Семейство вероятностных распределений
В математической физике , теории вероятностей и статистике гауссово q -распределение — это семейство вероятностных распределений , которое включает, в качестве предельных случаев , равномерное распределение и нормальное (гауссово) распределение . Его представили Диас и Теруэль. [ нужны разъяснения ] Это q-аналог гауссовского или нормального распределения .
Распределение симметрично относительно нуля и ограничено, за исключением предельного случая нормального распределения. Предельное равномерное распределение находится в диапазоне от -1 до +1.
Определение Гауссова q-плотность. Пусть q — действительное число из интервала [0, 1). Функция плотности вероятности гауссова q -распределения определяется выражением
с д ( Икс ) "=" { 0 если Икс < − ν 1 с ( д ) Э д 2 − д 2 Икс 2 [ 2 ] д если − ν ≤ Икс ≤ ν 0 если Икс > ν . {\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{ 2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\ 0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}} где
ν "=" ν ( д ) "=" 1 1 − д , {\displaystyle \nu =\nu (q)={\frac {1}{\sqrt {1-q}}},} с ( д ) "=" 2 ( 1 − д ) 1 / 2 ∑ м "=" 0 ∞ ( − 1 ) м д м ( м + 1 ) ( 1 − д 2 м + 1 ) ( 1 − д 2 ) д 2 м . {\displaystyle c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}q^{m( m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{m}}}.} q -аналог [ t ] q т {\displaystyle т}
[ т ] д "=" д т − 1 д − 1 . {\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.} q - аналогом показательной функции является q-экспонента , E х q
Э д Икс "=" ∑ дж "=" 0 ∞ д дж ( дж − 1 ) / 2 Икс дж [ дж ] ! {\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j ]!}}} где q -аналогом факториала является q-факториал , [ n ] q !, который, в свою очередь, определяется выражением
[ н ] д ! "=" [ н ] д [ н − 1 ] д ⋯ [ 2 ] д {\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q} \cdots [2]_{q}\,} для целого числа n > 2 и [1] q q
Кумулятивное гауссово q-распределение. Кумулятивная функция распределения гауссовского q -распределения определяется выражением
г д ( Икс ) "=" { 0 если Икс < − ν 1 с ( д ) ∫ − ν Икс Э д 2 − д 2 т 2 / [ 2 ] д д т если − ν ≤ Икс ≤ ν 1 если Икс > ν {\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}} \int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}} где символ интегрирования обозначает интеграл Джексона .
Функция G q
г д ( Икс ) "=" { 0 если Икс < − ν , 1 2 + 1 − д с ( д ) ∑ н "=" 0 ∞ д н ( н + 1 ) ( д − 1 ) н ( 1 − д 2 н + 1 ) ( 1 − д 2 ) д 2 н Икс 2 н + 1 если − ν ≤ Икс ≤ ν 1 если Икс > ν {\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu ,\\\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac { 1-q}{c(q)}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n(n+1)}(q-1)^{n}}{( 1-q^{2n+1})(1-q^{2})_{q^{2}}^{n}}}x^{2n+1}&{\text{if }}-\ nu \leq x\leq \nu \\1&{\text{if}}\ x>\nu \end{cases}}} где
( а + б ) д н "=" ∏ я "=" 0 н − 1 ( а + д я б ) . {\displaystyle (a+b)_{q}^{n}=\prod _{i=0}^{n-1}(a+q^{i}b).} Моменты Моменты гауссова q -распределения определяются выражением
1 с ( д ) ∫ − ν ν Э д 2 − д 2 Икс 2 / [ 2 ] Икс 2 н д д Икс "=" [ 2 н − 1 ] ! ! , {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2} /[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,} 1 с ( д ) ∫ − ν ν Э д 2 − д 2 Икс 2 / [ 2 ] Икс 2 н + 1 д д Икс "=" 0 , {\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2} /[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,} где символ [2 n − 1]!! является q -аналогом двойного факториала, заданного формулой
[ 2 н − 1 ] [ 2 н − 3 ] ⋯ [ 1 ] "=" [ 2 н − 1 ] ! ! . {\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,} Смотрите также Рекомендации Диас, Р.; Паригуан, Э. (2009). «О гауссовском q-распределении». Журнал математического анализа и приложений 358 : 1–9. arXiv : 0807.1918 . дои : 10.1016/j.jmaa.2009.04.046. S2CID 115175228. Диас, Р.; Теруэль, К. (2005). «q,k-обобщенные гамма- и бета-функции» (PDF) . Журнал нелинейной математической физики 12 (1): 118–134. arXiv : math/0405402 . Бибкод : 2005JNMP...12..118D. дои : 10.2991/jnmp.2005.12.1.10. S2CID 73643153. ван Леувен, Х.; Маассен, Х. (1995). «A q-деформация распределения Гаусса» (PDF) . Журнал математической физики 36 (9): 4743. Бибкод : 1995JMP....36.4743V. CiteSeerX 10.1.1.24.6957 . дои : 10.1063/1.530917. hdl : 2066/141604. S2CID 13934946. Экстон, Х. (1983), q-гипергеометрические функции и приложения , Нью-Йорк: Halstead Press, Чичестер: Эллис Хорвуд, 1983, ISBN 0853124914 , ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538
![{\displaystyle s_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\{\frac {1}{c(q)}}E_{q^{ 2}}^{\frac {-q^{2}x^{2}}{[2]_{q}}}&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\ 0&{\mbox{if }}x>\nu .\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f4756d8f382ded295f41b2e35a5f6856e88ecbb)
![{\displaystyle [t]_{q}={\frac {q^{t}-1}{q-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a356c0354e30a936e10d638ea378c74ead1b6b13)
![{\displaystyle E_{q}^{x}=\sum _{j=0}^{\infty }q^{j(j-1)/2}{\frac {x^{j}}{[j ]!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/271b1da4445a1cb1b891e9c3d30099e2e6e99662)
![{\displaystyle [n]_{q}!=[n]_{q}[n-1]_{q} \cdots [2]_{q}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533b3c41df579ee3f4d41dd6c153ba7e4db42183)
![{\displaystyle G_{q}(x)={\begin{cases}0&{\text{if }}x<-\nu \\[12pt]\displaystyle {\frac {1}{c(q)}} \int _{-\nu }^{x}E_{q^{2}}^{-q^{2}t^{2}/[2]}\,d_{q}t&{\text{if }}-\nu \leq x\leq \nu \\[12pt]1&{\text{if }}x>\nu \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2127f2fe582b05819f37838de70f0b976b4a75d6)
![{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2} /[2]}\,x^{2n}\,d_{q}x=[2n-1]!!,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12db0a698d15e9955385a89a2bfd58d6a62a7be7)
![{\displaystyle {\frac {1}{c(q)}}\int _{-\nu }^{\nu }E_{q^{2}}^{-q^{2}x^{2} /[2]}\,x^{2n+1}\,d_{q}x=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b1ba81409d3ee37e51e8b40c38bca8d81bedc4d)
![{\displaystyle [2n-1][2n-3]\cdots [1]=[2n-1]!!.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/044891c4911617a29420b18e032d7fd9c9848714)