Копула (статистика)

Статистическое распределение зависимости между случайными величинами

В теории вероятностей и статистике копула — это многомерная кумулятивная функция распределения , для которой предельное распределение вероятностей каждой переменной равномерно на интервале [0, 1]. Копулы используются для описания/моделирования зависимости (взаимной корреляции) между случайными величинами . ^[1] Их название, введенное прикладным математиком Эйбом Скларом в 1959 году, происходит от латинского слова «связь» или «привязка», похожего, но не связанного с грамматическими копулами в лингвистике . Копулы широко использовались в количественных финансах для моделирования и минимизации хвостового риска ^[2] и приложений оптимизации портфеля . ^[3]

Теорема Склара утверждает, что любое многомерное совместное распределение можно записать в терминах одномерных маргинальных функций распределения и копулы, описывающей структуру зависимости между переменными.

Копулы популярны в многомерных статистических приложениях, поскольку они позволяют легко моделировать и оценивать распределение случайных векторов, оценивая маргиналы и копулы по отдельности. Существует множество параметрических семейств копул, которые обычно имеют параметры, контролирующие силу зависимости. Некоторые популярные параметрические модели копул описаны ниже.

Двумерные копулы известны в некоторых других областях математики под названиями пермутонов и дважды стохастических мер .

Математическое определение

Рассмотрим случайный вектор . Предположим, что его маргиналы непрерывны, т.е. маргинальные CDF являются непрерывными функциями . Применяя вероятностное интегральное преобразование к каждому компоненту, случайный вектор ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}(x)=\Pr[X_{i}\leq x]}$

${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})=\left(F_{1}(X_{1}),F_{2}(X_{2}),\dots ,F_{d}(X_{d})\right)}$

имеет маргиналы, равномерно распределенные на интервале [0, 1].

Копула определяется как совместная кумулятивная функция распределения : ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[U_{1}\leq u_{1},U_{2}\leq u_{2},\dots ,U_{d}\leq u_{d}].}$

Копула C содержит всю информацию о структуре зависимости между компонентами , тогда как предельные кумулятивные функции распределения содержат всю информацию о предельных распределениях . ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}}$ ${\displaystyle X_{i}}$

Обратные шаги можно использовать для генерации псевдослучайных выборок из общих классов многомерных распределений вероятностей . То есть, имея процедуру генерации выборки из функции копулы, требуемая выборка может быть построена как ${\displaystyle (U_{1},U_{2},\dots ,U_{d})}$

${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})=\left(F_{1}^{-1}(U_{1}),F_{2}^{-1}(U_{2}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d})\right).}$

Обобщенные обратные значения почти наверняка непроблемны , поскольку предполагалось, что они непрерывны. Более того, приведенную выше формулу для функции копулы можно переписать как: ${\displaystyle F_{i}^{-1}}$ ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle C(u_{1},u_{2},\dots ,u_{d})=\Pr[X_{1}\leq F_{1}^{-1}(u_{1}),X_{2}\leq F_{2}^{-1}(u_{2}),\dots ,X_{d}\leq F_{d}^{-1}(u_{d})].}$

Определение

В вероятностных терминах, является d -мерной копулой , если C является совместной кумулятивной функцией распределения d -мерного случайного вектора на единичном кубе с равномерными маргиналами . ^[4] ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]^{d}}$

В аналитических терминах, является d -мерной копулой , если ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$

• ${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{i-1},0,u_{i+1},\dots ,u_{d})=0}$, копула равна нулю, если любой из аргументов равен нулю,
• ${\displaystyle C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u}$, копула равна u , если один аргумент равен u , а все остальные равны 1,
• C является d -неубывающим, т.е. для каждого гиперпрямоугольника C -объем B неотрицателен : ${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{d}[x_{i},y_{i}]\subseteq [0,1]^{d}}$

  ${\displaystyle \int _{B}\mathrm {d} C(u)=\sum _{\mathbf {z} \in \prod _{i=1}^{d}\{x_{i},y_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,}$

где . ${\displaystyle N(\mathbf {z} )=\#\{k:z_{k}=x_{k}\}}$

Например, в двумерном случае является двумерной копулой, если , и для всех и . ${\displaystyle C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle C(0,u)=C(u,0)=0}$ ${\displaystyle C(1,u)=C(u,1)=u}$ ${\displaystyle C(u_{2},v_{2})-C(u_{2},v_{1})-C(u_{1},v_{2})+C(u_{1},v_{1})\geq 0}$ ${\displaystyle 0\leq u_{1}\leq u_{2}\leq 1}$ ${\displaystyle 0\leq v_{1}\leq v_{2}\leq 1}$

Теорема Склара

Плотность и контурный график двумерного гауссовского распределения

Плотность и контурный график двух нормальных краевых соединений с помощью связки Гумбеля

Теорема Склара, названная в честь Абе Склара , обеспечивает теоретическую основу для применения копул. ^{[5] [6]} Теорема Склара утверждает, что каждая многомерная кумулятивная функция распределения

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=\Pr[X_{1}\leq x_{1},\dots ,X_{d}\leq x_{d}]}$

случайного вектора можно выразить через его маргиналы и копулу . Действительно: ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}(x_{i})=\Pr[X_{i}\leq x_{i}]}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right).}$

Если многомерное распределение имеет плотность и эта плотность доступна, то также справедливо, что ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(x_{1},\dots ,x_{d})=c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdot \dots \cdot f_{d}(x_{d}),}$

где - плотность связки. ${\displaystyle c}$

Теорема также утверждает, что при заданном , копула является единственной на которой есть декартово произведение диапазонов маргинальных cdf. Это подразумевает, что копула является единственной, если маргиналы непрерывны . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \operatorname {Ran} (F_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F_{d})}$ ${\displaystyle F_{i}}$

Обратное также верно: если заданы копула и маргинальные распределения , то определяется d -мерная кумулятивная функция распределения с маргинальными распределениями . ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle F_{i}(x)}$ ${\displaystyle C\left(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d})\right)}$ ${\displaystyle F_{i}(x)}$

Условие стационарности

Копулы в основном работают, когда временные ряды стационарны ^[7] и непрерывны. ^[8] Таким образом, очень важным этапом предварительной обработки является проверка автокорреляции , тренда и сезонности во временных рядах.

Когда временные ряды автокоррелированы, они могут генерировать несуществующую зависимость между наборами переменных и приводить к неправильной структуре зависимости копулы. ^[9]

Границы копулы Фреше – Хёфдинга

Графики пределов двумерной копулы Фреше–Хёффдинга и независимой копулы (в центре).

Теорема Фреше–Хёффдинга (в честь Мориса Рене Фреше и Василия Хёффдинга ^[10] ) утверждает, что для любой копулы и любого справедливы следующие ограничения: ${\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]}$ ${\displaystyle (u_{1},\dots ,u_{d})\in [0,1]^{d}}$

${\displaystyle W(u_{1},\dots ,u_{d})\leq C(u_{1},\dots ,u_{d})\leq M(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

Функция W называется нижней границей Фреше–Хёффдинга и определяется как

${\displaystyle W(u_{1},\ldots ,u_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits _{i=1}^{d}{u_{i}},\,0\right\}.}$

Функция M называется верхней границей Фреше–Хёффдинга и определяется как

${\displaystyle M(u_{1},\ldots ,u_{d})=\min\{u_{1},\dots ,u_{d}\}.}$

Верхняя граница точна: M всегда является копулой, она соответствует комонотонным случайным величинам .

Нижняя граница является поточечно точной в том смысле, что для фиксированного u существует копула такая, что . Однако W является копулой только в двух измерениях, и в этом случае она соответствует контрмонотонным случайным величинам. ${\displaystyle {\tilde {C}}}$ ${\displaystyle {\tilde {C}}(u)=W(u)}$

В двух измерениях, т.е. в двумерном случае, теорема Фреше–Хёффдинга утверждает:

${\displaystyle \max\{u+v-1,\,0\}\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}.}$

Семейства копул

Описано несколько семейств копул.

