stringtranslate.com

Аксиомы Гильберта

Аксиомы Гильберта — это набор из 20 предположений, предложенных Дэвидом Гильбертом в 1899 году в его книге «Grundlagen der Geometrie» [1] [2] [3] [4] (тр. «Основы геометрии ») в качестве основы для современной трактовки евклидовой геометрии. . Другие известные современные аксиоматизации евклидовой геометрии принадлежат Альфреду Тарскому и Джорджу Биркгофу .

Аксиомы

Система аксиом Гильберта построена на основе шести примитивных понятий : трех примитивных терминов: [5]

и три примитивных отношения : [6]

Сегменты линий, углы и треугольники могут быть определены в терминах точек и прямых линий, используя отношения взаимосвязи и содержания. Все точки, прямые линии и плоскости в следующих аксиомах различны, если не указано иное.

I. Заболеваемость

  1. Для каждых двух точек A и B существует прямая a , содержащая их обе. Пишем AB = a или BA = a . Вместо «содержит» мы можем использовать и другие формы выражения; например, мы можем сказать: « А лежит на а », « А является точкой а », « а проходит через А и через В », « а соединяет А с В » и т. д. Если А лежит на а и в в то же время на другой прямой b мы употребляем также выражение: «Прямые a и b имеют общую точку A » и т. д.
  2. Для каждых двух точек существует не более одной линии, содержащей их обе; следовательно, если AB = a и AC = a , где B ≠ C , то также BC = a .
  3. На прямой существует как минимум две точки. Существуют по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
  4. Для каждых трёх точек A , B , C, не лежащих на одной прямой, существует плоскость α, содержащая их все. Для каждой плоскости существует точка, лежащая на ней. Пишем ABC = α . Мы пользуемся также выражениями: « А , В , С лежат в α »; « A , B , C — точки α » и т. д.
  5. Для каждых трёх точек A , B , C , не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей их все.
  6. Если две точки A , B прямой a лежат в плоскости α , то каждая точка a лежит в плоскости α . В этом случае мы говорим: «Прямая а лежит в плоскости а » и т. д.
  7. Если две плоскости α , β имеют общую точку A , то у них есть хотя бы вторая общая точка B.
  8. Существует по крайней мере четыре точки, не лежащие в плоскости.

II. Заказ

  1. Если точка B лежит между точками A и C , то B также находится между C и A , и существует линия, содержащая различные точки A , B , C.
  2. Если A и C — две точки, то на прямой AC существует хотя бы одна точка B такая, что C лежит между A и B. [7]
  3. Из любых трёх точек, расположенных на прямой, не более одной лежит между двумя другими. [8]
  4. Аксиома Паша : пусть A , B , C — три точки, не лежащие на одной прямой, и пусть a — прямая, лежащая в плоскости ABC и не проходящая через ни одну из точек A , B , C. Тогда, если прямая a проходит через точку отрезка AB , она также пройдет либо через точку отрезка BC , либо через точку отрезка AC .

