Геометрия Галуа

Геометрия Галуа (названная в честь французского математика 19-го века Эвариста Галуа ) — раздел конечной геометрии , который занимается алгебраической и аналитической геометрией над конечным полем (или полем Галуа ). ^[1] Более узко, геометрию Галуа можно определить как проективное пространство над конечным полем. ^[2]

Объектами исследования являются аффинные и проективные пространства над конечными полями и различные структуры, которые в них содержатся. В частности, дуги , овалы , гиперовалы , униталы , блокирующие множества , овоиды , шапки, спреды и все конечные аналоги структур, встречающиеся в неконечных геометриях. Векторные пространства, определенные над конечными полями, играют важную роль, особенно в методах построения.

Проективные пространства над конечными полями

Обозначение

Хотя иногда используется общая нотация проективной геометрии , проективные пространства над конечными полями чаще обозначают как $PG(n, q)$ , где $n$ — «геометрическая» размерность (см. ниже), а $q$ — порядок конечного поля (или поля Галуа) $GF(q)$ , который должен быть целым числом, являющимся простым числом или степенью простого числа.

Геометрическая размерность в приведенной выше нотации относится к системе, в которой линии являются 1-мерными, плоскости являются 2-мерными, точки являются 0-мерными и т. д. Модификатор, иногда термин проективный вместо геометрического используется , необходим, поскольку эта концепция размерности отличается от концепции, используемой для векторных пространств (то есть, количества элементов в базисе). Обычно наличие двух различных концепций с одинаковым названием не вызывает особых трудностей в отдельных областях из-за контекста, но в этом предмете как векторные пространства, так и проективные пространства играют важную роль, и путаница весьма вероятна. Концепция векторного пространства иногда упоминается как алгебраическая размерность. ^[3]

Строительство

Пусть $V = V(n + 1, q)$ обозначает векторное пространство (алгебраической) размерности $n + 1,$ определенное над конечным полем $GF(q)$ . Проективное пространство $PG(n, q)$ состоит из всех положительных (алгебраических) размерных векторных подпространств $V$ . Альтернативный способ рассмотреть конструкцию — определить точки PG $(n, q)$ как классы эквивалентности ненулевых векторов $V$ при отношении эквивалентности , при котором два вектора эквивалентны, если один является скалярным кратным другого. Затем подпространства строятся из точек с использованием определения линейной независимости множеств точек.

Подпространства

Векторные подпространства алгебраической размерности $d + 1$ пространства $V$ являются (проективными) подпространствами $PG(n, q)$ геометрической размерности $d$ . Проективным подпространствам даны общие геометрические названия; точки, прямые, плоскости и тела являются 0, 1, 2 и 3-мерными подпространствами соответственно. Все пространство является $n$ -мерным подпространством, а ( $n - 1$ )-мерное подпространство называется гиперплоскостью (или простым числом).

Число векторных подпространств алгебраической размерности $d$ в векторном пространстве $V(n, q)$ задается гауссовым биномиальным коэффициентом ,

\left[{\begin{matrix}n\\d\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{d-1})}{(q^{d}-1)(q^{d}-q)\cdots (q^{d}-q^{d-1})}}.

Следовательно, число $k-$ мерных проективных подпространств в $PG(n, q)$ определяется выражением

\left[{\begin{matrix}n+1\\k+1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)(q^{n+1}-q)\cdots (q^{n+1}-q^{k})}{(q^{k+1}-1)(q^{k+1}-q)\cdots (q^{k+1}-q^{k})}}.

Так, например, число строк ( $k$ = 1) в PG(3,2) равно

\left[{\begin{matrix}4\\2\end{matrix}}\right]_{2}={\frac {(2^{4}-1)(2^{4}-2)}{(2^{2}-1)(2^{2}-2)}}={\frac {(15)(14)}{(3)(2)}}=35.

Отсюда следует, что общее количество точек ( $k$ = 0) $P = PG(n, q)$ равно

\left[{\begin{matrix}n+1\\1\end{matrix}}\right]_{q}={\frac {(q^{n+1}-1)}{(q-1)}}=q^{n}+q^{n-1}+\cdots +q+1.

