Гиперболическая траектория

Концепция астродинамики

Синий путь на этом изображении является примером гиперболической траектории.

Гиперболическая траектория изображена в правом нижнем квадранте этой диаграммы, где гравитационная потенциальная яма центральной массы показывает потенциальную энергию, а кинетическая энергия гиперболической траектории показана красным цветом. Высота кинетической энергии уменьшается по мере уменьшения скорости и увеличения расстояния согласно законам Кеплера. Часть кинетической энергии, которая остается выше нулевой полной энергии, связана с гиперболической избыточной скоростью.

В астродинамике или небесной механике гиперболическая траектория или гиперболическая орбита — это траектория любого объекта вокруг центрального тела со скоростью, более чем достаточной для того, чтобы избежать гравитационного притяжения центрального объекта. Название происходит от того, что согласно теории Ньютона такая орбита имеет форму гиперболы . В более технических терминах это можно выразить условием, что эксцентриситет орбиты больше единицы.

При упрощенных предположениях тело, движущееся по этой траектории, будет стремиться к бесконечности, достигая конечной избыточной скорости относительно центрального тела. Подобно параболическим траекториям , все гиперболические траектории также являются траекториями ухода . Удельная энергия орбиты гиперболической траектории положительна.

Облеты планет, используемые для гравитационных рогаток , можно описать в сфере влияния планеты с помощью гиперболических траекторий.

Параметры, описывающие гиперболическую траекторию

Как и эллиптическая орбита, гиперболическая траектория для данной системы может быть определена (без учета ориентации) по ее большой полуоси и эксцентриситету. Однако при гиперболической орбите другие параметры могут оказаться более полезными для понимания движения тела. В следующей таблице перечислены основные параметры, описывающие путь тела по гиперболической траектории вокруг другого при стандартных предположениях, и формула, связывающая их.

Большая полуось, энергия и гиперболическая избыточная скорость

Большая полуось ( ) не видна сразу при гиперболической траектории, но ее можно построить, поскольку она представляет собой расстояние от периапсиса до точки пересечения двух асимптот. Обычно, по соглашению, оно отрицательное, чтобы различные уравнения согласовывались с эллиптическими орбитами. ${\displaystyle a\,\!}$

Большая полуось напрямую связана с удельной орбитальной энергией ( ) или характеристической энергией орбиты, а также со скоростью, которой достигает тело по мере того, как расстояние стремится к бесконечности, - гиперболической избыточной скоростью ( ). ${\displaystyle \epsilon \,}$ ${\displaystyle C_{3}}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v_{\infty }^{2}=2\epsilon =C_{3}=-\mu /a}$ или ${\displaystyle a=-{\mu /{v_{\infty }^{2}}}}$

где: стандартный гравитационный параметр и характеристическая энергия, обычно используемая при планировании межпланетных миссий. ${\displaystyle \mu =Gm\,\!}$ ${\displaystyle C_{3}}$

Обратите внимание, что полная энергия положительна в случае гиперболической траектории (тогда как для эллиптической орбиты она отрицательна).

Эксцентриситет и угол между подходом и выездом

При гиперболической траектории эксцентриситет орбиты ( ) больше 1. Эксцентриситет напрямую связан с углом между асимптотами. При эксцентриситете чуть больше 1 гипербола имеет острую V-образную форму. У асимптот расположены прямые углы. Асимптоты расположены на расстоянии более 120° друг от друга, а перицентрическое расстояние больше большой полуоси. По мере дальнейшего увеличения эксцентриситета движение приближается к прямой линии. ${\displaystyle e\,}$ ${\displaystyle e={\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle e>2}$

Угол между направлением периапсиса и асимптотой центрального тела является истинной аномалией , поскольку расстояние стремится к бесконечности ( ), так же как и внешний угол между направлениями подхода и ухода (между асимптотами). Затем ${\displaystyle \theta _{\infty }\,}$ ${\displaystyle 2\theta _{\infty }\,}$

${\displaystyle \theta {_{\infty }}=\cos ^{-1}(-1/e)\,}$или ${\displaystyle e=-1/\cos \theta {_{\infty }}\,}$

Параметр удара и дистанция наибольшего сближения

Гиперболические траектории, по которым следуют объекты, приближающиеся к центральному объекту (маленькая точка) с одинаковой гиперболической избыточной скоростью (и большой полуосью (= 1)) и с того же направления, но с разными параметрами удара и эксцентриситетом. Желтая линия действительно проходит вокруг центральной точки, приближаясь к ней вплотную.