Гауссова копула

Кумулятивное и плотное распределение гауссовой копулы с ρ  = 0,4

Гауссова копула — это распределение по единичному гиперкубу . Она строится из многомерного нормального распределения по с использованием интегрального преобразования вероятности . ${\displaystyle [0,1]^{d}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$

Для заданной корреляционной матрицы гауссова копула с матрицей параметров может быть записана как ${\displaystyle R\in [-1,1]^{d\times d}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi _{R}\left(\Phi ^{-1}(u_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u_{d})\right),}$

где — обратная кумулятивная функция распределения стандартного нормального распределения , а — совместная кумулятивная функция распределения многомерного нормального распределения со средним вектором, равным нулю, и ковариационной матрицей, равной корреляционной матрице . Хотя для функции копулы нет простой аналитической формулы, , она может быть ограничена сверху или снизу и аппроксимирована с помощью численного интегрирования. ^{[11] [12]} Плотность можно записать как ^[13] ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$ ${\displaystyle \Phi _{R}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{R}^{\text{Gauss}}(u)}$

${\displaystyle c_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\sqrt {\det {R}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left(R^{-1}-I\right)\cdot {\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u_{d})\end{pmatrix}}\right),}$

где — единичная матрица. ${\displaystyle \mathbf {I} }$

Архимедовы копулы

Архимедовы копулы — ассоциативный класс копул. Наиболее распространенные архимедовы копулы допускают явную формулу, что невозможно, например, для гауссовой копулы. На практике архимедовы копулы популярны, поскольку они позволяют моделировать зависимость в произвольно высоких измерениях с помощью только одного параметра, определяющего силу зависимости.

Копула C называется архимедовой, если она допускает представление ^[14]

${\displaystyle C(u_{1},\dots ,u_{d};\theta )=\psi ^{-1}\left(\psi (u_{1};\theta )+\cdots +\psi (u_{d};\theta );\theta \right)}$

где — непрерывная, строго убывающая и выпуклая функция, такая что , — параметр в некотором пространстве параметров , а — так называемая функция-генератор, а — ее псевдообратная функция, определяемая соотношением ${\displaystyle \psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )}$ ${\displaystyle \psi (1;\theta )=0}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi ^{-1}}$

${\displaystyle \psi ^{-1}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{if }}0\leq t\leq \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{if }}\psi (0;\theta )\leq t\leq \infty .\end{array}}\right.}$

Более того, приведенная выше формула для C дает связку для тогда и только тогда, когда является d-монотонным на . ^[15] То есть, если она дифференцируема по времени и производные удовлетворяют ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ ${\displaystyle \psi ^{-1}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle d-2}$

${\displaystyle (-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0}$

для всех и и является невозрастающим и выпуклым . ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle k=0,1,\dots ,d-2}$ ${\displaystyle (-1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )}$

Наиболее важные архимедовы копулы

В следующих таблицах показаны наиболее известные двумерные архимедовы копулы с соответствующим им генератором. Не все из них полностью монотонны , т.е. d -монотонны для всех или d -монотонны только для определенных . ${\displaystyle d\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \theta \in \Theta }$

Ожидания относительно копула-моделей и интеграции Монте-Карло

В статистических приложениях многие проблемы можно сформулировать следующим образом. Интерес представляет ожидание функции отклика, примененной к некоторому случайному вектору . ^[18] Если обозначить CDF этого случайного вектора через , интересующую нас величину можно записать как ${\displaystyle g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots ,x_{d})\,\mathrm {d} H(x_{1},\dots ,x_{d}).}$

Если задано копульной моделью, то есть, ${\displaystyle H}$

${\displaystyle H(x_{1},\dots ,x_{d})=C(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))}$

это ожидание можно переписать как

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\,\mathrm {d} C(u_{1},\dots ,u_{d}).}$

В случае, если копула C абсолютно непрерывна , т.е. C имеет плотность c , это уравнение можно записать как

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{[0,1]^{d}}g(F_{1}^{-1}(u_{1}),\dots ,F_{d}^{-1}(u_{d}))\cdot c(u_{1},\dots ,u_{d})\,du_{1}\cdots \mathrm {d} u_{d},}$

и если каждое предельное распределение имеет плотность, то оно справедливо и далее, что ${\displaystyle f_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]=\int _{\mathbb {R} ^{d}}g(x_{1},\dots x_{d})\cdot c(F_{1}(x_{1}),\dots ,F_{d}(x_{d}))\cdot f_{1}(x_{1})\cdots f_{d}(x_{d})\,\mathrm {d} x_{1}\cdots \mathrm {d} x_{d}.}$

Если копула и маргиналы известны (или если они были оценены), это ожидание можно приблизительно оценить с помощью следующего алгоритма Монте-Карло:

1. Вытяните образец размера n из копулы C ${\displaystyle (U_{1}^{k},\dots ,U_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)}$
2. Применяя обратные предельные функции распределения, создайте выборку , установив ${\displaystyle (X_{1},\dots ,X_{d})}$ ${\displaystyle (X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})=(F_{1}^{-1}(U_{1}^{k}),\dots ,F_{d}^{-1}(U_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)}$
3. Приблизительно по эмпирическому значению: ${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[g(X_{1},\dots ,X_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}g(X_{1}^{k},\dots ,X_{d}^{k})}$

Эмпирические связки

При изучении многомерных данных, возможно, захочется исследовать лежащую в основе копулу. Предположим, у нас есть наблюдения

${\displaystyle (X_{1}^{i},X_{2}^{i},\dots ,X_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n}$

из случайного вектора с непрерывными маргиналами. Соответствующие «истинные» наблюдения копулы будут ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{d})}$

${\displaystyle (U_{1}^{i},U_{2}^{i},\dots ,U_{d}^{i})=\left(F_{1}(X_{1}^{i}),F_{2}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

Однако маргинальные функции распределения обычно неизвестны. Поэтому можно построить псевдокопула-наблюдения, используя эмпирические функции распределения ${\displaystyle F_{i}}$

${\displaystyle F_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{i}\leq x)}$

Вместо этого. Тогда псевдокопула наблюдения определяются как

${\displaystyle ({\tilde {U}}_{1}^{i},{\tilde {U}}_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i})=\left(F_{1}^{n}(X_{1}^{i}),F_{2}^{n}(X_{2}^{i}),\dots ,F_{d}^{n}(X_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}$

Соответствующая эмпирическая копула тогда определяется как

${\displaystyle C^{n}(u_{1},\dots ,u_{d})={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}_{1}^{i}\leq u_{1},\dots ,{\tilde {U}}_{d}^{i}\leq u_{d}\right).}$

Компоненты образцов псевдокопулы также можно записать как , где — ранг наблюдения : ${\displaystyle {\tilde {U}}_{k}^{i}=R_{k}^{i}/n}$ ${\displaystyle R_{k}^{i}}$ ${\displaystyle X_{k}^{i}}$

${\displaystyle R_{k}^{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {1} (X_{k}^{j}\leq X_{k}^{i})}$

Таким образом, эмпирическую копулу можно рассматривать как эмпирическое распределение преобразованных по рангу данных.

Пример версии ро Спирмена: ^[19]

${\displaystyle r={\frac {12}{n^{2}-1}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left[C^{n}\left({\frac {i}{n}},{\frac {j}{n}}\right)-{\frac {i}{n}}\cdot {\frac {j}{n}}\right]}$

Приложения

Количественные финансы

Примеры двумерных копул, используемых в финансах.

