stringtranslate.com

Аксиома Плейфэра

Предшественник аксиомы Плейфера: прямая и точка, не лежащая на прямой
Следствие аксиомы Плейфера: вторая прямая, параллельная первой, проходящая через точку

В геометрии аксиома Плейфера — это аксиома , которую можно использовать вместо пятого постулата Евклида ( постулата параллельности ):

На плоскости , если заданы прямая и точка, не лежащая на ней, через эту точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной прямой. [1]

Он эквивалентен постулату параллельности Евклида в контексте евклидовой геометрии [2] и был назван в честь шотландского математика Джона Плейфера . Предложение "в лучшем случае" - это все, что нужно, поскольку из первых четырех аксиом можно доказать, что существует по крайней мере одна параллельная прямая, если задана прямая L и точка P, не лежащая на L , следующим образом:

  1. Постройте перпендикуляр : используя аксиомы и ранее установленные теоремы, можно построить прямую, перпендикулярную прямой L , которая проходит через точку P.
  2. Построим еще один перпендикуляр : из точки P опустим вторую перпендикулярную линию к первой .
  3. Параллельная прямая : эта вторая перпендикулярная прямая будет параллельна L по определению параллельных прямых (т.е. внутренние накрест лежащие углы равны согласно 4-й аксиоме).

Утверждение часто записывается фразой: «существует одна и только одна параллель». В « Началах» Евклида две прямые называются параллельными, если они никогда не пересекаются, и другие характеристики параллельных прямых не используются. [3] [4]

Эта аксиома используется не только в евклидовой геометрии, но и в более широком изучении аффинной геометрии , где концепция параллельности является центральной. В аффинной геометрии требуется более сильная форма аксиомы Плейфера (где «не более одного» заменяется на «один и только один»), поскольку аксиомы нейтральной геометрии отсутствуют для доказательства существования. Версия аксиомы Плейфера стала настолько популярной, что ее часто называют аксиомой параллельности Евклида [5] , хотя это не была версия аксиомы Евклида.

История

Прокл (410–485 гг. н.э.) ясно высказывает это утверждение в своем комментарии к Евклиду I.31 (Книга I, Предложение 31). [6]

В 1785 году Уильям Ладлэм выразил аксиому параллельности следующим образом: [7]

Две прямые линии, встречающиеся в одной точке, не могут быть одновременно параллельны третьей линии.

Это краткое выражение евклидова параллелизма было принято Плейфером в его учебнике «Элементы геометрии» (1795), который часто переиздавался. Он писал [8]

Две пересекающиеся прямые не могут быть параллельны одной и той же прямой.

Плейфэр признал Ладлама и других за упрощение евклидова утверждения. В более поздних разработках точка пересечения двух линий появилась первой, и отрицание двух параллелей стало выражаться как уникальная параллель, проходящая через данную точку. [9]

В 1883 году Артур Кейли был президентом Британской ассоциации и выразил следующее мнение в своем обращении к Ассоциации: [10]

Я считаю, что Двенадцатая аксиома Евклида в ее формулировке Плейфера не нуждается в доказательстве, но является частью нашего представления о пространстве, о физическом пространстве нашего опыта, которое является представлением, лежащим в основе всего внешнего опыта.

Когда Дэвид Гильберт написал свою книгу «Основы геометрии» (1899), [11] представив новый набор аксиом для евклидовой геометрии, он использовал форму аксиомы Плейфера вместо оригинальной евклидовой версии для обсуждения параллельных прямых. [12]

Связь с пятым постулатом Евклида

Если сумма внутренних углов α и β меньше 180°, то две прямые, продолженные до бесконечности, пересекутся на этой стороне.

Постулат Евклида о параллельных прямых гласит:

Если отрезок пересекает две прямые линии, образуя два внутренних угла с одной стороны, сумма которых меньше двух прямых углов , то эти две линии, если их продолжить до бесконечности, встретятся с той стороны, с которой сумма углов меньше двух прямых углов. [13]

Сложность этого утверждения по сравнению с формулировкой Плейфера, безусловно, является одним из главных факторов популярности цитирования аксиомы Плейфера при обсуждении постулата о параллельных прямых.

В контексте абсолютной геометрии два утверждения эквивалентны, что означает, что каждое из них может быть доказано путем предположения другого при наличии остальных аксиом геометрии. Это не означает, что утверждения логически эквивалентны (т. е. одно может быть доказано из другого с использованием только формальных манипуляций логики), поскольку, например, при интерпретации в сферической модели эллиптической геометрии одно утверждение истинно, а другое — нет. [14] Логически эквивалентные утверждения имеют одинаковое значение истинности во всех моделях, в которых они имеют интерпретации.

Приведенные ниже доказательства предполагают, что все аксиомы абсолютной (нейтральной) геометрии верны.

