Узлы использовались для основных целей, таких как запись информации , закрепление и связывание объектов вместе, на протяжении тысяч лет. Ранний значительный стимул в теории узлов появился позже с сэром Уильямом Томсоном (лорд Кельвин) и его вихревой теорией атома .
Разные узлы лучше подходят для разных задач, таких как скалолазание или парусный спорт . Узлы также считались имеющими духовный и религиозный символизм в дополнение к их эстетическим качествам. Бесконечный узел появляется в тибетском буддизме, в то время как кольца Борромео неоднократно появлялись в разных культурах, часто символизируя единство. Кельтские монахи, создавшие Келлскую книгу, щедро украшали целые страницы замысловатыми кельтскими узлами .
Узлы изучались с математической точки зрения Карлом Фридрихом Гауссом , который в 1833 году разработал интеграл зацепления Гаусса для вычисления числа зацепления двух узлов. Его ученик Иоганн Бенедикт Листинг , в честь которого назван узел Листинга , продолжил их изучение.
В 1867 году, наблюдая за экспериментами шотландского физика Питера Тейта с кольцами дыма, Томсон пришел к идее, что атомы — это узлы закрученных вихрей в эфире . Химические элементы, таким образом, соответствуют узлам и связям. Эксперименты Тейта были вдохновлены работой Гельмгольца о вихревых кольцах в несжимаемых жидкостях. Томсон и Тейт считали, что понимание и классификация всех возможных узлов объяснит, почему атомы поглощают и излучают свет только на тех дискретных длинах волн , на которых они это делают. Например, Томсон считал, что натрий может быть связью Хопфа из-за его двух линий спектра. [1]
Впоследствии Тейт начал перечислять уникальные узлы, полагая, что он создает таблицу элементов. Он сформулировал то, что сейчас известно как гипотезы Тейта о чередующихся узлах . (Гипотезы были доказаны в 1990-х годах.) Таблицы узлов Тейта впоследствии были улучшены CN Little и Thomas Kirkman . [1] : 6
Джеймс Клерк Максвелл , коллега и друг Томсона и Тейта, также проявил сильный интерес к узлам. Максвелл изучал работу Листинга по узлам. Он переосмыслил интеграл связи Гаусса в терминах электромагнитной теории. В его формулировке интеграл представлял собой работу, совершаемую заряженной частицей, движущейся вдоль одного компонента связи под воздействием магнитного поля, создаваемого электрическим током, вместе с другим компонентом. Максвелл также продолжил изучение дымовых колец, рассмотрев три взаимодействующих кольца.
Когда светоносный эфир не был обнаружен в эксперименте Майкельсона-Морли , теория вихрей полностью устарела, а теория узлов перестала представлять большой научный интерес. Современная физика показывает, что дискретные длины волн зависят от квантовых уровней энергии .
После развития топологии в начале 20-го века, возглавляемой Анри Пуанкаре , такие топологи, как Макс Ден , Дж. В. Александер и Курт Рейдемейстер , исследовали узлы. Из этого возникли движения Рейдемейстера и многочлен Александера . [1] : 15–45 Ден также разработал хирургию Дена , которая связала узлы с общей теорией 3-многообразий, и сформулировал проблемы Дена в теории групп , такие как проблема слов . Среди первых пионеров в первой половине 20-го века был Ральф Фокс , который популяризировал этот предмет. В этот ранний период теория узлов в основном состояла из изучения группы узлов и гомологических инвариантов дополнения узла .
В 1961 году Вольфганг Хакен открыл алгоритм, который может определить , является ли узел нетривиальным . Он также изложил стратегию решения общей проблемы распознавания узлов, то есть определения того, эквивалентны ли два заданных узла или нет. В начале 1970-х годов Фридхельм Вальдхаузен объявил о завершении программы Хакена, основанной на его результатах и результатах Клауса Йоханссона, Уильяма Жако , Питера Шалена и Джеффри Хемиона. В 2003 году Сергей Матвеев указал на важный пробел и заполнил его.