В количественной финансах копулы применяются для управления рисками , управления портфелем и его оптимизации , а также для ценообразования производных финансовых инструментов .

В первом случае копулы используются для выполнения стресс-тестов и проверок надежности, которые особенно важны во время «режимов спада/кризиса/паники», когда могут произойти экстремальные события спада (например, мировой финансовый кризис 2007–2008 гг.). Формула также была адаптирована для финансовых рынков и использовалась для оценки распределения вероятностей потерь по пулам кредитов или облигаций .

Во время режима спада большое количество инвесторов, которые занимали позиции в более рискованных активах, таких как акции или недвижимость, могут искать убежища в «более безопасных» инвестициях, таких как наличные деньги или облигации. Это также известно как эффект бегства в качество , и инвесторы, как правило, выходят из своих позиций в более рискованных активах в большом количестве за короткий период времени. В результате во время режимов спада корреляции между акциями больше в сторону снижения, чем в сторону роста, и это может иметь катастрофические последствия для экономики. ^{[22] [23]} Например, как показывает опыт, мы часто читаем заголовки финансовых новостей, сообщающие о потере сотен миллионов долларов на фондовой бирже за один день; однако мы редко читаем сообщения о положительном приросте фондового рынка той же величины и за тот же короткий промежуток времени.

Копулы помогают анализировать эффекты режимов спада, позволяя моделировать маржинальные и зависимую структуру многомерной вероятностной модели по отдельности. Например, рассмотрим фондовую биржу как рынок, состоящий из большого количества трейдеров, каждый из которых действует со своими собственными стратегиями для максимизации прибыли. Индивидуалистическое поведение каждого трейдера можно описать путем моделирования маржинальных. Однако, поскольку все трейдеры работают на одной бирже, действия каждого трейдера имеют эффект взаимодействия с действиями других трейдеров. Этот эффект взаимодействия можно описать путем моделирования структуры зависимости. Таким образом, копулы позволяют нам анализировать эффекты взаимодействия, которые представляют особый интерес во время режимов спада, поскольку инвесторы склонны стадно контролировать свое торговое поведение и решения . (См. также вычислительную экономику на основе агентов , где цена рассматривается как возникающее явление , возникающее в результате взаимодействия различных участников рынка или агентов.)

Пользователи формулы подверглись критике за создание «культур оценки», которые продолжали использовать простые копулы, несмотря на то, что простые версии были признаны неадекватными для этой цели. ^{[24] [25]} Таким образом, ранее масштабируемые модели копул для больших измерений позволяли моделировать только эллиптические структуры зависимости (т. е. гауссовские и t-копулы Стьюдента), которые не допускали асимметрии корреляции, когда корреляции различались в режимах роста или падения. Однако разработка копул винограда ^[26] (также известных как парные копулы) позволяет гибко моделировать структуру зависимости для портфелей больших измерений. ^[27] Каноническая копула винограда Клейтона допускает возникновение экстремальных событий падения и успешно применялась в приложениях оптимизации портфеля и управления рисками. Модель способна уменьшить влияние экстремальных отрицательных корреляций и обеспечивает улучшенные статистические и экономические показатели по сравнению с масштабируемыми эллиптическими зависимостями, такими как гауссовская и t-копула Стьюдента. ^[28]

Другие модели, разработанные для приложений управления рисками, представляют собой паниковые копулы, которые склеиваются с рыночными оценками маржинальных распределений для анализа эффектов панических режимов на распределение прибылей и убытков портфеля. Паник-копулы создаются симуляцией Монте-Карло , смешанной с повторным взвешиванием вероятности каждого сценария. ^[29]

Что касается ценообразования деривативов , моделирование зависимости с помощью копул широко используется в приложениях оценки финансовых рисков и актуарного анализа , например, при ценообразовании обеспеченных долговых обязательств (CDO). ^[30] Некоторые полагают, что методология применения гауссовой копулы к кредитным деривативам стала одной из причин мирового финансового кризиса 2008–2009 гг .; ^{[31] [32] [33]} см. Дэвид X. Ли § CDO и гауссова копула .

Несмотря на это восприятие, в финансовой отрасли имеются задокументированные попытки, имевшие место до кризиса, устранить ограничения гауссовой копулы и функций копулы в более общем плане, в частности, отсутствие динамики зависимости. Гауссовой копулы не хватает, поскольку она допускает только эллиптическую структуру зависимости, поскольку зависимость моделируется только с использованием матрицы дисперсии-ковариации. ^[28] Эта методология ограничена тем, что она не допускает развития зависимости, поскольку финансовые рынки демонстрируют асимметричную зависимость, в результате чего корреляции между активами значительно увеличиваются во время спадов по сравнению с подъемами. Поэтому подходы к моделированию с использованием гауссовой копулы демонстрируют плохое представление экстремальных событий . ^{[28] [34]} Были попытки предложить модели, исправляющие некоторые ограничения копулы. ^{[34] [35] [36]}

Помимо CDO, копулы применялись к другим классам активов в качестве гибкого инструмента для анализа производных продуктов с несколькими активами. Первым таким применением вне кредита было использование копулы для построения поверхности подразумеваемой волатильности корзины ^[37] с учетом улыбки волатильности компонентов корзины. С тех пор копулы приобрели популярность в ценообразовании и управлении рисками ^[38] опционов на несколько активов при наличии улыбки волатильности, в деривативах на акции , валюту и с фиксированным доходом .

Гражданское строительство

Недавно копула-функции были успешно применены к формулировке базы данных для анализа надежности автодорожных мостов и к различным многомерным исследованиям моделирования в гражданском строительстве, ^[39] надежности ветро- и сейсмостойкого строительства, ^[40] а также машиностроении и строительстве морских сооружений. ^[41] Исследователи также испытывают эти функции в области транспорта, чтобы понять взаимодействие между поведением отдельных водителей, которое в совокупности формирует транспортный поток.

Надежность техники

Копулы используются для анализа надежности сложных систем компонентов машин с конкурирующими видами отказов. ^[42]

Анализ данных о гарантии

Копулы используются для анализа гарантийных данных, в котором анализируется зависимость хвоста. ^[43]

Турбулентное горение

Копулы используются при моделировании турбулентного частично предварительно перемешанного горения, которое часто встречается в практических камерах сгорания. ^{[44] [45]}

Лекарство

Копулы имеют множество применений в области медицины , например,

1. Копулы использовались в области магнитно-резонансной томографии (МРТ), например, для сегментации изображений , ^[46] для заполнения вакансий графических моделей в генетике визуализации в исследовании шизофрении , ^[47] и для различения нормальных пациентов и пациентов с болезнью Альцгеймера . ^[48]
2. Копулы были в области исследований мозга на основе сигналов ЭЭГ , например, для обнаружения сонливости во время дневного сна, ^[49] для отслеживания изменений в мгновенных эквивалентных полосах пропускания (IEBW), ^[50] для получения синхронности для ранней диагностики болезни Альцгеймера , ^[51] для характеристики зависимости колебательной активности между каналами ЭЭГ, ^[52] и для оценки надежности использования методов для фиксации зависимости между парами каналов ЭЭГ с использованием их изменяющихся во времени огибающих. ^[53] Функции копулы были успешно применены для анализа нейронных зависимостей ^[54] и количества спайков в нейронауке. ^[55]
3. Модель копулы была разработана в области онкологии , например, для совместного моделирования генотипов , фенотипов и путей для реконструкции клеточной сети для выявления взаимодействий между определенным фенотипом и множественными молекулярными признаками (например, мутациями и изменением экспрессии генов ). Бао и др. ^[56] использовали данные о раковых клеточных линиях NCI60 для выявления нескольких подмножеств молекулярных признаков, которые совместно выступают в качестве предикторов клинических фенотипов. Предложенная копула может оказать влияние на биомедицинские исследования, начиная от лечения рака и заканчивая профилактикой заболеваний. Копула также использовалась для прогнозирования гистологической диагностики колоректальных поражений по изображениям колоноскопии ^[57] и для классификации подтипов рака ^{[58] .}
4. Например, в области сердечных и сердечно-сосудистых заболеваний была разработана модель анализа на основе копулы для прогнозирования вариации частоты сердечных сокращений (ЧСС). Частота сердечных сокращений (ЧСС) является одним из важнейших показателей здоровья для мониторинга интенсивности упражнений и степени нагрузки, поскольку она тесно связана с частотой сердечных сокращений. Таким образом, точный метод краткосрочного прогнозирования ЧСС может обеспечить эффективное раннее предупреждение для здоровья человека и снизить вредные события. Намази (2022) ^[59] использовал новый гибридный алгоритм для прогнозирования ЧСС.