III. Конгруэнтность

  1. Если A , B — две точки на прямой a , и если A ′ — точка на той же или другой прямой a ′, то на данной стороне A ′ на прямой a ′ всегда можно найти точку B ′ так, что отрезок AB конгруэнтен отрезку A ′ B ′. Обозначим это соотношение записью AB ≅ A ′ B ′ . Каждый сегмент конгруэнтен сам себе; то есть всегда AB ≅ AB .
    Мы можем кратко сформулировать приведенную выше аксиому, сказав, что каждый отрезок можно отложить с данной стороны от данной точки данной прямой хотя бы одним способом.
  2. Если отрезок AB конгруэнтен отрезку A ′ B ′, а также отрезку A ″ B ″, то отрезок A ′ B ′ конгруэнтен отрезку A ″ B ″; то есть, если AB ≅ A ′ B ′ и AB ≅ A ″ B ″ , то A ′ B ′ ≅ A ″ B ″ .
  3. Пусть AB и BC — два отрезка прямой a , не имеющие общих точек, кроме точки B , и, кроме того, пусть A ′ B ′ и B ′ C ′ – два отрезка одной и той же или другой прямой a ′, имеющие , также нет никакой общей точки, кроме B '. Тогда, если AB ≅ A ′ B ′ и BC ≅ B ′ C ′ , мы имеем AC ≅ A ′ C ′ .
  4. Пусть угол ∠ ( h , k ) задан в плоскости α и прямая a ′ задана в плоскости α ′. Предположим также, что в плоскости α ′ задана определенная сторона прямой a ′. Обозначим через h ' луч прямой a ', исходящий из точки O ' этой прямой. Тогда в плоскости α ′ существует один и только один луч k ′ такой, что угол ∠( h , k ) или ∠( k , h ) конгруэнтен углу ∠( h ′, k ′) и при в то же время все внутренние точки угла ∠ ( h ′, k ′) лежат на данной стороне a ′. Выразим это соотношение посредством обозначения ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) .
  5. Если угол ∠( h , k ) конгруэнтен углу ∠ ( h ′, k ′) и углу ∠ ( h ″, k ″) , то угол ∠ ( h ′, k ′) конгруэнтен угол ∠ ( h ″, k ″) ; то есть, если ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) и ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″) , то ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( ч ″, к ″) .
  6. Если в двух треугольниках ABC и A ′ B ′ C ′ выполнены сравнения AB ≅ A ′ B ′ , AC ≅ A ′ C ′ , ∠ BAC ≅ ∠ B ′ A ′ C ′ , то сравнение ∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ (и, заменив обозначения, отсюда следует, что ∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′ B ′ также имеет место).

IV. Параллели

  1. Аксиома Евклида : [9] Пусть a — любая прямая, а A — точка, не лежащая на ней. Тогда существует не более одной прямой на плоскости, определяемой a и A , которая проходит через A и не пересекает a .

V. Преемственность

  1. Аксиома Архимеда : если AB и CD — любые отрезки, то существует число n такое, что n отрезков CD , построенных смежно из A , вдоль луча от A через B , пройдут за точку B.
  2. Аксиома полноты линии : расширение (расширенная линия из уже существующей линии, обычно используемая в геометрии) набора точек на линии с ее отношениями порядка и конгруэнтности, которые сохраняли бы отношения, существующие между исходными элементами, а также фундаментальные свойства порядка и конгруэнтности линий, следующие из аксиом I-III и V-1, невозможны.

Отброшенная аксиома Гильберта

Гильберт (1899) включил 21-ю аксиому следующего содержания:

II.4. Любые четыре точки A , B , C , D на прямой всегда можно пометить так, чтобы B лежала между A и C , а также между A и D , и, кроме того, что C должна лежать между A и D , а также между B и D. Д. _

Это утверждение также известно как теорема Паша .

Э. Х. Мур и Р. Л. Мур независимо друг от друга доказали, что эта аксиома избыточна, и первый опубликовал этот результат в статье, опубликованной в «Трудах Американского математического общества» в 1902 году. [10]

До этого аксиома Паша , теперь обозначенная как II.4, имела номер II.5.

Издания и переводы Grundlagen der Geometrie

Оригинальная монография, основанная на его собственных лекциях, была организована и написана Гильбертом для мемориальной речи, произнесенной в 1899 году. За ней вскоре последовал французский перевод, в который Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, одобренный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторскими правами в 1902 году. Этот перевод включал в себя изменения, внесенные во французский перевод, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и несколько изданий вышло на немецком языке. 7-е издание было последним, вышедшим при жизни Гильберта. В предисловии к этому изданию Гильберт писал:

«Настоящее седьмое издание моей книги «Основы геометрии» содержит значительные улучшения и дополнения к предыдущему изданию, частично за счет моих последующих лекций по этому предмету, а частично за счет улучшений, сделанных за это время другими авторами. Основной текст книги был переработан. соответственно."

За 7-м последовали новые издания, но основной текст по существу не перерабатывался. Изменения в этих изданиях происходят в приложениях и дополнениях. Изменения в тексте были значительными по сравнению с оригиналом, и новый английский перевод был заказан издательством Open Court Publishers, опубликовавшим перевод Таунсенда. Итак, 2-е английское издание было переведено Лео Унгером с 10-го немецкого издания в 1971 году. Этот перевод включает в себя несколько исправлений и дополнений более поздних немецких изданий Пола Бернейса.

