stringtranslate.com

Табуляция узлов

Небольшая таблица всех простых узлов (за исключением зеркальных отображений ) с 7 пересечениями или менее.

Со времен теории вихрей сэра Уильяма Томсона математики пытались классифицировать и табулировать все возможные узлы . По состоянию на май 2008 года были табулированы все простые узлы до 16 пересечений . [1] Основная проблема процесса заключается в том, что многие, казалось бы, различные узлы на самом деле могут быть различными геометрическими представлениями одной и той же топологической сущности, и что доказать или опровергнуть эквивалентность узлов гораздо сложнее, чем кажется на первый взгляд.

Начало

В 19 веке сэр Уильям Томсон выдвинул гипотезу о том, что химические элементы основаны на запутанных вихрях в эфире. [2] В попытке создать периодическую таблицу элементов П. Г. Тейт , К. Н. Литтл и другие начали пытаться подсчитать все возможные узлы. [3] Поскольку их работа предшествовала изобретению цифрового компьютера, всю работу приходилось выполнять вручную.

Пара Перко

В 1974 году Кеннет Перко обнаружил дублирование в таблицах Тейта-Литтла, названное парой Перко . Более поздние таблицы узлов использовали два подхода к решению этой проблемы: некоторые просто пропускали одну из записей без перенумерации, а другие перенумеровывали более поздние записи, чтобы удалить дыру. Полученная неоднозначность сохраняется и по сей день и еще больше усугубляется ошибочными попытками исправить ошибки, вызванные этим, которые сами по себе были неверными. Например, страница Wolfram Web's Perko Pair ошибочно сравнивает два разных узла (из-за перенумерации математиками, такими как Берд и Бар-Натан).

Новые методы

Джим Хосте, Джефф Уикс и Морвен Тистлтуэйт использовали компьютерный поиск для подсчета всех узлов с 16 или менее пересечениями. Это исследование было выполнено отдельно с использованием двух разных алгоритмов на разных компьютерах, что подтверждает правильность его результатов. Оба подсчета обнаружили 1701936 простых узлов (включая незавершенный узел ) с количеством пересечений до 16. [1] Совсем недавно, в 2020 году, Бенджамин Бертон классифицировал все простые узлы с количеством пересечений до 19 (которых почти 300 миллионов). [4] [5]

Начиная с трех пересечений (минимум для любого нетривиального узла), число простых узлов для каждого числа пересечений равно

1, 1, 2, 3, 7, 21, 49, 165, 552, 2176, 9988, 46972, 253293, 1388705, ... (последовательность A002863 в OEIS )

Современные автоматизированные методы теперь позволяют подсчитать миллиарды узлов за считанные дни. [3]

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeff (1998), "Первые 1,701,936 узлов" (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 20 (4): 33–48, doi :10.1007/BF03025227, MR  1646740, S2CID  18027155, архивировано (PDF) из оригинала 29.07.2010.
  2. ^ Томсон, Уильям (1869), «О вихревых атомах», Труды Королевского общества Эдинбурга , 6 : 94–105, doi :10.1017/s0370164600045430
  3. ^ ab Hoste, Jim, The Enumeration and Classification of Knots and Links (PDF) , заархивировано (PDF) из оригинала 2019-05-30 , извлечено 2020-06-27
  4. ^ Бертон, Бенджамин А. (2020). «Следующие 350 миллионов узлов». В Кабельо, Серджио; Чен, Дэнни З. (ред.). 36-й Международный симпозиум по вычислительной геометрии (SoCG 2020) . Международные труды Лейбница по информатике (LIPIcs). Том. 164. Дагштуль, Германия: Schloss Dagstuhl-Leibniz-Zentrum für Informatik. стр. 25:1–25:17. doi : 10.4230/LIPIcs.SoCG.2020.25 . ISBN 978-3-95977-143-6.
  5. ^ Ричесон, Дэвид С. (2022-10-31). «Почему математики изучают узлы». Журнал Quanta . Получено 2022-11-05 .