Геодезия

Сочетание методов SSA и копулы было впервые применено в качестве нового стохастического инструмента для прогнозирования параметров ориентации Земли. ^{[60] [61]}

Гидрологические исследования

Копулы использовались как в теоретическом, так и в прикладном анализе гидроклиматических данных. Теоретические исследования приняли методологию, основанную на копулах, например, для лучшего понимания структур зависимости температуры и осадков в разных частях мира. ^{[9] [62] [63]} Прикладные исследования приняли методологию, основанную на копулах, чтобы изучить, например, сельскохозяйственные засухи ^[64] или совместное воздействие экстремальных температур и осадков на рост растительности. ^[65]

Климатические и погодные исследования

Копулы широко использовались в исследованиях, связанных с климатом и погодой. ^{[66] [67]}

Изменчивость солнечной радиации

Копулы использовались для оценки изменчивости солнечной радиации в пространственных сетях и во времени для отдельных местоположений. ^{[68] [69]}

Генерация случайных векторов

Большие синтетические следы векторов и стационарных временных рядов могут быть сгенерированы с использованием эмпирической копулы, сохраняя при этом всю структуру зависимости небольших наборов данных. ^[70] Такие эмпирические следы полезны в различных исследованиях производительности, основанных на моделировании. ^[71]

Рейтинг электродвигателей

Копулы использовались для оценки качества при производстве двигателей с электронной коммутацией. ^[72]

Обработка сигнала

Копулы важны, поскольку они представляют собой структуру зависимости без использования маргинальных распределений . Копулы широко использовались в области финансов , но их использование в обработке сигналов относительно новое. Копулы использовались в области беспроводной связи для классификации радиолокационных сигналов, обнаружения изменений в приложениях дистанционного зондирования и обработки сигналов ЭЭГ в медицине . В этом разделе представлен краткий математический вывод для получения функции плотности копулы, за которым следует таблица, содержащая список функций плотности копулы с соответствующими приложениями обработки сигналов.

Астрономия

Копулы использовались для определения функции радиосветимости ядра активных ядер галактик (АЯГ) ^[73] , хотя это невозможно реализовать с помощью традиционных методов из-за трудностей с полнотой выборки.

Математический вывод функции плотности копулы

Для любых двух случайных величин X и Y непрерывная совместная функция распределения вероятностей может быть записана как

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x},Y\leq {y}\end{Bmatrix}},}$

где и — предельные кумулятивные функции распределения случайных величин X и Y соответственно. ${\textstyle F_{X}(x)=\Pr {\begin{Bmatrix}X\leq {x}\end{Bmatrix}}}$ ${\textstyle F_{Y}(y)=\Pr {\begin{Bmatrix}Y\leq {y}\end{Bmatrix}}}$

тогда функцию распределения копулы можно определить с помощью теоремы Склара ^{[74] [75]} как: ${\displaystyle C(u,v)}$

${\displaystyle F_{XY}(x,y)=C(F_{X}(x),F_{Y}(y))\triangleq C(u,v),}$

где и — предельные функции распределения, совместные и . ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$ ${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$ ${\displaystyle F_{XY}(x,y)}$ ${\displaystyle u,v\in (0,1)}$

Предполагая, что ae дважды дифференцируема, начнем с использования соотношения между совместной функцией плотности вероятности (PDF) и совместной кумулятивной функцией распределения (CDF) и ее частными производными. ${\displaystyle F_{XY}(\cdot ,\cdot )}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{6}f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}F_{XY}(x,y) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(F_{X}(x),F_{Y}(y)) \over \partial x\,\partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&{\partial ^{2}C(u,v) \over \partial u\,\partial v}\cdot {\partial F_{X}(x) \over \partial x}\cdot {\partial F_{Y}(y) \over \partial y}\\\vdots \\f_{XY}(x,y)={}&c(u,v)f_{X}(x)f_{Y}(y)\\\vdots \\{\frac {f_{XY}(x,y)}{f_{X}(x)f_{Y}(y)}}={}&c(u,v)\end{alignedat}}}$

где — функция плотности копулы, а — функции плотности предельной вероятности X и Y соответственно. В этом уравнении четыре элемента, и если известны любые три элемента, то можно вычислить четвертый элемент. Например, его можно использовать, ${\displaystyle c(u,v)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)}$

• когда известна совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, известна функция плотности копулы и известна одна из двух предельных функций, то можно вычислить другую предельную функцию, или
• когда известны две предельные функции и функция плотности копулы, то можно вычислить совместную функцию плотности вероятности между двумя случайными величинами, или
• Когда известны две предельные функции и совместная функция плотности вероятности между двумя случайными величинами, можно рассчитать функцию плотности копулы.

Список функций плотности копулы и их приложений

Различные двумерные функции плотности копул важны в области обработки сигналов. и являются маргинальными функциями распределения и и являются маргинальными функциями плотности. Было показано, что расширение и обобщение копул для статистической обработки сигналов позволяет построить новые двумерные копулы для экспоненциальных, Вейбулловских и райсовских распределений. ^[76] Цзэн и др. ^[77] представили алгоритмы, моделирование, оптимальный выбор и практическое применение этих копул в обработке сигналов. ${\displaystyle u=F_{X}(x)}$ ${\displaystyle v=F_{Y}(y)}$ ${\displaystyle f_{X}(x)}$ ${\displaystyle f_{Y}(y)}$

Смотрите также

• Сцепление (вероятность)

Ссылки

1. Торстен Шмидт (2006) «Преодоление копул», https://web.archive.org/web/20100705040514/http://www.tu-chemnitz.de/mathematik/fima/publikationen/TSchmidt_Copulas.pdf
2. Low, RKY; Alcock, J.; Faff, R.; Brailsford, T. (2013). «Канонические виноградные копулы в контексте современного управления портфелем: стоят ли они того?». Журнал банковского дела и финансов . 37 (8): 3085–3099. doi :10.1016/j.jbankfin.2013.02.036. S2CID  154138333.
3. Low, RKY; Faff, R.; Aas, K. (2016). «Улучшение выбора портфеля среднего–дисперсии путем моделирования асимметрии распределения» (PDF) . Журнал экономики и бизнеса . 85 : 49–72. doi :10.1016/j.jeconbus.2016.01.003.
4. Нельсен, Роджер Б. (1999), Введение в связку , Нью-Йорк: Springer, ISBN 978-0-387-98623-4
5. Склар, А. (1959), «Функции перераспределения в n измерениях и границах», Publ. Инст. Статист. унив. Париж , 8 : 229–231.
6. Дуранте, Фабрицио; Фернандес-Санчес, Хуан; Семпи, Карло (2013), «Топологическое доказательство теоремы Склара», Applied Mathematics Letters , 26 (9): 945–948, doi : 10.1016/j.aml.2013.04.005
7. Садег, Моджтаба; Рагно, Элиза; АгаКучак, Амир (2017). «Multivariate Copula Analysis Toolbox (MvCAT): Описание зависимости и базовой неопределенности с использованием байесовского подхода». Water Resources Research . 53 (6): 5166–5183. Bibcode :2017WRR....53.5166S. doi : 10.1002/2016WR020242 . ISSN  1944-7973.
8. AghaKouchak, Amir; Bárdossy, András; Habib, Emad (2010). «Моделирование неопределенности на основе копулы: применение к многосенсорным оценкам осадков». Гидрологические процессы . 24 (15): 2111–2124. Bibcode : 2010HyPr...24.2111A. doi : 10.1002/hyp.7632. ISSN  1099-1085. S2CID  12283329.
9. Tootoonchi, Faranak; Haerter, Jan Olaf; Räty, Olle; Grabs, Thomas; Sadegh, Mojtaba; Teutschbein, Claudia (2020-07-21). "Copulas for hydroclimatic applications – A practical note on common misconceptions and podfalls". Обсуждения по гидрологии и наукам о системе Земли : 1–31. doi : 10.5194/hess-2020-306 . ISSN  1027-5606. S2CID  224352645.
10. JJ O'Connor и EF Robertson (март 2011 г.). «Биография Василия Хёффдинга». Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс , Шотландия . Получено 14 февраля 2019 г.
11. Ботев, З.И. (2016). «Нормальный закон при линейных ограничениях: моделирование и оценка с помощью минимаксного наклона». Журнал Королевского статистического общества, серия B. 79 : 125–148. arXiv : 1603.04166 . Bibcode : 2016arXiv160304166B. doi : 10.1111/rssb.12162. S2CID  88515228.
12. Ботев, Здравко И. (10 ноября 2015 г.). «TruncatedNormal: усеченное многомерное нормальное» – через R-Packages.
13. Арбенц, Филипп (2013). «Байесовские копулы распределения с применением к управлению операционными рисками — некоторые комментарии». Методология и вычисления в прикладной вероятности . 15 (1): 105–108. doi :10.1007/s11009-011-9224-0. hdl : 20.500.11850/64244 . S2CID  121861059.
14. Nelsen, RB (2006). Введение в связку (второе изд.). Нью-Йорк: Springer. ISBN 978-1-4419-2109-3.
15. Макнил, А. Дж.; Нешлехова, Дж. (2009). «Многомерные архимедовы копулы, d -монотонные функции и симметричные распределения с 1-нормой». Annals of Statistics . 37 (5b): 3059–3097. arXiv : 0908.3750 . doi : 10.1214/07-AOS556. S2CID  9858856. ${\displaystyle {\mathit {l}}}$
16. Али, ММ; Михаил, НН; Хак, М.С. (1978), «Класс двумерных распределений, включая двумерную логистику», J. Multivariate Anal. , 8 (3): 405–412, doi : 10.1016/0047-259X(78)90063-5
17. Клейтон, Дэвид Г. (1978). «Модель ассоциации в двумерных таблицах смертности и ее применение в эпидемиологических исследованиях семейной тенденции в заболеваемости хроническими заболеваниями». Biometrika . 65 (1): 141–151. doi :10.1093/biomet/65.1.141. JSTOR  2335289.
18. Александр Дж. Макнил, Рудигер Фрей и Пол Эмбрехтс (2005) «Количественное управление рисками: концепции, методы и инструменты», Принстонская серия по финансам
19. Нельсен, Роджер Б. (2006). Введение в копулы (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer. С. 220. ISBN 978-0-387-28678-5.
20. Low, Rand (2017-05-11). «Vine copulas: моделирование системного риска и повышение оптимизации портфеля с более высоким моментом». Бухгалтерский учет и финансы . 58 : 423–463. doi : 10.1111/acfi.12274 .
21. Рад, Хоссейн; Лоу, Рэнд Квонг Ю; Фафф, Роберт (2016-04-27). «Прибыльность стратегий парной торговли: методы расстояния, коинтеграции и копулы». Количественные финансы . 16 (10): 1541–1558. doi :10.1080/14697688.2016.1164337. S2CID  219717488.
22. Лонгин, Ф.; Сольник, Б. (2001), «Экстремальная корреляция международных рынков акций», Журнал финансов , 56 (2): 649–676, CiteSeerX 10.1.1.321.4899 , doi : 10.1111/0022-1082.00340, S2CID  6143150 
23. Ang, A; Chen, J (2002), «Асимметричные корреляции портфелей акций», Журнал финансовой экономики , 63 (3): 443–494, doi :10.1016/s0304-405x(02)00068-5
24. Салмон, Феликс. «Рецепт катастрофы: формула, которая убила Уолл-стрит». Wired . ISSN  1059-1028 . Получено 11 августа 2023 г.
25. Маккензи, Дональд; Спирс, Тейлор (2014). «Формула, которая убила Уолл-стрит»: гауссовская копула и методы моделирования в инвестиционном банкинге». Социальные исследования науки . 44 (3): 393–417. doi : 10.1177/0306312713517157. hdl : 20.500.11820/3095760a-6d7c-4829-b327-98c9c28c1db6 . ISSN  0306-3127. JSTOR  43284238. PMID  25051588. S2CID  15907952.
26. Кук, Р. М.; Джо, Х.; Аас, К. (январь 2011 г.). Куровицка, Д.; Джо, Х. (ред.). Справочник по моделированию зависимости Vine Copula (PDF) . World Scientific. стр. 37–72. ISBN 978-981-4299-87-9.
27. Aas, K; Czado, C ; Bakken, H (2009), "Конструкции пар-связок множественной зависимости", Insurance: Mathematics and Economics , 44 (2): 182–198, CiteSeerX 10.1.1.61.3984 , doi : 10.1016/j.insmatheco.2007.02.001, S2CID  18320750 
28. Low, R; Alcock, J; Brailsford, T; Faff, R (2013), «Канонические виноградные копулы в контексте современного управления портфелем: стоят ли они того?», Журнал банковского дела и финансов , 37 (8): 3085–3099, doi : 10.1016/j.jbankfin.2013.02.036, S2CID  154138333
29. Меуччи, Аттилио (2011), «Новая порода связок для управления рисками и портфелями», Risk , 24 (9): 122–126
30. Менегуццо, Дэвид; Веккиато, Уолтер (ноябрь 2003 г.), «Чувствительность копулы в обеспеченных долговых обязательствах и свопах по дефолту корзины», Журнал фьючерсных рынков , 24 (1): 37–70, doi :10.1002/fut.10110
31. Рецепт катастрофы: формула, которая погубила Уолл-стрит Wired , 23.02.2009
32. Маккензи, Дональд (2008), «End-of-the-World Trade», London Review of Books (опубликовано 2008-05-08), стр. 24–26 , получено 2009-07-27
33. Джонс, Сэм (24 апреля 2009 г.), «Формула, которая сокрушила Уолл-Стрит» , Financial Times , заархивировано из оригинала 2022-12-11 , извлечено 2010-05-05
34. Lipton, Alexander; Rennie, Andrew (2008). Кредитная корреляция: жизнь после связок . World Scientific. ISBN 978-981-270-949-3.
35. Доннелли, К.; Эмбрехтс, П. (2010). «Дьявол кроется в хвостах: актуарная математика и кризис субстандартного ипотечного кредитования». ASTIN Bulletin . 40 (1): 1–33. doi :10.2143/AST.40.1.2049222. hdl : 20.500.11850/20517 .
36. Бриго, Д.; Паллавичини, А.; Торресетти, Р. (2010). Кредитные модели и кризис: путешествие в CDO, копулы, корреляции и динамические модели . Wiley and Sons.
37. Ку, Донг (2001). «Поверхность подразумеваемой волатильности корзины». Derivatives Week (4 июня).
38. Ку, Донг (2005). «Оценка корзины опционов с перекосом». Wilmott Magazine (июль).
39. Томпсон, Дэвид; Килгор, Роджер (2011), «Оценка вероятностей совместного потока в местах слияния потоков с использованием копул», Transportation Research Record , 2262 : 200–206, doi : 10.3141/2262-20, S2CID  17179491 , получено 21.02.2012
40. Yang, SC; Liu, TJ; Hong, HP (2017). «Надежность систем башен и линий башен при пространственно-временных ветровых или сейсмических нагрузках». Журнал структурной инженерии . 143 (10): 04017137. doi :10.1061/(ASCE)ST.1943-541X.0001835.
41. Чжан, И; Бир, Майкл; Куэк, Сер Тонг (2015-07-01). «Долгосрочная оценка производительности и проектирование морских сооружений». Компьютеры и сооружения . 154 : 101–115. doi :10.1016/j.compstruc.2015.02.029.
42. Фам, Хонг (2003), Справочник по надежности техники , Springer, стр. 150–151.
43. Wu, S. (2014), «Построение асимметричных копул и их применение в двумерном моделировании надежности» (PDF) , European Journal of Operational Research , 238 (2): 476–485, doi :10.1016/j.ejor.2014.03.016, S2CID  22916401
44. Руан, С.; Сваминатан, Н; Дарбишир, О (2014), «Моделирование турбулентных поднятых струйных пламен с использованием пламенных частиц: априорная оценка и апостериорная проверка», Теория горения и моделирование , 18 (2): 295–329, Bibcode : 2014CTM....18..295R, doi : 10.1080/13647830.2014.898409, S2CID  53641133
45. Дарбишир, OR; Сваминатан, Н (2012), «Предполагаемая совместная модель PDF для турбулентного горения с изменяющимся отношением эквивалентности», Combustion Science and Technology , 184 (12): 2036–2067, doi : 10.1080/00102202.2012.696566, S2CID  98096093
46. Lapuyade-Lahorgue, Jerome; Xue, Jing-Hao; Ruan, Su (июль 2017 г.). «Сегментация изображений с несколькими источниками с использованием скрытых марковских полей с многомерными статистическими распределениями на основе копулы». IEEE Transactions on Image Processing . 26 (7): 3187–3195. Bibcode : 2017ITIP...26.3187L. doi : 10.1109/tip.2017.2685345. ISSN  1057-7149. PMID  28333631. S2CID  11762408.
47. Чжан, Айин; Фан, Цзянь; Калхун, Винс Д.; Ван, Ю-пин (апрель 2018 г.). «Высокоразмерная латентная гауссовская копула-модель для смешанных данных в генетике изображений». 2018 IEEE 15-й Международный симпозиум по биомедицинской визуализации (ISBI 2018) . IEEE. стр. 105–109. doi :10.1109/isbi.2018.8363533. ISBN 978-1-5386-3636-7. S2CID  44114562.
48. Бахрами, Мохсен; Хоссейн-Заде, Голам-Али (май 2015 г.). «Изменения ассортативности при болезни Альцгеймера: исследование FMRI в состоянии покоя». 2015 г. 23-я Иранская конференция по электротехнике . IEEE. стр. 141–144. doi :10.1109/iraniancee.2015.7146198. ISBN 978-1-4799-1972-7. S2CID  20649428.
49. Цянь, Донг; Ван, Бэй; Цин, Сянъюнь; Чжан, Тао; Чжан, Юй; Ван, Синъюй; Накамура, Масатоши (апрель 2017 г.). «Обнаружение сонливости с помощью дискриминантного классификатора Байеса-копулы на основе сигналов ЭЭГ во время дневного короткого сна». Труды IEEE по биомедицинской инженерии . 64 (4): 743–754. doi :10.1109/tbme.2016.2574812. ISSN  0018-9294. PMID  27254855. S2CID  24244444.
50. Ёсида, Хисаши; Курамото, Харука; Сунада, Юсукэ; Киккава, Шо (август 2007 г.). «Анализ ЭЭГ в состоянии поддержания бодрствования против сонливости с помощью мгновенных эквивалентных полос пропускания». 2007 г. 29-я ежегодная международная конференция IEEE Engineering in Medicine and Biology Society . Том 2007. IEEE. стр. 19–22. doi :10.1109/iembs.2007.4352212. ISBN 978-1-4244-0787-3. PMID  18001878. S2CID  29527332.
51. Айенгар, Сатиш Г.; Дауэлс, Джастин; Варшни, Прамод К.; Чихоцкий, Анджей (2010). «Количественная оценка синхронности ЭЭГ с использованием копул». Международная конференция IEEE по акустике, речи и обработке сигналов 2010 г. IEEE. стр. 505–508. doi :10.1109/icassp.2010.5495664. ISBN 978-1-4244-4295-9. S2CID  16476449.
52. Гао, Сюй; Шен, Вэйнинг; Тин, Чи-Минг; Крамер, Стивен С.; Шринивасан, Рамеш; Омбао, Эрнандо (апрель 2019 г.). «Оценка связности мозга с использованием графических моделей копулы Гаусса». 16-й международный симпозиум IEEE по биомедицинской визуализации 2019 г. (ISBI 2019). IEEE. стр. 108–112. doi :10.1109/isbi.2019.8759538. ISBN 978-1-5386-3641-1. S2CID  195881851.
53. Fadlallah, BH; Brockmeier, AJ; Seth, S.; Lin Li; Keil, A.; Principe, JC (август 2012 г.). "Ассоциативная структура для анализа структуры зависимости во временных рядах". 2012 Ежегодная международная конференция IEEE Engineering in Medicine and Biology Society . Том 2012. IEEE. С. 6176–6179. doi :10.1109/embc.2012.6347404. ISBN 978-1-4577-1787-1. PMID  23367339. S2CID  9061806.
54. Эбан, Э.; Ротшильд, Р.; Мизрахи, А.; Нелькен, И.; Элидан, Г. (2013), Карвальо, К.; Равикумар, П. (ред.), «Динамические копула-сети для моделирования действительных временных рядов» (PDF) , Журнал исследований машинного обучения , 31
55. Онкен, А.; Грюневальдера, С.; Мунк, М.Х.; Обермайер, К. (2009), Аэртсен, Ад. (ред.), «Анализ краткосрочных шумовых зависимостей количества спайков в префронтальной коре макак с использованием копул и преобразования фонарика», PLOS Computational Biology , 5 (11): e1000577, Bibcode : 2009PLSCB...5E0577O, doi : 10.1371/journal.pcbi.1000577 , PMC 2776173 , PMID  19956759 
56. Бао, Ле; Чжу, Чжоу; Йе, Цзинцзин (март 2009 г.). «Моделирование сети путей генов онкологии с множественными генотипами и фенотипами с помощью метода копулы». Симпозиум IEEE 2009 г. по вычислительному интеллекту в биоинформатике и вычислительной биологии . IEEE. стр. 237–246. doi :10.1109/cibcb.2009.4925734. ISBN 978-1-4244-2756-7. S2CID  16779505.
57. Квитт, Роланд; Уль, Андреас; Хафнер, Михаэль; Гангль, Альфред; Врба, Фридрих; Вечеи, Андреас (июнь 2010 г.). «Прогнозирование гистологии колоректальных поражений в вероятностной структуре». Конференция компьютерного общества IEEE 2010 г. по компьютерному зрению и распознаванию образов — семинары . IEEE. стр. 103–110. doi :10.1109/cvprw.2010.5543146. ISBN 978-1-4244-7029-7. S2CID  14841548.
58. Кон, МА; Николаев, Н. (декабрь 2011 г.). «Эмпирическая нормализация для квадратичного дискриминантного анализа и классификации подтипов рака». 2011 10-я Международная конференция по машинному обучению и приложениям и семинары . IEEE. стр. 374–379. arXiv : 1203.6345 . doi :10.1109/icmla.2011.160. hdl : 2144/38445 . ISBN 978-1-4577-2134-2. S2CID  346934.
59. Намази, Асие (декабрь 2022 г.). «Об улучшении прогнозирования сердечного ритма с использованием комбинации анализа сингулярного спектра и подхода анализа на основе копулы». PeerJ . 10 : e14601. doi : 10.7717/peerj.14601 . ISSN  2167-8359. PMC 9774013 . PMID  36570014. 
60. Modiri, S.; Belda, S.; Heinkelmann, R.; Hoseini, M.; Ferrándiz, JM; Schuh, H. (2018). «Прогнозирование движения полюсов с использованием комбинации анализа SSA и Copula». Earth, Planets and Space . 70 (70): 115. Bibcode :2018EP&S...70..115M. doi : 10.1186/s40623-018-0888-3 . PMC 6434970 . PMID  30996648. 
61. Modiri, S.; Belda, S.; Hoseini, M.; Heinkelmann, R.; Ferrándiz, JM; Schuh, H. (2020). «Новый гибридный метод улучшения сверхкраткосрочного прогнозирования LOD». Journal of Geodesy . 94 (23): 23. Bibcode : 2020JGeod..94...23M. doi : 10.1007/s00190-020-01354-y . PMC 7004433. PMID  32109976 . 
62. Лазоглу, Джорджия; Анагностопулу, Кристина (февраль 2019 г.). «Совместное распределение температуры и осадков в Средиземноморье с использованием метода Копулы». Теоретическая и прикладная климатология . 135 (3–4): 1399–1411. Bibcode : 2019ThApC.135.1399L. doi : 10.1007/s00704-018-2447-z. ISSN  0177-798X. S2CID  125268690.
63. Конг, Ронг-Ган; Брэди, Марк (2012). «Взаимозависимость между осадками и температурой: анализ копулы». The Scientific World Journal . 2012 : 405675. doi : 10.1100/2012/405675 . ISSN  1537-744X. PMC 3504421. PMID 23213286  . 
64. Ван, Лонг; Ю, Ханг; Ян, Маолин; Ян, Руи; Гао, Руи; Ван, Ин (апрель 2019 г.). «Индекс засухи: стандартизированный индекс стока осадков и эвапотранспирации». Журнал гидрологии . 571 : 651–668. Bibcode : 2019JHyd..571..651W. doi : 10.1016/j.jhydrol.2019.02.023. S2CID  134409125.
65. Алидост, Фахерех; Су, Чжунбо; Стайн, Альфред (декабрь 2019 г.). «Оценка влияния экстремальных климатических явлений на урожайность, производство и цену с использованием многомерных распределений: новое приложение копулы». Weather and Climate Extremes . 26 : 100227. Bibcode :2019WCE....2600227A. doi : 10.1016/j.wace.2019.100227 .
66. Шёльцель, К.; Фридерихс, П. (2008). «Многомерные ненормально распределенные случайные величины в исследовании климата – введение в копуловый подход». Нелинейные процессы в геофизике . 15 (5): 761–772. Bibcode : 2008NPGeo..15..761S. doi : 10.5194/npg-15-761-2008 .