Перевод Унгера отличается от перевода Таунсенда в отношении аксиом следующим образом:

Аксиома полноты . К системе точек, прямых и плоскостей невозможно добавить другие элементы таким образом, чтобы обобщенная таким образом система образовала новую геометрию, подчиняющуюся всем пяти группам аксиом. Другими словами, элементы геометрии образуют систему, которая не подлежит расширению, если мы считаем действительными пять групп аксиом.

Последние две модификации принадлежат П. Бернейсу.

Другие примечательные изменения:

Приложение

Эти аксиомы аксиоматизируют евклидову пространственную геометрию . Удаление пяти аксиом, в которых существенно упоминается «плоскость», а именно I.4–8, и изменение III.4 и IV.1, чтобы исключить упоминание о плоскостях, приводит к аксиоматизации геометрии евклидовой плоскости .

Аксиомы Гильберта, в отличие от аксиом Тарского , не составляют теории первого порядка , поскольку аксиомы V.1–2 не могут быть выражены в логике первого порядка .

Ценность «Grundlagen» Гильберта была скорее методологической, чем содержательной или педагогической. Другие важные вклады в аксиоматику геометрии были сделаны Морицем Пашем , Марио Пьери , Освальдом Вебленом , Эдвардом Вермили Хантингтоном , Гилбертом Робинсоном и Генри Джорджем Фордером . Ценность Grundlagen заключается в его новаторском подходе к метаматематическим вопросам, включая использование моделей для доказательства независимости аксиом; и необходимость доказать непротиворечивость и полноту системы аксиом.

Математика в двадцатом веке превратилась в сеть аксиоматических формальных систем . В значительной степени на это повлиял пример, который Гильберт подал в « Грундлагене» . Однако попытка (Мейкле и Флерио) в 2003 году формализовать Grundlagen с помощью компьютера показала, что некоторые из доказательств Гильберта, похоже, опираются на диаграммы и геометрическую интуицию, и поэтому выявила некоторые потенциальные двусмысленности и упущения в его определениях. [11]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Соммер, Юлиус (1900). «Обзор: Grundlagen der Geometrie, Тойбнер, 1899 г.» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 6 (7): 287–299. дои : 10.1090/s0002-9904-1900-00719-1 .
  2. ^ Пуанкаре, Анри (1903). «Рецензия Пуанкаре на «Основы геометрии» Гильберта в переводе Э.В. Хантингтона» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 10 :1–23. дои : 10.1090/S0002-9904-1903-01061-1 .
  3. ^ Швейцер, Артур Ричард (1909). «Обзор: Grundlagen der Geometrie, третье издание, Тойбнер, 1909 г.» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 15 (10): 510–511. дои : 10.1090/s0002-9904-1909-01814-2 .
  4. ^ Гронуолл, TH (1919). «Обзор: Grundlagen der Geometrie, четвертое издание, Тойбнер, 1913 г.» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 20 (6): 325–326. дои : 10.1090/S0002-9904-1914-02492-9 .
  5. ^ Эти аксиомы и их нумерация взяты из перевода Унгера (на английский язык) 10-го издания Grundlagen der Geometrie .
  6. ^ Можно было бы посчитать это шесть отношений, как указано ниже, но Гильберт этого не сделал.
  7. ^ В издании Таунсенда это утверждение отличается тем, что оно также включает существование хотя бы одной точки D с C между A и D , что стало теоремой в более позднем издании.
  8. ^ Часть существования («есть хотя бы один») является теоремой.
  9. ^ Это терминология Гильберта. Это утверждение более известно как аксиома Плейфэра .
  10. ^ Мур, Э.Х. (1902), «О проективных аксиомах геометрии» (PDF) , Transactions of the American Mathematical Society , 3 (1): 142–158, doi : 10.2307/1986321 , JSTOR  1986321
  11. ^ На странице 334: «Формализуя Grundlagen в Изабель/Изаре, мы показали, что работа Гильберта замалчивала тонкие моменты рассуждений и в некоторых случаях в значительной степени полагалась на диаграммы, которые позволяли делать неявные предположения. По этой причине можно утверждать, что что Гильберт чередовал свои аксиомы с геометрической интуицией, чтобы доказать многие из своих теорем».

Рекомендации

Внешние ссылки