В математической области теории узлов гиперболический объем гиперболического зацепления — это объем дополнения зацепления относительно его полной гиперболической метрики. Объем обязательно является конечным действительным числом и является топологическим инвариантом зацепления. [1] Как инвариант зацепления он был впервые изучен Уильямом Терстоном в связи с его гипотезой геометризации . [2]
Гиперболическое зацепление — это зацепление в 3-сфере , дополнение которого (пространство, образованное удалением зацепления из 3-сферы) может быть задано полной римановой метрикой постоянной отрицательной кривизны , придавая ему структуру гиперболического 3-многообразия , фактора гиперболического пространства по группе, действующей на нем свободно и разрывно. Компоненты зацепления станут каспами 3-многообразия, а само многообразие будет иметь конечный объем. По жесткости Мостова , когда дополнение зацепления имеет гиперболическую структуру, эта структура определяется однозначно, и любые геометрические инварианты структуры также являются топологическими инвариантами зацепления. В частности, гиперболический объем дополнения является инвариантом узла. Чтобы сделать его хорошо определенным для всех узлов или зацеплений, гиперболический объем негиперболического узла или зацепления часто определяется равным нулю.
Существует только конечное число гиперболических узлов для любого заданного объема. [2] Мутация гиперболического узла будет иметь тот же объем, [3] поэтому можно придумать примеры с равными объемами; действительно, существуют произвольно большие конечные наборы различных узлов с равными объемами. [ 2] На практике гиперболический объем оказался очень эффективным для различения узлов, используемых в некоторых обширных усилиях по табулированию узлов . Компьютерная программа Джеффри Уикса SnapPea является повсеместным инструментом, используемым для вычисления гиперболического объема связи. [1]
В более общем смысле гиперболический объем может быть определен для любого гиперболического 3-многообразия . Многообразие Уикса имеет наименьший возможный объем среди всех замкнутых многообразий (многообразий, которые, в отличие от дополнительных звеньев, не имеют каспов); его объем приблизительно равен 0,9427. [5]
Терстон и Йоргенсен доказали, что множество действительных чисел, которые являются гиперболическими объемами 3-многообразий, является вполне упорядоченным с типом порядка ω ω . [6] Наименьшая предельная точка в этом множестве объемов задается дополнением узла восьмерки , [ 7] а наименьшая предельная точка предельных точек задается дополнением зацепления Уайтхеда . [8]