67. Laux, P.; Vogl, S.; Qiu, W.; Knoche, HR; Kunstmann, H. (2011). «Статистическое уточнение осадков на основе копулы в моделировании RCM на сложной местности». Hydrol. Earth Syst. Sci . 15 (7): 2401–2419. Bibcode :2011HESS...15.2401L. doi : 10.5194/hess-15-2401-2011 .
68. Мункхаммар, Дж.; Виден, Дж. (2017). «Метод копулы для моделирования коррелированной мгновенной солнечной радиации в пространственных сетях». Солнечная энергия . 143 : 10–21. Bibcode : 2017SoEn..143...10M. doi : 10.1016/j.solener.2016.12.022.
69. Мункхаммар, Дж.; Виден, Дж. (2017). «Автокорреляционная модель копулы для генерации реалистичного временного ряда индекса ясного неба». Солнечная энергия . 158 : 9–19. Bibcode : 2017SoEn..158....9M. doi : 10.1016/j.solener.2017.09.028.
70. Стрэлен, Иоганн Кристоф (2009). Инструменты для зависимого ввода моделирования с помощью копул . 2-я международная конференция ICST по инструментам и методам моделирования. doi : 10.4108/icst.simutools2009.5596 .
71. Бандара, HMND; Джаясумана, AP (декабрь 2011 г.). «О характеристиках и моделировании P2P-ресурсов с коррелированными статическими и динамическими атрибутами». Глобальная телекоммуникационная конференция IEEE 2011 г. — GLOBECOM 2011 г. IEEE Globecom. стр. 1–6. CiteSeerX 10.1.1.309.3975 . doi :10.1109/GLOCOM.2011.6134288. ISBN  978-1-4244-9268-8. S2CID  7135860.
72. Милева Бошкоска, Биляна; Боханец, Марко; Бошкоски, Павле; Юричич, Джани (2015-04-01). «Система поддержки принятия решений на основе копулы для ранжирования качества при производстве электронно-коммутируемых двигателей». Журнал интеллектуального производства . 26 (2): 281–293. doi :10.1007/s10845-013-0781-7. ISSN  1572-8145. S2CID  982081.
73. Цзунли, Юань; Цзяньчэн, Ван; Диана, Уорралл; Бин-Бин, Чжан; Цзижун, Мао (2018). «Определение функции светимости ядра радиоактивных активных ядер галактик с помощью копулы». Серия приложений к астрофизическому журналу . 239 (2): 33. arXiv : 1810.12713 . Bibcode : 2018ApJS..239...33Y. doi : 10.3847/1538-4365/aaed3b . S2CID  59330508.
74. Аппелл, Пол; Гурса, Эдуард (1895). Теория алгебраических функций и интегральных знаний, исследование аналитических функций на поверхности Римана / Поль Аппель, Эдуард Гурса. Париж: Готье-Виллар. дои : 10.5962/bhl.title.18731.
75. Дуранте, Фабрицио; Фернандес-Санчес, Хуан; Семпи, Карло (2013). «Топологическое доказательство теоремы Склара». Письма по прикладной математике . 26 (9): 945–948. дои : 10.1016/j.aml.2013.04.005 . ISSN  0893-9659.
76. Цзэн, Сюэсин; Жэнь, Цзиньчан; Ван, Чжэн; Маршалл, Стивен; Дуррани, Тарик (январь 2014 г.). «Связи для статистической обработки сигналов (часть I): расширения и обобщение» (PDF) . Обработка сигналов . 94 : 691–702. Bibcode : 2014SigPr..94..691Z. doi : 10.1016/j.sigpro.2013.07.009. ISSN  0165-1684.
77. Zeng, Xuexing; Ren, Jinchang; Sun, Meijun; Marshall, Stephen; Durrani, Tariq (январь 2014 г.). «Связи для статистической обработки сигналов (часть II): моделирование, оптимальный выбор и практическое применение» (PDF) . Обработка сигналов . 94 : 681–690. Bibcode : 2014SigPr..94..681Z. doi : 10.1016/j.sigpro.2013.07.006. ISSN  0165-1684.
78. Storvik, B.; Storvik, G.; Fjortoft, R. (2009). «О комбинировании мультисенсорных данных с использованием метагауссовых распределений». Труды IEEE по геонаукам и дистанционному зондированию . 47 (7): 2372–2379. Bibcode : 2009ITGRS..47.2372S. doi : 10.1109/tgrs.2009.2012699. ISSN  0196-2892. S2CID  371395.
79. Дасс, SC; Юнфан Чжу; Джейн, AK (2006). «Проверка биометрической системы аутентификации: требования к размеру выборки». Труды IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 28 (12): 1902–1319. doi :10.1109/tpami.2006.255. ISSN  0162-8828. PMID  17108366. S2CID  1272268.
80. Papaefthymiou, G.; Kurowicka, D. (2009). «Использование копул для моделирования стохастической зависимости в анализе неопределенности энергосистем». IEEE Transactions on Power Systems . 24 (1): 40–49. Bibcode : 2009ITPSy..24...40P. doi : 10.1109/tpwrs.2008.2004728. ISSN  0885-8950.
81. Brunel, NJ-B.; Lapuyade-Lahorgue, J.; Pieczynski, W. (2010). «Моделирование и неконтролируемая классификация многомерных скрытых цепей Маркова с копулами». IEEE Transactions on Automatic Control . 55 (2): 338–349. doi :10.1109/tac.2009.2034929. ISSN  0018-9286. S2CID  941655.
82. Лай, Чин Дью; Балакришнан, Н. (2009). Непрерывные двумерные распределения . дои : 10.1007/b101765. ISBN 978-0-387-09613-1.
83. Durrani, TS; Zeng, X. (2007). "Copulas for bivariate probability distributions". Electronics Letters . 43 (4): 248. Bibcode :2007ElL....43..248D. doi :10.1049/el:20073737. ISSN  0013-5194.
84. Liu, X. (2010). "Связки двумерных распределений Рэлея и логнормальных распределений". Electronics Letters . 46 (25): 1669. Bibcode :2010ElL....46.1669L. doi :10.1049/el.2010.2777. ISSN  0013-5194.
85. Zeng, Xuexing; Ren, Jinchang; Wang, Zheng; Marshall, Stephen; Durrani, Tariq (2014). "Copulas for Statistics Signal Processing (Part I): Extensions and generalization" (PDF) . Signal Processing . 94 : 691–702. Bibcode :2014SigPr..94..691Z. doi :10.1016/j.sigpro.2013.07.009. ISSN  0165-1684.
86. Hachicha, S.; Chaabene, F. (2010). Frouin, Robert J; Yoo, Hong Rhyong; Won, Joong-Sun; Feng, Aiping (ред.). "Обнаружение изменений SAR с использованием копулы Рэлея". Дистанционное зондирование прибрежной океанической, сушу и атмосферную среду . 7858. SPIE: 78581F. Bibcode : 2010SPIE.7858E..1FH. doi : 10.1117/12.870023. S2CID  129437866.
87. "Кодированная связь по затухающим каналам", Цифровая связь по затухающим каналам , John Wiley & Sons, Inc., стр. 758–795, 2005, doi :10.1002/0471715220.ch13, ISBN 978-0-471-71522-1
88. Дас, Сайкат; Бхаттачарья, Амитабха (2020). «Применение смеси логнормального распределения для представления статистик первого порядка беспроводных каналов». IEEE Systems Journal . 14 (3): 4394–4401. Bibcode : 2020ISysJ..14.4394D. doi : 10.1109/JSYST.2020.2968409. ISSN  1932-8184. S2CID  213729677.
89. Алуини, М.-С.; Саймон, МК (2002). «Двойное разнесение по коррелированным логнормальным каналам замирания». IEEE Transactions on Communications . 50 (12): 1946–1959. doi :10.1109/TCOMM.2002.806552. ISSN  0090-6778.
90. Колесарова, Анна; Месиар, Радко; Самингер-Платц, Сусанна (2018), Медина, Хесус; Охеда-Асьего, Мануэль; Вердегай, Хосе Луис; Пельта, Дэвид А. (ред.), «Обобщенные связки Фарли-Гумбеля-Моргенштерна», Обработка информации и управление неопределенностью в системах, основанных на знаниях. Теория и основы , Коммуникации в области компьютерных и информационных наук, т. 853, Springer International Publishing, стр. 244–252, doi :10.1007/978-3-319-91473-2_21, ISBN 978-3-319-91472-5
91. Sundaresan, Ashok; Varshney, Pramod K. (2011). «Оценка местоположения источника случайного сигнала на основе коррелированных наблюдений датчиков». IEEE Transactions on Signal Processing . 59 (2): 787–799. Bibcode : 2011ITSP...59..787S. doi : 10.1109/tsp.2010.2084084. ISSN  1053-587X. S2CID  5725233.
92. Айенгар, Сатиш Г.; Варшни, Прамод К .; Дамарла, Тьягараджу (2011). «Параметрическая структура на основе копулы для проверки гипотез с использованием неоднородных данных». Труды IEEE по обработке сигналов . 59 (5): 2308–2319. Bibcode : 2011ITSP...59.2308I. doi : 10.1109/tsp.2011.2105483. ISSN  1053-587X. S2CID  5549193.
93. Лю, Синь; Ван, Юй (2023). «Аналитические решения для годовой вероятности обрушения склона, вызванного осадками на определенном склоне, с использованием двумерного распределения интенсивности и продолжительности осадков». Инженерная геология . 313 : 106969. Bibcode : 2023EngGe.31306969L. doi : 10.1016/j.enggeo.2022.106969. ISSN  1872-6917. S2CID  254807263.
94. Сундаресан, Ашок; Варшни, Прамод К .; Рао, Нагешвара С.В. (2011). «Слияние коррелирующих решений на основе копул». Транзакции IEEE по аэрокосмическим и электронным системам . 47 (1): 454–471. Бибкод : 2011ITAES..47..454S. дои : 10.1109/taes.2011.5705686. ISSN  0018-9251. S2CID  22562771.

