Гипероктаэдрическая группа

Группа симметрий n-мерного гиперкуба

В математике гипероктаэдрическая группа — важный тип группы , которая может быть реализована как группа симметрий гиперкуба или кросс -политопа . Она была названа Альфредом Янгом в 1930 году . Группы этого типа идентифицируются параметром n — размерностью гиперкуба.

Как группа Коксетера она имеет тип B _n = C _n , а как группа Вейля она связана с симплектическими группами и с ортогональными группами в нечетных измерениях. Как сплетение это где S n _- симметрическая группа степени n . Как группа перестановок группа является знаковой симметрической группой перестановок  π либо из множества ⁠ ⁠ , либо из множества ⁠ ⁠ таких, что ⁠ ⁠ для всех  i . Как матричная группа ее можно описать как группу ортогональных матриц n × n , все элементы которых являются целыми числами . Эквивалентно, это множество матриц n × n с элементами только 0, 1 или -1, которые обратимы и которые имеют ровно один ненулевой элемент в каждой строке или столбце. Теория представления гипероктаэдрической группы была описана (Young 1930) согласно (Kerber 1971, p. 2). ${\displaystyle S_{2}\wr S_{n}}$ ${\displaystyle \{-n,-n+1,\cdots ,-1,1,2,\cdots ,n\}}$ ${\displaystyle \{-n,-n+1,\cdots ,n\}}$ ${\displaystyle \pi (i)=-\pi (-i)}$

В трех измерениях гипероктаэдрическая группа известна как O × S ₂ , где O ≅ S ₄ — октаэдрическая группа , а S ₂ — симметрическая группа (здесь циклическая группа ) порядка 2. Говорят, что геометрические фигуры в трех измерениях с этой группой симметрии имеют октаэдрическую симметрию , названную в честь правильного октаэдра , или 3- ортоплекса . В 4-мериях это называется гексадекахорической симметрией , в честь правильного 16-ячеечного , или 4 - ортоплекса . В двух измерениях структура гипероктаэдрической группы является абстрактной диэдральной группой порядка восемь , описывающей симметрию квадрата , или 2-ортоплекса.

По размеру

8 перестановок квадрата, образующих D ₄

8 из 48 перестановок куба, образующих О _h

Гипероктаэдрические группы могут быть обозначены как B n , скобочная запись или как граф группы Коксетера:

Подгруппы

Существует примечательная подгруппа индекса два, соответствующая группе Коксетера D _n и симметриям полугиперкуба . Рассматриваемые как сплетение, существуют два естественных отображения из группы гипероктаэдра в циклическую группу порядка 2: одно отображение, происходящее из «умножения знаков всех элементов» (в n копиях ), и одно отображение, происходящее из четности перестановки. Умножение их вместе дает третье отображение . Ядром первого отображения является группа Коксетера В терминах знаковых перестановок , рассматриваемых как матрицы, это третье отображение является просто определителем, в то время как первые два соответствуют «умножению ненулевых записей» и «четности базовой (беззнаковой) перестановки», которые, как правило, не имеют смысла для матриц, но имеют место в случае из-за совпадения с сплетением. ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle C_{n}\to \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle D_{n}.}$

Ядрами этих трех отображений являются все три подгруппы индекса два гипероктаэдрической группы, как обсуждалось в разделе H1: абелианизация ниже, а их пересечение является производной подгруппой индекса 4 (фактор 4-группы Клейна), которая соответствует вращательным симметриям полугиперкуба.

В другом направлении центром является подгруппа скалярных матриц {±1}; геометрически факторизация по ней соответствует переходу к проективной ортогональной группе .

В размерности 2 эти группы полностью описывают гипероктаэдрическую группу, которая является диэдральной группой Dih ₄ порядка 8 , и является расширением 2.V (4-группы циклической группой порядка 2). В общем случае, переходя к подфактору (производной подгруппе, mod center), мы получаем группу симметрии проективного полугиперкуба.

Тетраэдрическая симметрия в трех измерениях, порядок 24

Гипероктаэдрическая подгруппа, D n _по размерности:

Пиритоэдрическая симметрия в трех измерениях, порядок 24

Октаэдрическая симметрия в трех измерениях, порядок 24

Хиральная гипероктаэдрическая симметрия является прямой подгруппой, индекс 2 гипероктаэдрической симметрии.

