Геронов тетраэдр

Тетраэдр, у которого длина ребра, площадь граней и объем являются целыми числами.

Геронов тетраэдр ^[1] (также называемый тетраэдром Герона ^[2] или идеальной пирамидой ^[3] ) — это тетраэдр , длины ребер, площади граней и объем которого являются целыми числами . Поэтому все грани должны быть героновскими треугольниками (названными в честь Герона Александрийского ). Каждый геронов тетраэдр можно расположить в евклидовом пространстве так, чтобы координаты его вершин также были целыми числами. ^[1]

Примеры

Примером, известным Леонарду Эйлеру, является геронов бипрямоугольный тетраэдр , тетраэдр с путем из трех ребер, параллельных трем осям координат, и со всеми гранями, являющимися прямоугольными треугольниками . Длины ребер на пути из ребер, параллельных осям, составляют 153, 104 и 672, а длины других трех ребер составляют 185, 680 и 697, образуя четыре прямоугольные треугольные грани, описываемые пифагорейскими тройками (153,104,185), (104,672,680), (153,680,697) и (185,672,697). ^[4]

Восемь примеров героновых тетраэдров были обнаружены в 1877 году Рейнхольдом Хоппе . ^[5]

117 — наименьшая возможная длина самого длинного ребра идеального тетраэдра с целыми длинами ребер. Длины других его ребер равны 51, 52, 53, 80 и 84. ^[3] 8064 — наименьший возможный объем (а 6384 — наименьшая возможная площадь поверхности) идеального тетраэдра. Целые длины ребер геронова тетраэдра с таким объемом и площадью поверхности равны 25, 39, 56, 120, 153 и 160. ^[6]

В 1943 году Э. П. Штарке опубликовал другой пример, в котором две грани являются равнобедренными треугольниками с основанием 896 и сторонами 1073, а другие две грани также являются равнобедренными с основанием 990 и теми же сторонами. ^[7] Однако Штарке допустил ошибку в указании объема, что стало широко копироваться. ^[2] Правильный объем равен124 185 600 , что вдвое больше числа, о котором сообщил Штарке. ^[8]

Саша Курц использовал алгоритмы компьютерного поиска, чтобы найти все героновы тетраэдры с наибольшей длиной ребра не более600 000 . ^[9]

Классификация, бесконечные семейства и специальные типы тетраэдров

Правильный тетраэдр ( у которого все грани равносторонние) не может быть героновским тетраэдром, потому что для правильных тетраэдров, длины ребер которых являются целыми числами, площади граней и объемы являются иррациональными числами . ^[10] По той же причине ни один геронов тетраэдр не может иметь равносторонний треугольник в качестве одной из своих граней. ^[3]

Существует бесконечно много героновских тетраэдров, и, что еще более важно, бесконечно много героновских двуклиноидов , тетраэдров, в которых все грани конгруэнтны и каждая пара противоположных сторон имеет одинаковую длину. В этом случае для описания тетраэдра требуется всего три длины ребер, а не шесть, и тройки длин, которые определяют героновы тетраэдры, можно охарактеризовать с помощью эллиптической кривой . ^{[3] [11]} Существует также бесконечно много героновских тетраэдров с циклом из четырех равных длин ребер, в которых все грани являются равнобедренными треугольниками . ^[2]

Существует также бесконечно много героновских бипрямоугольных тетраэдров. Один из методов создания тетраэдров этого типа выводит длины ребер, параллельных осям , и из двух равных сумм четвертых степеней ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle p^{4}+s^{4}=q^{4}+r^{4}}$