Дальнейшее чтение

• Стандартная справочная информация для введения в копулы. Охватывает все основные аспекты, суммирует наиболее популярные классы копул и предоставляет доказательства важных теорем, связанных с копулами.

Роджер Б. Нельсен (1999), «Введение в связку», Springer. ISBN 978-0-387-98623-4 

• Книга, охватывающая актуальные темы математических исследований копул:

Петр Яворски, Фабрицио Дуранте, Вольфганг Карл Хёрдле, Томаш Рыхлик (редакторы): (2010): «Теория связки и ее приложения», конспект лекций по статистике, Springer. ISBN 978-3-642-12464-8 

• Справочная информация по выборочным приложениям и стохастическим моделям, связанным с копулами, приведена ниже.

Ян-Фредерик Май, Маттиас Шерер (2012): Моделирование копул (стохастические модели, алгоритмы выборки и приложения). World Scientific. ISBN 978-1-84816-874-9 

• Статья, посвященная историческому развитию теории копул, написанная человеком, связанным с «изобретением» копул, Эйбом Скларом .

Эйб Склар (1997): «Случайные величины, функции распределения и копулы – личный взгляд назад и вперед» в Rüschendorf, L., Schweizer, B. и Taylor, M. (ред.) Distributions With Fixed Marginals & Related Topics (Lecture Notes – Monograph Series Number 28). ISBN 978-0-940600-40-9 

• Стандартный справочник по многомерным моделям и теории копул в контексте финансовых и страховых моделей

Александр Дж. Макнил, Рудигер Фрей и Пол Эмбрехтс (2005) «Количественное управление рисками: концепции, методы и инструменты», Принстонская серия по финансам. ISBN 978-0-691-12255-7 

Внешние ссылки

• «Copula», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Copula Wiki: портал сообщества для исследователей, интересующихся копулами. Архивировано 11 сентября 2016 г. на Wayback Machine.
• Коллекция кодов моделирования и оценки Копулы
• Копулы и корреляция с использованием статей по моделированию Excel
• Глава 1 книги Яна-Фредерика Мая, Маттиаса Шерера (2012) «Моделирование копул: стохастические модели, алгоритмы выборки и приложения»