Другая заметная подгруппа индекса 2 может быть названа гиперпиритоэдрической симметрией , по размерности: ^[5] Эти группы имеют n ортогональных зеркал в n -измерениях.

Гомология

Групповая гомология гипероктаэдрической группы подобна группе симметрической группы и демонстрирует стабилизацию в смысле стабильной гомотопической теории .

ЧАС1: абелианизация

Первая группа гомологии, которая согласуется с абелианизацией , стабилизируется в четверной группе Клейна и задается выражением:

${\displaystyle H_{1}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0\\\mathbf {Z} /2&n=1\\\mathbf {Z} /2\times \mathbf {Z} /2&n\geq 2\end{cases}}.}$

Это легко увидеть напрямую: элементы имеют порядок 2 (что непусто для ), и все сопряжены, как и транспозиции в (что непусто для ), и это два отдельных класса. Эти элементы порождают группу, поэтому единственными нетривиальными абелианизациями являются 2-группы, и любой из этих классов может быть отправлен независимо в , поскольку они являются двумя отдельными классами. Карты явно заданы как «произведение знаков всех элементов» (в n копиях ), и знак перестановки. Умножение их вместе дает третью нетривиальную карту ( детерминант матрицы, которая отправляет оба этих класса в ), и вместе с тривиальной картой они образуют 4-группу. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle -1\in \{\pm 1\},}$ ${\displaystyle \{\pm 1\}}$ ${\displaystyle -1}$

ЧАС2: Множители Шура

Вторые группы гомологии, известные классически как множители Шура , были вычислены в (Ихара и Йоконума, 1965).

Они есть:

${\displaystyle H_{2}(C_{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n=0,1\\\mathbf {Z} /2&n=2\\(\mathbf {Z} /2)^{2}&n=3\\(\mathbf {Z} /2)^{3}&n\geq 4\end{cases}}.}$

Примечания

1. Конвей и Смит 2003
2. дю Валь 1964, № 47
3. дю Валь 1964, № 42
4. дю Валь 1964, № 27
5. Коксетер 1999, стр. 121, Эссе 5 Правильные косые многогранники
6. дю Валь 1964, № 41

Ссылки

• Миллер, GA (1918). «Группы, образованные специальными матрицами». Bull. Am. Math. Soc . 24 (4): 203–6. doi : 10.1090/S0002-9904-1918-03043-7 .
• du Val, P. (1964). Гомографии, кватернионы и вращения. Оксфордские математические монографии. Clarendon Press. OCLC  904102141.
• Ихара, Син-Итиро; Йоконума, Такео (1965), «О вторых группах когомологий (множителях Шура) конечных групп отражений», Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика , 11 : 155–171, ISSN  0040-8980, MR  0190232
• Кербер, Адальберт (1971), Представления групп перестановок. I , Lecture Notes in Mathematics, т. 240, Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0067943, ISBN 978-3-540-05693-5, МР  0325752
• Кербер, Адальберт (1975), Представления групп перестановок. II , Lecture Notes in Mathematics, т. 495, Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0085740, ISBN 978-3-540-07535-6, МР  0409624
• Янг, Альфред (1930), «О количественном субституционном анализе 5», Труды Лондонского математического общества , Серия 2, 31 : 273–288, doi :10.1112/plms/s2-31.1.273, ISSN  0024-6115, JFM  56.0135.02
• Coxeter, HSM; Moser, WOJ (2013) [1980]. Генераторы и соотношения для дискретных групп (4-е изд.). Springer. стр. 92 §7.4 Линейные дробные группы, стр. 122 §9.3 Конечные группы. ISBN 978-3-662-21943-0.
• Baake, M. (1984). "Структура и представления гипероктаэдрической группы". J. Math. Phys . 25 (11): 3171. Bibcode :1984JMP....25.3171B. doi :10.1063/1.526087.
• Стембридж, Джон Р. (1992). «Проективные представления гипероктаэдрической группы». J. Algebra . 145 (2): 396–453. doi :10.1016/0021-8693(92)90110-8. hdl : 2027.42/30235 .
• Коксетер, Х. С. М. (1999). Красота геометрии: Двенадцать эссе . Дувр. ISBN 0-486-40919-8. LCCN  99035678.
• Конвей, Джон Х.; Смит, Дерек А. (2003). О кватернионах и октонионах. CRC Press. ISBN 978-1-000-68777-4.