Вероятностное интегральное преобразование

Операция теории вероятностей

В теории вероятностей интегральное преобразование вероятности ( также известное как универсальность равномерного распределения ) относится к результату, согласно которому значения данных, которые моделируются как случайные величины из любого заданного непрерывного распределения, могут быть преобразованы в случайные величины, имеющие стандартное равномерное распределение . ^[1] Это выполняется в точности при условии, что используемое распределение является истинным распределением случайных величин; если распределение соответствует данным, результат будет приблизительно верен в больших выборках.

Иногда результат модифицируется или расширяется таким образом, что результатом преобразования становится стандартное распределение, отличное от равномерного распределения, например, экспоненциальное распределение .

Преобразование было введено Рональдом Фишером в его книге «Статистические методы для научных работников» издания 1932 года . ^[2]

Приложения

Одним из вариантов использования вероятностного интегрального преобразования в статистическом анализе данных является обеспечение основы для проверки того, можно ли разумно смоделировать набор наблюдений как результат определенного распределения. В частности, вероятностное интегральное преобразование применяется для построения эквивалентного набора значений, а затем проводится проверка того, подходит ли равномерное распределение для построенного набора данных. Примерами этого являются графики P–P и тесты Колмогорова–Смирнова .

Второе применение преобразования — в теории, связанной с копулами , которые являются средством как определения, так и работы с распределениями для статистически зависимых многомерных данных. Здесь проблема определения или манипулирования совместным распределением вероятностей для набора случайных величин упрощается или сокращается в кажущейся сложности путем применения интегрального преобразования вероятности к каждому из компонентов, а затем работы с совместным распределением, для которого маргинальные переменные имеют равномерные распределения.

Третий вариант использования основан на применении обратного преобразования интегрального вероятностного преобразования для преобразования случайных величин из равномерного распределения в выбранное распределение: это известно как выборка обратного преобразования .

Заявление

Предположим, что случайная величина имеет непрерывное распределение , для которого кумулятивная функция распределения (CDF) равна Тогда случайная величина определяется как ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{X}.}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y:=F_{X}(X)\,,}$

имеет стандартное равномерное распределение . ^{[1] [3]}

Эквивалентно, если — равномерная мера на , то распределение на является прямой мерой . ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu \circ F_{X}^{-1}}$

Доказательство

Для любой случайной непрерывной величины , определим . Для , если существует (т.е. если существует единственный такой, что ), то: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y=F_{X}(X)}$ ${\displaystyle y\in [0,1]}$ ${\displaystyle F_{X}^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle F_{X}(x)=y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{Y}(y)&=\operatorname {P} (Y\leq y)\\&=\operatorname {P} (F_{X}(X)\leq y)\\&=\operatorname {P} (X\leq F_{X}^{-1}(y))\\&=F_{X}(F_{X}^{-1}(y))\\&=y\end{aligned}}}$

Если не существует, то в этом доказательстве ее можно заменить функцией , где мы определяем , , и для , с тем же результатом, что . Таким образом, — это просто CDF случайной величины, так что имеет равномерное распределение на интервале . ${\displaystyle F_{X}^{-1}(y)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi (0)=-\infty }$ ${\displaystyle \chi (1)=\infty }$ ${\displaystyle \chi (y)\equiv \inf\{x:F_{X}(x)\geq y\}}$ ${\displaystyle y\in (0,1)}$ ${\displaystyle F_{Y}(y)=y}$ ${\displaystyle F_{Y}}$ ${\displaystyle \mathrm {Uniform} (0,1)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle [0,1]}$

Примеры

Для первого наглядного примера пусть будет случайной величиной со стандартным нормальным распределением . Тогда ее CDF будет ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}$

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}{\rm {e}}^{-t^{2}/2}\,{\rm {d}}t={\frac {1}{2}}{\Big [}\,1+\operatorname {erf} {\Big (}{\frac {x}{\sqrt {2}}}{\Big )}\,{\Big ]},\quad x\in \mathbb {R} ,\,}$

где — функция ошибок . Тогда новая случайная величина, определяемая как, распределена равномерно. ${\displaystyle \operatorname {erf} (),}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle Y:=\Phi (X),}$

В качестве второго примера, если имеет экспоненциальное распределение с единичным средним, то его CDF равен ${\displaystyle X}$

${\displaystyle F(x)=1-\exp(-x),}$

и непосредственный результат преобразования интеграла вероятности заключается в том, что

${\displaystyle Y=1-\exp(-X)}$

имеет равномерное распределение. Более того, по симметрии равномерного распределения,

${\displaystyle Z=\exp(-X)}$

также имеет равномерное распределение.

Смотрите также

• Обратное преобразование выборки

Ссылки

1. Dodge, Y. (2006) Оксфордский словарь статистических терминов , Oxford University Press
2. Дэвид, Ф. Н.; Джонсон, Н. Л. (1948). «Преобразование интеграла вероятности при оценке параметров по выборке». Biometrika . 35 (1/2): 182. doi :10.2307/2332638. JSTOR  2332638.
3. Казелла, Джордж; Бергер, Роджер Л. (2002). Статистический вывод (2-е изд.). Теорема 2.1.10, стр.54.