Геометрическая механика

Геометрическая механика — раздел математики, применяющий конкретные геометрические методы ко многим областям механики , от механики частиц и твердых тел до механики жидкости и теории управления .

Геометрическая механика применяется в основном к системам, для которых конфигурационное пространство является группой Ли или группой диффеоморфизмов , или, в более общем смысле, где некоторый аспект конфигурационного пространства имеет эту групповую структуру. Например, конфигурационное пространство твердого тела, такого как спутник, является группой евклидовых движений (трансляций и вращений в пространстве), в то время как конфигурационное пространство для жидкого кристалла является группой диффеоморфизмов, связанных с внутренним состоянием (калибровочной симметрией или параметром порядка).

Карта импульса и редукция

Одной из основных идей геометрической механики является редукция , которая восходит к устранению Якоби узла в задаче трех тел, но в своей современной форме принадлежит К. Мейеру (1973) и независимо Дж. Э. Марсдену и А. Вайнштейну (1974), оба вдохновленные работой Смейла (1970). Симметрия гамильтоновой или лагранжевой системы приводит к сохраняющимся величинам по теореме Нётер , и эти сохраняющиеся величины являются компонентами отображения импульса J . Если P — фазовое пространство, а G — группа симметрии, отображение импульса является отображением , а приведенные пространства являются факторами множеств уровня J по подгруппе G, сохраняющей рассматриваемое множество уровня: для одного определяется , и это приведенное пространство является симплектическим многообразием, если — регулярное значение J . ${\displaystyle \mathbf {J} :P\to {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle \mu \in {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle P_{\mu }=\mathbf {J} ^{-1}(\mu )/G_{\mu }}$ ${\displaystyle \mu }$

Вариационные принципы

• принцип Гамильтона
• принцип Лагранжа Д'Аламбера
• Принцип наименьшего действия Мопертюи
• Эйлер–Пуанкаре
• Вакономический

Геометрические интеграторы

Одним из важных достижений геометрического подхода к механике является включение геометрии в численные методы. В частности, симплектические и вариационные интеграторы оказываются особенно точными для долгосрочного интегрирования гамильтоновых и лагранжевых систем.

История

Термин «геометрическая механика» иногда относится к механике 17-го века. ^[1]

Как современный предмет, геометрическая механика берет свое начало в четырех работах, написанных в 1960-х годах. Это были работы Владимира Арнольда (1966), Стивена Смейла (1970) и Жана-Мари Сурио (1970), а также первое издание книги Абрахама и Марсдена « Основы механики» (1967). Фундаментальная работа Арнольда показала, что уравнения Эйлера для свободного твердого тела являются уравнениями геодезического потока на группе вращений SO(3), и перенесла это геометрическое понимание на динамику идеальных жидкостей, где группа вращений заменяется группой диффеоморфизмов, сохраняющих объем. В своей работе по топологии и механике Смейл исследует сохраняющиеся величины, возникающие из теоремы Нётер, когда группа симметрий Ли действует на механическую систему, и определяет то, что сейчас называется отображением импульса (которое Смейл называет угловым моментом), и поднимает вопросы о топологии поверхностей уровня энергии-импульса и влиянии на динамику. В своей книге Сурио также рассматривает сохраняющиеся величины, возникающие из действия группы симметрий, но он больше концентрируется на вовлеченных геометрических структурах (например, свойствах эквивариантности этого импульса для широкого класса симметрий), и меньше на вопросах динамики.

Эти идеи, и в особенности идеи Смейла, заняли центральное место во втором издании « Основ механики» (Абрахам и Марсден, 1978).

Приложения

• Компьютерная графика
• Теория управления — см. Блох (2003)
• Жидкие кристаллы — см. Гей-Балмаз, Ратиу, Трончи (2013)
• Магнитогидродинамика
• Молекулярные колебания
• Неголономные связи — см. Блох (2003)
• Нелинейная устойчивость
• Плазмы — см. Холм, Марсден, Вайнштейн (1985)
• Квантовая механика
• Квантовая химия — см. Foskett, Holm, Tronci (2019)
• Сверхтекучие жидкости
• Термодинамика — см. Гей-Балмаз, Йошимра (2018)
• Планирование траектории для исследования космоса
• Подводные аппараты
• Вариационные интеграторы; см. Marsden and West (2001)

Ссылки

1. Себастьен Маронн, Марко Панса. «Эйлер, читатель Ньютона: механика и алгебраический анализ». В: Раффаэль Пизано. Ньютон, история и историческая эпистемология науки , 2014, стр. 12–21.

• Абрахам, Ральф ; Марсден, Джерролд Э. (1978), Основы механики (2-е изд.), Эддисон-Уэсли
• Арнольд, Владимир (1966), «Sur la géométrie différentielle des groupes de Lie de size infine et ses apps a l'гидродинамика жидкостей парфе» (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 16 : 319–361, doi : 10.5802 /aif.233
• Арнольд, Владимир (1978), Математические методы классической механики , Springer-Verlag
• Блох, Энтони (2003). Неголономная механика и управление . Springer-Verlag.
• Фоскетт, Майкл С.; Холм, Дэррил Д.; Тронци, Чезаре (2019). «Геометрия неадиабатической квантовой гидродинамики». Acta Applicandae Mathematicae . 162 (1): 63–103. arXiv : 1807.01031 . дои : 10.1007/s10440-019-00257-1. S2CID  85531406.
• Гей-Бальмаз, Франсуа; Ратью, Тюдор ; Трончи, Чезаре (2013). «Эквивалентные теории динамики жидких кристаллов». Arch. Ration. Mech. Anal . 210 (3): 773–811. arXiv : 1102.2918 . Bibcode :2013ArRMA.210..773G. doi :10.1007/s00205-013-0673-1. S2CID  14968950.
• Holm, Darryl D.; Marsden, Jerrold E .; Ratiu, Tudor S .; Weinstein, Alan (1985). «Нелинейная устойчивость равновесий жидкости и плазмы». Physics Reports . 123 (1–2): 1–116. Bibcode : 1985PhR...123....1H. doi : 10.1016/0370-1573(85)90028-6.
• Либерманн, Полетт ; Марль, Шарль-Мишель (1987). Симплектическая геометрия и аналитическая механика . Математика и ее приложения. Т. 35. Дордрехт: D. Reidel. doi :10.1007/978-94-009-3807-6. ISBN 90-277-2438-5.
• Марсден, Джерролд ; Вайнштейн, Алан (1974), «Редукция симплектических многообразий с симметрией», Отчеты по математической физике , 5 (1): 121–130, Bibcode : 1974RpMP....5..121M, doi : 10.1016/0034-4877(74)90021-4
• Марсден, Джерролд ; Ратиу, Тюдор С. (1999). Введение в механику и симметрию . Тексты по прикладной математике (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98643-X.
• Мейер, Кеннет (1973). «Симметрии и интегралы в механике». Динамические системы (Proc. Sympos., Univ. Bahia, Salvador, 1971) . Нью-Йорк: Academic Press. С. 259–272.
• Ортега, Хуан-Пабло; Ратиу, Тудор С. (2004). Отображения импульса и гамильтоново сокращение . Прогресс в математике. Т. 222. Birkhauser Boston. ISBN 0-8176-4307-9.
• Смейл, Стивен (1970), «Топология и механика I», Inventiones Mathematicae , 10 (4): 305–331, Bibcode : 1970InMat..10..305S, doi : 10.1007/bf01418778, S2CID  189831616
• Сурио, Жан-Мари (1970), Structure des Systemes Dynamiques , Dunod