Это также равно числу гиперплоскостей $P.$

Число прямых, проходящих через точку $P,$ можно вычислить как число гиперплоскостей, проходящих через фиксированную точку. ^[4] $q^{n-1}+q^{n-2}+\cdots +q+1$

Пусть $U$ и $W$ — подпространства геометрии Галуа $P = PG(n, q)$ . Пересечение $U \cap W$ является подпространством $P$ , но теоретико-множественное объединение может им не быть. Объединение этих подпространств, обозначаемое как $< U, W >$ , является наименьшим подпространством $P$ , содержащим как $U ,$ так и $W$ . Размерности объединения и пересечения этих двух подпространств связаны формулой,

|<U,W>|=|U|+|W|-|U\cap W|.

Координаты

Относительно фиксированного базиса каждый вектор в $V$ однозначно представлен ( $n + 1$ )-кортежем элементов $GF(q)$ . Проективная точка — это класс эквивалентности векторов, поэтому существует много различных координат (векторов), которые соответствуют одной и той же точке. Однако все они связаны друг с другом, поскольку каждый из них является ненулевым скалярным множителем других. Это приводит к концепции однородных координат, используемых для представления точек проективного пространства.

История

Джино Фано был одним из первых авторов в области геометрий Галуа. В своей статье 1892 года ^[5] о доказательстве независимости его набора аксиом для проективного n -пространства ^[6] , среди прочего, он рассмотрел последствия того, что четвертая гармоническая точка равна ее сопряженной. Это приводит к конфигурации из семи точек и семи прямых, содержащихся в конечном трехмерном пространстве с 15 точками, 35 прямыми и 15 плоскостями, в которых каждая прямая содержит только три точки. ^[5]^{: 114} Все плоскости в этом пространстве состоят из семи точек и семи прямых и теперь известны как плоскости Фано . Фано продолжил описывать геометрии Галуа произвольной размерности и простых порядков.

Джордж Конвелл дал раннее применение геометрии Галуа в 1910 году, когда он охарактеризовал решение школьной проблемы Киркмана как разбиение множеств скрещивающихся прямых в PG(3,2) , трехмерной проективной геометрии над полем Галуа GF(2) . ^[7] Подобно методам линейной геометрии в пространстве над полем характеристики 0 , Конвелл использовал координаты Плюккера в PG(5,2) и определил точки, представляющие прямые в PG(3,2), как точки на квадрике Клейна .

В 1955 году Беньямино Сегре охарактеризовал овалы для q нечетного порядка. Теорема Сегре утверждает, что в геометрии Галуа нечетного порядка (то есть проективной плоскости, определенной над конечным полем нечетной характеристики ) каждый овал является коникой . Этот результат часто приписывают установлению геометрии Галуа как важной области исследований. На Международном математическом конгрессе 1958 года Сегре представил обзор результатов в геометрии Галуа, известных к тому времени.

Смотрите также

Геометрия падения

Примечания

^ SpringerLink
^ «Проективные пространства над конечным полем, также известные как геометрии Галуа, ...», (Хиршфельд и Тас 1992)
^ Некоторые авторы используют термин ранг для алгебраической размерности. Авторы, которые делают это, часто используют размерность, когда обсуждают геометрическую размерность.
^ Beutelspacher & Rosenbaum 1998, стр. 24-25.
^ аб Фано, Г. (1892), "Sui postulati Fondamentali della geometria proiettiva", Giornale di Matematiche , 30 : 106–132.
^ Коллино, Конте и Верра 2013, с. 6
↑ Джордж М. Конвелл (1910) «Трехмерное пространство PG(3,2) и его группы», Annals of Mathematics 11:60–76 doi :10.2307/1967582

Ссылки

Бойтельспахер, Альбрехт; Розенбаум, Юте (1998), Проективная геометрия / От основ к приложениям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-48364-3
Коллино, Альберто; Конте, Альберто; Верра, Алессандро (2013). «О жизни и научной деятельности Джино Фано». arXiv : 1311.7177 .
Де Бёль, Ян; Сторм, Лео (2011), Текущие темы исследований в области геометрии Галуа , Nova Science Publishers, ISBN 978-1-61209-523-3
Хиршфельд, JWP (1979), Проективные геометрии над конечными полями , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-850295-1, подчеркивая измерения один и два.{{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Хиршфельд, JWP (1985), Конечные проективные пространства трех измерений , Oxford University Press , ISBN 0-19-853536-8, измерение 3.{{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Хиршфельд, Дж. В. П .; Тас, Дж. А. (1992), Общая геометрия Галуа , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853537-9, рассматривая общее измерение.{{citation}}: CS1 maint: постскриптум ( ссылка )

Внешние ссылки

Геометрия Галуа в Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink