stringtranslate.com

Аксиомы Гильберта

Аксиомы Гильберта — это набор из 20 предположений, предложенных Дэвидом Гильбертом в 1899 году в его книге Grundlagen der Geometrie [1] [2] [3] [4] (пер. The Foundations of Geometry ) в качестве основы для современной трактовки евклидовой геометрии . Другие известные современные аксиоматизации евклидовой геометрии принадлежат Альфреду Тарскому и Джорджу Биркгофу .

Аксиомы

Система аксиом Гильберта построена с помощью шести элементарных понятий : трех элементарных терминов: [5]

и три примитивных отношения : [6]

Отрезки линий, углы и треугольники могут быть определены в терминах точек и прямых линий, используя отношения промежуточности и содержания. Все точки, прямые линии и плоскости в следующих аксиомах являются различными, если не указано иное.

I. Заболеваемость

  1. Для каждых двух точек A и B существует прямая a , которая содержит их обе. Мы пишем AB = a или BA = a . Вместо «содержит» мы можем также использовать другие формы выражения; например, мы можем сказать « A лежит на a », « A является точкой a », « a проходит через A и через B », « a соединяет A с B » и т. д. Если A лежит на a и в то же время на другой прямой b , мы также используем выражение: «Прямые a и b имеют общую точку A » и т. д.
  2. Для каждых двух точек существует не более одной прямой, содержащей их обе; следовательно, если AB = a и AC = a , где B ≠ C , то также BC = a .
  3. На прямой существует по крайней мере две точки. Существует по крайней мере три точки, которые не лежат на одной прямой.
  4. Для любых трех точек A , B , C, не лежащих на одной прямой, существует плоскость α, которая содержит их все. Для каждой плоскости существует точка, которая лежит на ней. Мы пишем ABC = α . Мы также используем выражения: « A , B , C лежат в α »; « A , B , C являются точками α » и т. д.
  5. Для каждых трёх точек A , B , C , не лежащих на одной прямой, существует не более одной плоскости, содержащей их все.
  6. Если две точки A , B прямой a лежат в плоскости α , то каждая точка a лежит в α . В этом случае мы говорим: «Прямая a лежит в плоскости α » и т. д.
  7. Если две плоскости α , β имеют общую точку A , то они имеют по крайней мере вторую общую точку B.
  8. Существуют по крайней мере четыре точки, не лежащие в одной плоскости.

II.Заказ

  1. Если точка B лежит между точками A и C , то B также находится между C и A , и существует прямая, содержащая различные точки A , B , C.
  2. Если A и C — две точки, то существует по крайней мере одна точка B на прямой AC, такая что C лежит между A и B. [7 ]
  3. Из любых трех точек, расположенных на одной линии, не более одной лежит между двумя другими. [8]
  4. Аксиома Паша : Пусть A , B , C — три точки, не лежащие на одной прямой, и пусть a — прямая, лежащая в плоскости ABC и не проходящая ни через одну из точек A , B , C. Тогда, если прямая a проходит через точку отрезка AB , она также пройдет либо через точку отрезка BC , либо через точку отрезка AC .

III.Конгруэнтность

  1. Если A , B — две точки на прямой a , и если A ′ — точка на той же или другой прямой a ′ , то на данной стороне A ′ на прямой a ′ мы всегда можем найти точку B ′ так, что отрезок AB будет конгруэнтным отрезку A ′ B ′ . Мы обозначаем это отношение, записывая AB ≅ A ′ B ′ . Каждый отрезок конгруэнтен самому себе; то есть мы всегда имеем AB ≅ AB .
    Мы можем кратко сформулировать приведенную выше аксиому, сказав, что каждый отрезок может быть отложен на данной стороне данной точки данной прямой линии по крайней мере одним способом.
  2. Если отрезок AB равен отрезку A ′ B ′, а также отрезку A ″ B ″, то отрезок A ′ B ′ равен отрезку A ″ B ″; то есть если AB ≅ A ′ B ′ и AB ≅ A ″ B ″ , то A ′ B ′ ≅ A ″ B ″ .
  3. Пусть AB и BC — два отрезка прямой a, не имеющие общих точек, кроме точки B , и, далее, пусть A ′ B ′ и B ′ C ′ — два отрезка той же или другой прямой a ′, также не имеющие общих точек, кроме B ′. Тогда, если AB ≅ A ′ B ′ и BC ≅ B ′ C ′ , то мы имеем AC ≅ A ′ C ′ .
  4. Пусть в плоскости α задан угол ∠ ( h , k ) и в плоскости α ′ задана прямая a ′ . Предположим также, что в плоскости α ′ задана определенная сторона прямой a ′. Обозначим через h ′ луч прямой a ′, выходящий из точки O ′ этой прямой. Тогда в плоскости α ′ существует один и только один луч k ′ такой, что угол ∠ ( h , k ) , или ∠ ( k , h ) , равен углу ∠ ( h ′, k ′) и в то же время все внутренние точки угла ∠ ( h ′, k ′) лежат на данной стороне a ′. Выразим это соотношение с помощью обозначения ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) .
  5. Если угол ∠ ( h , k ) конгруэнтен углу ∠ ( h ′, k ′) и углу ∠ ( h ″, k ″) , то угол ∠ ( h ′, k ′) конгруэнтен углу ∠ ( h ″, k ″) ; то есть, если ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ′, k ′) и ∠ ( h , k ) ≅ ∠ ( h ″, k ″) , то ∠ ( h ′, k ′) ≅ ∠ ( h ″, k ″) .
  6. Если в двух треугольниках ABC и A ′ B ′ C ′ выполняются сравнения AB ≅ A ′ B ′ , AC ≅ A ′ C ′ , ∠ BAC ≅ ∠ B ′ A ′ C ′ , то выполняется сравнение ∠ ABC ≅ ∠ A ′ B ′ C ′ (и, изменив обозначения, следует, что также выполняется сравнение ∠ ACB ≅ ∠ A ′ C ′ B ′ ).

IV.Параллели

  1. Аксиома Плейфера : [9] Пусть a — любая прямая, а A — точка, не лежащая на ней. Тогда существует не более одной прямой в плоскости, определяемой a и A , которая проходит через A и не пересекает a .

V. Непрерывность

  1. Аксиома Архимеда : Если AB и CD — любые отрезки, то существует такое число n , что n отрезков CD, построенных непрерывно из A вдоль луча из A через B , пройдут за точку B.
  2. Аксиома полноты линии : расширение (продолжение линии из уже существующей линии, обычно используемое в геометрии) множества точек на линии с ее отношениями порядка и конгруэнтности, которое сохраняло бы отношения, существующие между исходными элементами, а также основные свойства порядка и конгруэнтности линии, вытекающие из аксиом I-III и из V-1, невозможно.

Отброшенная аксиома Гильберта

Гильберт (1899) включил 21-ю аксиому, которая гласила следующее:

II.4. Любые четыре точки A , B , C , D прямой всегда можно пометить так, что B будет лежать между A и C , а также между A и D , и, более того, C будет лежать между A и D , а также между B и D.

Это утверждение также известно как теорема Паша .

Э. Х. Мур и Р. Л. Мур независимо друг от друга доказали, что эта аксиома избыточна, и первый опубликовал этот результат в статье, появившейся в « Трудах Американского математического общества» в 1902 году. [10]

До этого аксиома Паша , которая сейчас обозначена как II.4, имела номер II.5.

Издания и переводыОсновы геометрии

Оригинальная монография, основанная на его собственных лекциях, была организована и написана Гильбертом для памятного обращения, произнесенного в 1899 году. За этим вскоре последовал французский перевод, в котором Гильберт добавил V.2, Аксиому полноты. Английский перевод, одобренный Гильбертом, был сделан Э. Дж. Таунсендом и защищен авторским правом в 1902 году. Этот перевод включал изменения, внесенные во французский перевод, и поэтому считается переводом 2-го издания. Гильберт продолжал вносить изменения в текст, и несколько изданий появились на немецком языке. 7-е издание было последним, появившимся при жизни Гильберта. В предисловии к этому изданию Гильберт писал:

«Настоящее седьмое издание моей книги «Основы геометрии» вносит значительные улучшения и дополнения в предыдущее издание, частично из моих последующих лекций по этому предмету, а частично из улучшений, сделанных в то же время другими авторами. Основной текст книги был соответствующим образом переработан».

За 7-м изданием последовали новые издания, но основной текст по сути не был пересмотрен. Изменения в этих изданиях происходят в приложениях и дополнениях. Изменения в тексте были большими по сравнению с оригиналом, и новый английский перевод был заказан Open Court Publishers, которые опубликовали перевод Таунсенда. Таким образом, 2-е английское издание было переведено Лео Унгером с 10-го немецкого издания в 1971 году. Этот перевод включает в себя несколько исправлений и дополнений более поздних немецких изданий Пола Бернайса.

