Карта Гаусса

Карта Гаусса обеспечивает отображение каждой точки кривой или поверхности в соответствующую точку единичной сферы. В этом примере кривизна 2D-поверхности отображается на одномерную единичную окружность.

В дифференциальной геометрии карта Гаусса поверхности — это функция , которая отображает каждую точку поверхности в единичный вектор , ортогональный поверхности в этой точке. А именно, для поверхности X в евклидовом пространстве R3 отображение Гаусса — это отображение ^N : X → S2 (где S2 — единичная сфера ⁾ такое, что для каждого ^p в X значение функции N ( p ) равно единичный вектор, ортогональный X в точке p . Карта Гаусса названа в честь Карла Ф. Гаусса .

Отображение Гаусса может быть определено (глобально) тогда и только тогда, когда поверхность ориентируема , и в этом случае ее степень равна половине эйлеровой характеристики . Карта Гаусса всегда может быть определена локально (т.е. на небольшом участке поверхности). Определитель Якобиана отображения Гаусса равен гауссовой кривизне , а дифференциал отображения Гаусса называется оператором формы .

Гаусс впервые написал проект по этой теме в 1825 году и опубликовал его в 1827 году.

Существует также карта Гаусса для ссылки , которая вычисляет число ссылок .

Обобщения

Отображение Гаусса можно определить для гиперповерхностей в R ⁿ как отображение гиперповерхности в единичную сферу S ^{n − 1}  ⊆  R ⁿ .

Для общего ориентированного k - подмногообразия в Rn ^также можно определить отображение Гаусса, а его целевым пространством является ориентированный грассманиан , т.е. набор всех ориентированных ^k - плоскостей в Rn . В этом случае точка подмногообразия отображается в ориентированное касательное подпространство. Можно также отобразить его ориентированное нормальное подпространство; они эквивалентны, как через ортогональное дополнение. В евклидовом 3-пространстве это говорит, что ориентированная 2-плоскость характеризуется ориентированной 1-прямой, что эквивалентно единичному нормальному вектору (как ), следовательно, это согласуется с определением выше. ${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}_{k,n}\cong {\tilde {G}}_{n-k,n}}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}_{1,n}\cong S^{n-1}}$

Наконец, понятие отображения Гаусса можно обобщить на ориентированное подмногообразие X размерности k в ориентированном объемлющем римановом многообразии M размерности n . В этом случае отображение Гаусса затем переходит от X к множеству касательных k -плоскостей в касательном расслоении TM . Целевое пространство для отображения Гаусса N представляет собой расслоение Грассмана , построенное на касательном расслоении TM . В случае , когда касательное расслоение тривиализуется (поэтому расслоение Грассмана становится отображением в грассманиан), и мы восстанавливаем предыдущее определение. ${\displaystyle M=\mathbf {R} ^{n}}$

Полная кривизна

Площадь изображения карты Гаусса называется полной кривизной и эквивалентна поверхностному интегралу от гауссовой кривизны . Это оригинальная интерпретация, данная Гауссом.

${\displaystyle \iint _{R}\pm |N_{u}\times N_{v}|\ du\,dv=\iint _{R}K|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv=\iint _{S}K\ dA}$

Теорема Гаусса – Бонне связывает полную кривизну поверхности с ее топологическими свойствами.

Куспиды карты Гаусса

Поверхность с параболической линией и ее карта Гаусса. Гребень проходит через параболическую линию, образуя точку возврата на карте Гаусса.

Карта Гаусса отражает многие свойства поверхности: когда поверхность имеет нулевую гауссову кривизну (то есть вдоль параболической линии ), карта Гаусса будет иметь катастрофу сгиба . Эта складка может содержать выступы , и эти выступы были подробно изучены Томасом Банчоффом , Теренсом Гаффни и Клинтом МакКрори. И параболические линии, и точка возврата являются устойчивыми явлениями и сохранятся при небольших деформациях поверхности. Куспиды возникают, когда:

1. Поверхность имеет двукасательную плоскость
2. Гребень пересекает параболическую линию
3. при замыкании множества точек перегиба асимптотических кривых поверхности.

Существует два типа точки возврата: эллиптическая точка возврата и гиперболическая точка возврата .

Рекомендации

• Гаусс, К.Ф., Общие исследования около поверхностных кривых (1827 г.)
• Гаусс К. Ф., Общие исследования искривленных поверхностей , английский перевод. Хьюлетт, Нью-Йорк: Raven Press (1965).
• Банчофф Т., Гаффни Т., МакКрори К., Каспы отображений Гаусса , (1982) Исследовательские заметки по математике 55, Питман, Лондон. онлайн-версия <--ссылка не работает; Онлайн-версия Дэна Драйбельбиса (по состоянию на 1 июля 2023 г.), заархивировано 2 августа 2008 г. на Wayback Machine.
• Кендеринк, Джей-Джей, Solid Shape , MIT Press (1990)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Карта Гаусса». Математический мир .
• Томас Банчофф; Теренс Гаффни; Клинт МакКрори; Дэниел Драйбельбис (1982). Каспы отображений Гаусса. Исследования по математике. Том. 55. Лондон: ISBN Pitman Publisher Ltd. 0-273-08536-0. Проверено 4 марта 2016 г.