Параметр удара — это расстояние, на котором тело, если бы оно продолжало двигаться по невозмущенной траектории, пропустило бы центральное тело при его максимальном приближении . Для тел, испытывающих гравитационные силы и следующих по гиперболическим траекториям, она равна малой полуоси гиперболы.

В случае приближения космического корабля или кометы к планете ударный параметр и избыточная скорость будут известны точно. Если известно центральное тело, теперь можно найти траекторию, включая то, насколько близко приближающееся тело будет находиться в перицентре. Если это меньше радиуса планеты, следует ожидать удара. Расстояние наибольшего сближения, или перицентрическое расстояние, определяется как:

${\displaystyle r_{p}=-a(e-1)={\frac {\mu }{v_{\infty }^{2}}}\left({\sqrt {1+\left(b{\frac {v_{\infty }^{2}}{\mu }}\right)^{2}}}-1\right)}$

Таким образом, если комета приближается к Земле (эффективный радиус ~6400 км) со скоростью 12,5 км/с (приблизительная минимальная скорость приближения тела, прилетающего из внешней Солнечной системы ), чтобы избежать столкновения с Землей, параметр удара будет нуждаться в быть не менее 8600 км, или на 34% больше радиуса Земли. Чтобы избежать столкновения, телу, приближающемуся к Юпитеру (радиус 70 000 км) из внешней Солнечной системы со скоростью 5,5 км/с, параметр удара должен быть не менее 770 000 км или в 11 раз больше радиуса Юпитера.

Если масса центрального тела неизвестна, его стандартный гравитационный параметр и, следовательно, его масса могут быть определены по отклонению меньшего тела вместе с ударным параметром и скоростью приближения. Поскольку обычно все эти переменные можно определить точно, пролет космического корабля позволит получить хорошую оценку массы тела.

${\displaystyle \mu =bv_{\infty }^{2}\tan \delta /2}$где - угол, на который меньшее тело отклоняется от прямой линии на своем пути. ${\displaystyle \delta =2\theta _{\infty }-\pi }$

Уравнения движения

Позиция

В гиперболической траектории истинная аномалия связана с расстоянием между вращающимися телами ( ) уравнением орбиты : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r\,}$

${\displaystyle r={\frac {\ell }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Связь между истинной аномалией θ и эксцентрической аномалией E (альтернативно гиперболической аномалией H ) следующая: ^[3]

${\displaystyle \cosh {E}={{\cos {\theta }+e} \over {1+e\cdot \cos {\theta }}}}$     или         или   ${\displaystyle \tan {\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {e+1}{e-1}}}\cdot \tanh {\frac {E}{2}}}$ ${\displaystyle \tanh {\frac {E}{2}}={\sqrt {\frac {e-1}{e+1}}}\cdot \tan {\frac {\theta }{2}}}$

Эксцентрическая аномалия E связана со средней аномалией M уравнением Кеплера :

${\displaystyle M=e\sinh E-E}$

Средняя аномалия пропорциональна времени

${\displaystyle M={\sqrt {\frac {\mu }{-a^{3}}}}.(t-\tau ),}$где μ — гравитационный параметр , а — большая полуось орбиты .

Угол траектории полета

Угол траектории полета (φ) — это угол между направлением скорости и перпендикуляром к радиальному направлению, поэтому он равен нулю в перицентре и стремится к 90 градусам на бесконечности.

