формулы проекта] (PDF) . Технический отчет JHS (на финском языке). Финский геодезический институт.
19. "Конформная проекция Гаусса (поперечная проекция Меркатора): формулы Крюгера" (PDF) . Получено 27 июля 2024 г.
20. "座標を変換して経緯度、子午線収差角及び縮尺係数を求める計算" [Расчет для преобразования координат для получения долготы и широты, угла аберрации меридиана и масштабного коэффициента] (PDF) (на китайском языке). п. 22. Архивировано из оригинала (PDF) 8 мая 2018 г.
21. KE Engsager и K. Poder, 2007, Высокоточный всемирный алгоритм для поперечного картографирования Меркатора (почти), в Трудах XXIII Международной картографической конференции (ICC2007), Москва, стр. 2.1.2.
22. Кавасе, К. (2011): Общая формула для расчета длины дуги меридиана и ее применение для преобразования координат в проекции Гаусса-Крюгера, Бюллетень Управления геопространственной информации Японии , 59 , стр. 1–13
23. CFF Karney (2011). «Поперечная проекция Меркатора с точностью в несколько нанометров». Journal of Geodesy . 85 : 475–485. doi :10.1007/s00190-011-0445-3.
24. FWJ Olver; DW Lozier; RF Boisvert; CW Clark (2010). «Справочник NIST по математическим функциям». Cambridge University Press.
25. "Maxima - Система компьютерной алгебры". maxima.sourceforge.io . 2009 . Получено 2024-07-27 .
26. "Поперечная проекция Меркатора - препринт статьи и реализация алгоритмов на языке C++". geographiclib.sourceforge.io .
27. Проекции Меркатора Подробные выводы всех формул, цитируемых в этой статье
28. Малинг, Дерек Хилтон (1992). Системы координат и картографические проекции (второе издание). Pergamon Press. ISBN 978-0-08-037233-4..

Внешние ссылки

• Проекции, использованные для иллюстрации этой статьи, были подготовлены с использованием Geocart, который доступен на сайте Mapthematics Geocart 3