Перевод Унгера отличается от перевода Таунсенда в отношении аксиом следующим образом:

Аксиома полноты . К системе точек, прямых и плоскостей невозможно добавить другие элементы таким образом, чтобы обобщенная таким образом система образовала новую геометрию, подчиняющуюся всем пяти группам аксиом. Другими словами, элементы геометрии образуют систему, которая не допускает расширения, если мы считаем пять групп аксиом действительными.

Последние две модификации принадлежат П. Бернейсу.

Другие важные изменения:

Приложение

Эти аксиомы аксиоматизируют евклидову геометрию тела . Удаление пяти аксиом, упоминающих «плоскость» существенным образом, а именно I.4–8, и изменение III.4 и IV.1 для исключения упоминаний плоскостей, дает аксиоматизацию евклидовой геометрии плоскости .

Аксиомы Гильберта, в отличие от аксиом Тарского , не образуют теорию первого порядка, поскольку аксиомы V.1–2 не могут быть выражены в логике первого порядка .

Ценность Grundlagen Гильберта была скорее методологической, чем содержательной или педагогической. Другие важные вклады в аксиоматику геометрии внесли Мориц Паш , Марио Пьери , Освальд Веблен , Эдвард Вермили Хантингтон , Гилберт Робинсон и Генри Джордж Фордер . Ценность Grundlagen заключается в его новаторском подходе к метаматематическим вопросам, включая использование моделей для доказательства независимости аксиом; и необходимость доказательства непротиворечивости и полноты системы аксиом.

Математика в двадцатом веке превратилась в сеть аксиоматических формальных систем . Это в значительной степени было обусловлено примером, который Гильберт привел в Grundlagen . Однако попытка 2003 года (Мейкл и Флерио) формализовать Grundlagen с помощью компьютера обнаружила, что некоторые доказательства Гильберта, по-видимому, опираются на диаграммы и геометрическую интуицию, и, таким образом, выявили некоторые потенциальные двусмысленности и упущения в его определениях. [11]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Соммер, Юлиус (1900). «Обзор: Grundlagen der Geometrie, Тойбнер, 1899 г.» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 6 (7): 287–299. дои : 10.1090/s0002-9904-1900-00719-1 .
  2. ^ Пуанкаре, Анри (1903). «Обзор Пуанкаре «Оснований геометрии» Гильберта, переведенный Э. В. Хантингтоном» (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 10 : 1–23. doi : 10.1090/S0002-9904-1903-01061-1 .
  3. ^ Швейцер, Артур Ричард (1909). «Обзор: Grundlagen der Geometrie, третье издание, Тойбнер, 1909 г.» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 15 (10): 510–511. дои : 10.1090/s0002-9904-1909-01814-2 .
  4. ^ Гронуолл, TH (1919). «Обзор: Grundlagen der Geometrie, четвертое издание, Тойбнер, 1913 г.» (PDF) . Бык. амер. Математика. Соц . 20 (6): 325–326. дои : 10.1090/S0002-9904-1914-02492-9 .
  5. ^ Эти аксиомы и их нумерация взяты из перевода Унгера (на английский язык) 10-го издания « Основ геометрии» .
  6. ^ Это можно было бы посчитать за шесть отношений, как указано ниже, но Гильберт этого не сделал.
  7. ^ В издании Таунсенда это утверждение отличается тем, что оно также включает существование по крайней мере одной точки D с C между A и D , что стало теоремой в более позднем издании.
  8. ^ Часть существования («существует по крайней мере один») является теоремой.
  9. ^ Это терминология Гильберта. Это утверждение более известно как аксиома Плейфера .
  10. ^ Мур, Э. Х. (1902), «О проективных аксиомах геометрии» (PDF) , Труды Американского математического общества , 3 (1): 142–158, doi : 10.2307/1986321 , JSTOR  1986321
  11. ^ На странице 334: «Формализуя Grundlagen в Isabelle/Isar, мы показали, что работа Гильберта затушевывает тонкие моменты рассуждений и в некоторых случаях в значительной степени опирается на диаграммы, которые позволяют делать неявные предположения. По этой причине можно утверждать, что Гильберт перемежал свои аксиомы с геометрической интуицией, чтобы доказать многие из своих теорем».

Ссылки

Внешние ссылки