используя формулы

${\displaystyle a={\bigl |}(pq)^{2}-(rs)^{2}{\bigr |},}$

${\displaystyle b={\bigl |}2pqrs{\bigr |},}$

${\displaystyle c={\bigl |}(pr)^{2})-|(qs)^{2}{\bigr |}.}$

Например, тетраэдр, полученный таким образом из тождества Леонарда Эйлера , , имеет , , и равен ${\displaystyle 59^{4}+158^{4}=133^{4}+134^{4}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$386 678 175 ,332 273 368 и379 083 360 , с гипотенузой прямоугольного треугольника, равной ${\displaystyle ab}$509 828 993 , гипотенуза прямоугольного треугольника равна ${\displaystyle bc}$504 093 032 , а гипотенуза оставшихся двух сторон равна635 318 657 . ^[8] Для этих тетраэдров, , и образуют длины ребер почти идеального кубоида , прямоугольного кубоида, в котором стороны, две из трех диагоналей граней и диагональ тела являются целыми числами. ^[4] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

Ни одного примера геронова трипрямоугольного тетраэдра не обнаружено, и никто не доказал, что таковых не существует.

Полная классификация всех героновых тетраэдров остаётся неизвестной. ^{[1] [2]}

Связанные формы

Альтернативное определение героновских треугольников заключается в том, что они могут быть образованы путем склеивания двух целочисленных прямоугольных треугольников вдоль общей стороны. Это определение также было обобщено на три измерения, что привело к другому классу тетраэдров, которые также были названы героновскими тетраэдрами. ^[12]

Ссылки

1. Маршалл, Сьюзан Х .; Перлис, Александр Р. (2013), «Героновы тетраэдры — это решетчатые тетраэдры» (PDF) , American Mathematical Monthly , 120 (2): 140–149, doi :10.4169/amer.math.monthly.120.02.140, MR  3029939, S2CID  15888158
2. Чисхолм, К.; Макдугалл, JA (2006), «Рациональные и Героновы тетраэдры», Журнал теории чисел , 121 (1): 153–185, doi : 10.1016/j.jnt.2006.02.009 , hdl : 1959.13/26739 , MR  2268761
3. Бухгольц, Ральф Хайнер (1992), "Perfect pyramids" (PDF) , Bulletin of the Australian Mathematical Society , 45 (3): 353–368, doi : 10.1017/S0004972700030252 , MR  1165142, архивировано из оригинала (PDF) 27 октября 2009 г.
4. Gardner, Martin (1983), "Глава 2: Диофантов анализ и Великая теорема Ферма", Wheels, Life and Other Mathematical Amusements , WH Freeman, стр. 10–19, Bibcode : 1983wlom.book.....G; см. в частности страницу 14
5. Хоппе, Р. (1877), «Über Reasone Dreikante und Tetraeder», Archiv der Mathematik und Physik , 61 : 86–98, как цитируют Чисхолм и Макдугалл (2006)
6. Петерсон, Иварс (июль 2003 г.), «Math Trek: Perfect Pyramids», Science News , архивировано из оригинала 20 февраля 2008 г.
7. Starke, EP (июнь–июль 1943), «E 544: Соизмеримый тетраэдр», Проблемы и решения, The American Mathematical Monthly , 50 (6): 390, doi :10.2307/2303724, JSTOR  2303724
8. «Проблема 930» (PDF) , Solutions, Crux Mathematicorum , 11 (5): 162–166, май 1985 г.
9. Курц, Саша (2008), «О генерации героновых треугольников», Serdica Journal of Computing , 2 (2): 181–196, arXiv : 1401.6150 , MR  2473583
10. Коксетер, HSM (1973), Регулярные многогранники (3-е изд.), Довер, Таблица I(i), стр. 292–293
11. Güntsche, R. (1907), "Rationale Tetraeder mit kongruenten Seiten", Sitzungsberichte der Berliner Mathematische Gesellschaft , 6 : 38–53, как цитируют Чисхолм и Макдугалл (2006)
12. Лин, К.-С. (ноябрь 2011 г.), «95,66 Обратный объем тетраэдра Герона», The Mathematical Gazette , 95 (534): 542–545, doi :10.1017/S0025557200003740, JSTOR  23248533(о другой концепции с тем же названием)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Геронов тетраэдр". MathWorld .