${\displaystyle \tan(\phi )={\frac {e\cdot \sin \theta }{1+e\cdot \cos \theta }}}$

Скорость

При стандартных предположениях орбитальная скорость ( ) тела, движущегося по гиперболической траектории , может быть вычислена из уравнения vis-viva как: ${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+{1 \over {a}}\right)}}}$^[4]

где:

• ${\displaystyle \mu \,}$стандартный гравитационный параметр ,
• ${\displaystyle r\,}$— радиальное расстояние вращающегося тела от центрального тела ,
• ${\displaystyle a\,\!}$— (отрицательная) большая полуось .

При стандартных предположениях в любой позиции на орбите для орбитальной скорости ( ), локальной скорости убегания ( ) и гиперболической избыточной скорости ( ) справедливо следующее соотношение : ${\displaystyle v\,}$ ${\displaystyle {v_{esc}}\,}$ ${\displaystyle v_{\infty }\,\!}$

${\displaystyle v^{2}={v_{esc}}^{2}+{v_{\infty }}^{2}}$

Обратите внимание, что это означает, что относительно небольшая дополнительная дельта- v выше той, которая необходима для ускорения до скорости убегания, приводит к относительно большой скорости на бесконечности. Например, в месте, где скорость убегания равна 11,2 км/с, добавление 0,4 км/с дает гиперболическую избыточную скорость 3,02 км/с.

${\displaystyle {\sqrt {11.6^{2}-11.2^{2}}}=3.02}$

Это пример эффекта Оберта . Обратное также верно: тело не нужно замедлять значительно по сравнению с его гиперболической избыточной скоростью (например, за счет атмосферного сопротивления вблизи перицентра), чтобы скорость упала ниже скорости убегания и, таким образом, для того, чтобы тело было захвачено.

Радиальная гиперболическая траектория

Радиальная гиперболическая траектория — это непериодическая траектория по прямой, где относительная скорость двух объектов всегда превышает скорость убегания . Возможны два случая: тела удаляются друг от друга или навстречу друг другу. Это гиперболическая орбита с малой полуосью = 0 и эксцентриситетом = 1. Хотя эксцентриситет равен 1, это не параболическая орбита.

Отклонение с конечной сферой влияния

Более точная формула для угла отклонения с учетом радиуса сферы влияния отклоняющего тела и перицентра : ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle R_{\text{SOI}}}$ ${\displaystyle p_{e}}$

${\displaystyle \delta =2\arcsin \left({\frac {{\sqrt {1-{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}{\sqrt {1+{\frac {p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}-{\frac {2\mu p_{e}}{v_{\infty }^{2}R_{\text{SOI}}^{2}}}}}}{1+{\frac {v_{\infty }^{2}p_{e}}{\mu }}-{\frac {2p_{e}}{R_{\text{SOI}}}}}}\right)}$

Релятивистская задача двух тел

В контексте проблемы двух тел в общей теории относительности траектории объектов, обладающих достаточной энергией, чтобы избежать гравитационного притяжения другого, больше не имеют формы гиперболы. Тем не менее, термин «гиперболическая траектория» до сих пор используется для описания орбит такого типа.

Смотрите также

• Орбита
• Орбитальное уравнение
• Кеплер орбита
• Список орбит
• Планетарный облет
• Гиперболический астероид
• Гиперболическая комета

Рекомендации

• Валладо, Дэвид А. (2007). Основы астродинамики и приложения, третье издание . Хоторн, Калифорния: Хоторн Пресс. ISBN 978-1-881883-14-2.

1. ТАК, Кеплер; Сарайва, Мария де Фатима (2014). Астрономия и астрофизика . Порту-Алегри: Факультет астрономии - Институт физики Федерального университета Риу-Гранди-ду-Сул. стр. 97–106.
2. «Основы космического полета: орбитальная механика». Архивировано из оригинала 4 февраля 2012 г. Проверено 28 февраля 2012 г.
3. Пит, Мэтью М. (13 июня 2019 г.). «Динамика и управление космическим кораблем» (PDF) .
4. Орбитальная механика и астродинамика Брайана Вебера: https://orbital-mechanics.space/the-orbit-equation/hyperbolic-trajectories.html

Внешние ссылки

• Траектории
• Орбиты
• гиперболический