Гауссова поверхность — замкнутая поверхность в трёхмерном пространстве, через которую вычисляется поток векторного поля ; обычно это гравитационное поле , электрическое поле или магнитное поле . [1] Это произвольная замкнутая поверхность S = ∂ V ( граница трехмерной области V ), используемая в сочетании с законом Гаусса для соответствующего поля ( закон Гаусса , закон Гаусса для магнетизма или закон Гаусса для гравитации ) по выполнение поверхностного интеграла для расчета общего количества включенного исходного количества; например, количество гравитационной массы как источника гравитационного поля или количество электрического заряда как источника электростатического поля, или наоборот: рассчитайте поля для распределения источника.
Для конкретности в этой статье рассматривается электрическое поле, так как это наиболее частый тип поля, для которого используется понятие поверхности.
Гауссовы поверхности обычно тщательно выбираются, чтобы использовать симметрию ситуации и упростить вычисление поверхностного интеграла . Если гауссова поверхность выбрана такой, чтобы для каждой точки поверхности компонента электрического поля вдоль вектора нормали была постоянной, то расчет не потребует сложного интегрирования, так как возникающие константы можно вынести из интеграла. Он определяется как замкнутая поверхность в трехмерном пространстве, по которой рассчитывается поток векторного поля.
Большинство расчетов с использованием гауссовских поверхностей начинаются с реализации закона Гаусса (для электричества): [2]
Таким образом, Q enc представляет собой электрический заряд, заключенный на гауссовой поверхности.
Это закон Гаусса, сочетающий в себе теорему о дивергенции и закон Кулона .
Сферическая поверхность Гаусса используется при нахождении электрического поля или потока, создаваемого любым из следующих факторов: [ 3]
Сферическая гауссова поверхность выбрана так, чтобы она была концентрична распределению заряда.
В качестве примера рассмотрим заряженную сферическую оболочку S пренебрежимо малой толщины с равномерно распределенным зарядом Q и радиусом R. Мы можем использовать закон Гаусса, чтобы найти величину результирующего электрического поля E на расстоянии r от центра заряженной оболочки. Сразу становится очевидным, что для сферической гауссовой поверхности радиуса r < R заключенный заряд равен нулю: следовательно, суммарный поток равен нулю, а величина электрического поля на гауссовой поверхности также равна 0 (полагая Q A = 0 в формуле Гаусса закон, где Q A — заряд, заключенный на гауссовой поверхности).
В том же примере, используя большую гауссову поверхность вне оболочки, где r > R , закон Гаусса создаст ненулевое электрическое поле. Это определяется следующим образом.
Поток из сферической поверхности S равен:
Площадь поверхности сферы радиуса r равна
По закону Гаусса поток также
Этот нетривиальный результат показывает, что любое сферическое распределение заряда действует как точечный заряд , если наблюдать за ним снаружи; это фактически проверка закона Кулона . И, как уже упоминалось, любые внешние обвинения не в счет.
Цилиндрическая поверхность Гаусса используется при нахождении электрического поля или потока, создаваемого любым из следующих факторов: [ 3]
В качестве примера ниже приведено «поле вблизи бесконечного линейного заряда»;
Рассмотрим точку P , находящуюся на расстоянии r от бесконечного линейного заряда, имеющего плотность заряда (заряд на единицу длины) λ. Представьте себе замкнутую поверхность в виде цилиндра, осью вращения которого является линейный заряд. Если h — длина цилиндра, то заряд, заключенный в цилиндре, равен
Прохождение потока состоит из трех вкладов:
Для поверхностей a и b E и d A будут перпендикулярны . Для поверхности c, E и d A будут параллельны , как показано на рисунке.
Площадь поверхности цилиндра равна
По закону Гаусса
Эта поверхность чаще всего используется для определения электрического поля из-за бесконечного слоя заряда с однородной плотностью заряда или пластины заряда некоторой конечной толщины. Дот имеет цилиндрическую форму, и его можно рассматривать как состоящий из трех компонентов: диска на одном конце цилиндра площадью πR 2 , диска на другом конце равной площади и боковой части цилиндра. Сумма электрического потока через каждый компонент поверхности пропорциональна замкнутому заряду дота, как это диктуется законом Гаусса. Поскольку поле вблизи листа можно аппроксимировать постоянным, дот ориентируется таким образом, чтобы силовые линии проникали в диски на концах поля под перпендикулярным углом, а стороны цилиндра были параллельны силовым линиям. .