Несколько крупных открытий в конце 20-го века значительно обновили теорию узлов и вывели ее дальше в русло. В конце 1970-х годов теорема о гиперболизации Уильяма Терстона ввела теорию гиперболических 3-многообразий в теорию узлов и сделала ее первостепенной важности. В 1982 году Терстон получил медаль Филдса, высшую награду в математике, во многом благодаря этому прорыву. Работа Терстона также привела, после значительного расширения другими, к эффективному использованию инструментов из теории представлений и алгебраической геометрии . Затем последовали важные результаты, включая теорему Гордона–Люкке , которая показала, что узлы определяются (с точностью до зеркального отражения) своими дополнениями, и гипотезу Смита .
Интерес к теории узлов со стороны общего математического сообщества значительно возрос после открытия Воаном Джонсом многочлена Джонса в 1984 году. Это привело к появлению других многочленов узлов, таких как скобочный многочлен , многочлен HOMFLY и многочлен Кауфмана . В 1990 году за эту работу Джонс был награжден медалью Филдса . [1] : 71–89 В 1988 году Эдвард Виттен предложил новую структуру для многочлена Джонса, используя существующие идеи из математической физики , такие как интегралы Фейнмана по траекториям , и вводя новые понятия, такие как топологическая квантовая теория поля . [2] Виттен также получил медаль Филдса в 1990 году, частично за эту работу. Описание Виттеном многочлена Джонса подразумевало связанные инварианты для 3-многообразий . Одновременные, но различные подходы других математиков привели к инвариантам Виттена–Решетихина–Тураева и различным так называемым « квантовым инвариантам », которые, по-видимому, являются математически строгой версией инвариантов Виттена. [3] В 1980-х годах Джон Хортон Конвей открыл процедуру развязывания узлов, постепенно известную как нотация Конвея .
В 1992 году был основан журнал «Journal of Knot Theory and Its Ramifications» , посвященный исключительно теории узлов.
В начале 1990-х годов инварианты узлов, охватывающие многочлен Джонса и его обобщения, называемые инвариантами конечного типа , были открыты Васильевым и Гусаровым . Эти инварианты, первоначально описанные с использованием «классических» топологических средств, были показаны лауреатом премии Филдса 1994 года Максимом Концевичем как результат интегрирования , с использованием интеграла Концевича , некоторых алгебраических структур. [4]
За этими прорывами последовало открытие гомологии Хованова и гомологии узла Флоера , которые значительно обобщают полиномы Джонса и Александера. Эти теории гомологии способствовали дальнейшему распространению теории узлов.
В последние несколько десятилетий 20-го века ученые и математики начали находить приложения теории узлов к проблемам биологии и химии . Теория узлов может быть использована для определения того, является ли молекула хиральной (имеет ли «рукопожатность») или нет. Химические соединения с разной рукопожатностью могут иметь радикально различающиеся свойства, ярким примером чего является талидомид . В более общем плане методы теории узлов использовались при изучении топоизомеров , топологически различных расположений одной и той же химической формулы. Тесно связанная теория клубков эффективно использовалась при изучении действия определенных ферментов на ДНК. [5] Междисциплинарная область физической теории узлов исследует математические модели узлов, основанные на физических соображениях, чтобы понять явления образования узлов, возникающие в таких материалах, как ДНК или полимеры.
В физике было показано, что некоторые гипотетические квазичастицы , такие как неабелевы анионы, проявляют полезные топологические свойства, а именно, что их квантовые состояния остаются неизменными из-за окружающей изотопии их мировых линий . Есть надежда, что их можно использовать для создания квантового компьютера, устойчивого к декогеренции . Поскольку мировые линии образуют математическую косу , теория кос , родственная области теории узлов , используется при изучении свойств такого компьютера, называемого топологическим квантовым компьютером . [6]
Развитие, связанное с теорией узлов и дополняющее ее, — это топология цепей , которая была первоначально предложена Алирезой Машаги [7] как теория, которая фокусируется на открытых цепях, включающих внутрицепочечные контакты или связи. Теория исторически развивалась для решения проблем в молекулярной топологии и, в частности, в биологии. [8]