Пятый постулат Евклида подразумевает аксиому Плейфера

Самый простой способ показать это — использовать теорему Евклида (эквивалентную пятому постулату), которая гласит, что углы треугольника в сумме дают два прямых угла. Даны прямая и точка P , не лежащая на этой прямой. Постройте прямую t , перпендикулярную данной, через точку P , а затем перпендикуляр к этому перпендикуляру в точке P. Эта прямая параллельна, потому что она не может пересечься и образовать треугольник, что утверждается в предложении 27 Книги 1 «Начал» Евклида . [15] Теперь можно увидеть, что других параллелей не существует. Если n — вторая прямая, проходящая через P , то n образует острый угол с t (поскольку она не является перпендикуляром), и гипотеза пятого постулата верна, и, таким образом, n пересекает . [16]

Аксиома Плейфера подразумевает пятый постулат Евклида

Учитывая, что постулат Плейфера подразумевает, что только перпендикуляр к перпендикуляру является параллельным, линии построения Евклида должны будут пересечь друг друга в точке. Также необходимо доказать, что они сделают это в той стороне, где сумма углов меньше двух прямых углов, но это сложнее. [17]

Важность равенства треугольников

Классическая эквивалентность между аксиомой Плейфера и пятым постулатом Евклида разрушается при отсутствии конгруэнтности треугольников. [18] Это показано путем построения геометрии, которая переопределяет углы таким образом, чтобы уважать аксиомы инцидентности, порядка и конгруэнтности Гильберта, за исключением конгруэнтности Сторона-Угол-Сторона (SAS). Эта геометрия моделирует классическую аксиому Плейфера, но не пятый постулат Евклида.

Транзитивность параллелизма

Предложение 30 Евклида гласит: «Две прямые, каждая из которых параллельна третьей прямой, параллельны друг другу». Август Де Морган отметил [19] , что это предложение логически эквивалентно аксиоме Плейфера. Это замечание было пересказано [20] Т. Л. Хитом в 1908 году. Аргумент Де Моргана звучит следующим образом: Пусть X будет множеством пар различных прямых, которые встречаются, а Y — множеством различных пар прямых, каждая из которых параллельна одной общей прямой. Если z представляет собой пару различных прямых, то утверждение,

Для всех z , если z принадлежит X , то z не принадлежит Y ,

является аксиомой Плейфера (в терминах Де Моргана, Ни один X не является Y ) и ее логически эквивалентной контрапозицией ,

Для всех z , если z принадлежит Y , то z не принадлежит X ,

Евклид I.30, транзитивность параллелизма (Ни один Y не есть X ).

Совсем недавно это следствие было сформулировано по-другому в терминах бинарного отношения, выраженного параллельными прямыми : В аффинной геометрии отношение считается отношением эквивалентности , что означает, что прямая считается параллельной самой себе . Энди Лю [21] писал: «Пусть P будет точкой, не лежащей на прямой 2. Предположим, что и прямая 1, и прямая 3 проходят через P и параллельны прямой 2. По транзитивности они параллельны друг другу и, следовательно, не могут иметь ровно P в общем. Из этого следует, что они являются одной и той же прямой, что является аксиомой Плейфера».

Примечания

  1. ↑ Плейфэр 1846, стр. 29
  2. ^ точнее, в контексте абсолютной геометрии .
  3. ^ Элементы Евклида, Книга I, определение 23
  4. ↑ Хит 1956, т. 1, стр. 190
  5. ^ например, Рафаэль Арци (1965) Линейная геометрия , стр. 202, Эддисон-Уэсли
  6. ↑ Хит 1956, т. 1, стр. 220
  7. ↑ Уильям Ладлэм (1785) «Основы математики» , стр. 145, Кембридж
  8. ↑ Плейфэр 1846, стр. 11
  9. ↑ Плейфэр 1846, стр. 291.
  10. ^ Уильям Барретт Франкленд (1910) Теории параллелизма: историческая критика , стр. 31, Cambridge University Press
  11. ^ Гильберт, Дэвид (1990) [1971], Основы геометрии [Grundlagen der Geometrie] , перевод Лео Унгера с 10-го немецкого издания (2-е англ. изд.), Ла-Саль, Иллинойс: Open Court Publishing, ISBN 0-87548-164-7
  12. ↑ Ивс 1963, стр. 385-7
  13. ↑ Джордж Филлипс (1826) Элементы геометрии (содержащие первые шесть книг Евклида), стр. 3, Болдуин, Крэдок и Джой
  14. ^ Хендерсон, Дэвид В.; Тайминя, Дайна (2005), Опыт геометрии: евклидова и неевклидова с историей (3-е изд.), Аппер Сэдл Ривер, Нью-Джерси: Pearson Prentice Hall, стр. 139, ISBN 0-13-143748-8
  15. ^ Этот аргумент предполагает больше, чем необходимо для доказательства результата. Существуют доказательства существования параллелей, которые не предполагают эквивалент пятого постулата.
  16. ^ Гринберг 1974, стр. 107
  17. ↑ Доказательство можно найти в Heath 1956, т. 1, стр. 313.
  18. ^ Браун, Элизабет Т.; Кастнер, Эмили; Дэвис, Стивен; О'Ши, Эдвин; Сереженков, Эдуард; Варгас, А. Дж. (2019-08-01). «Об эквивалентности аксиомы Плейфера постулату о параллельных прямых». Journal of Geometry . 110 (2): 42. arXiv : 1903.05233 . doi :10.1007/s00022-019-0496-9. ISSN  1420-8997.
  19. ↑ Дополнительные замечания к первым шести книгам «Начал» Евклида в « Компаньоне к Альманаху» , 1849.
  20. ↑ Хит 1956, т. 1, стр. 314.
  21. ^ Журнал колледжа математики 42(5):372

Ссылки

(3 тома): ISBN 0-486-60088-2 (том 1), ISBN 0-486-60089-0 (том 2), ISBN 0-486-60090-4 (том 3).