Кросс-политоп

Правильный многогранник, двойственный гиперкубу в любом числе измерений

В геометрии кросс -политоп , ^[1] гипероктаэдр , ортоплекс , ^[2] ставротоп , ^[3] или кокуб — ​​это правильный выпуклый многогранник , существующий в n - мерном евклидовом пространстве . Двумерный кросс-политоп — это квадрат, трехмерный кросс-политоп — это правильный октаэдр , а четырехмерный кросс-политоп — это 16-ячейник . Его грани — это симплексы предыдущего измерения, в то время как вершинная фигура кросс-политопа — это другой кросс-политоп из предыдущего измерения.

Вершины кросс-политопа могут быть выбраны как единичные векторы, указывающие вдоль каждой оси координат – т.е. все перестановки (±1, 0, 0, ..., 0) . Кросс-политоп является выпуклой оболочкой своих вершин. n -мерный кросс-политоп может быть также определен как замкнутый единичный шар (или, по мнению некоторых авторов, его граница) в ℓ ₁ -норме на R ⁿ :

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|_{1}\leq 1\}.}$

В 1 измерении кросс-политоп — это просто отрезок [−1, +1], в 2 измерениях — это квадрат (или ромб) с вершинами {(±1, 0), (0, ±1)}. В 3 измерениях это октаэдр — один из пяти выпуклых правильных многогранников, известных как Платоновы тела . Это можно обобщить на более высокие измерения с n -ортоплексом, построенным как бипирамида с ( n −1)-ортоплексом в основании.

Кросс-политоп является дуальным политопом гиперкуба . 1- скелет n - мерного кросс-политопа является графом Турана T ( 2 n , n ) (также известным как граф коктейльной вечеринки ^[4] ).

4 измерения

4-мерный кросс-политоп также называется гексадекахорон или 16-ячейник . Это один из шести выпуклых правильных 4-многогранников . Эти 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19-го века.

Более высокие измерения

Семейство кросс-политопов является одним из трех семейств правильных многогранников , обозначенных Коксетером как β _n , два других — семейство гиперкубов , обозначенное как γ _n , и семейство симплексов , обозначенное как α _n . Четвертое семейство, бесконечные мозаики гиперкубов , он обозначил как δ _n . ^[5]

n -мерный кросс-политоп имеет 2 n вершин и 2 ⁿ граней (( n  − 1)-мерные компоненты), все из которых являются ( n −  1) -симплексами . Вершинные фигуры являются все ( n  − 1)-кросс-политопами. Символ Шлефли кросс-политопа — {3,3,...,3,4}.

Двугранный угол n -мерного кросс-политопа равен . Это дает: δ ₂ = arccos(0/2) = 90°, δ ₃ = arccos(−1/3) = 109,47°, δ ₄ = arccos(−2/4) = 120°, δ ₅ = arccos(−3/5) = 126,87°, ... δ _∞ = arccos(−1) = 180°. ${\displaystyle \delta _{n}=\arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}$

Гиперобъем n -мерного кросс-политопа равен

${\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}$

Для каждой пары непротивоположных вершин существует ребро, соединяющее их. В более общем смысле, каждый набор из k  + 1 ортогональных вершин соответствует отдельному k -мерному компоненту, который их содержит. Таким образом, количество k -мерных компонентов (вершин, ребер, граней, ..., граней) в n -мерном кросс-политопе задается как (см. биномиальный коэффициент ):

${\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}$^[6]

Расширенный f-вектор для n -ортоплекса может быть вычислен по формуле ( 1,2 ) ⁿ , как коэффициенты полиномиальных произведений . Например, 16-ячейка равна ( 1,2 ) ⁴ = ( 1,4,4 ) ² = ( 1,8,24,32,16 ).

Существует множество возможных ортографических проекций , которые могут отображать кросс-политопы как двумерные графы. Проекции многоугольников Петри отображают точки в правильный 2 n -угольник или правильные многоугольники более низкого порядка. Вторая проекция берет 2( n −1)-угольник многоугольник Петри более низкого измерения, рассматриваемый как бипирамида , спроецированный вниз по оси, с 2 вершинами, отображенными в центр.

Вершины выровненного по осям крестообразного многогранника находятся на одинаковом расстоянии друг от друга в манхэттенском расстоянии ( норма L 1 ). Гипотеза Каснера утверждает, что этот набор из 2 d точек является наибольшим возможным равноудаленным набором для этого расстояния. ^[7]

Генерализованный ортоплекс

Правильные комплексные многогранники могут быть определены в комплексном гильбертовом пространстве, называемом обобщенными ортоплексами (или крестовыми многогранниками), β^п
_н= ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} _p , или... Действительные решения существуют при p = 2, т.е. β²
_н= β _n = ₂ {3} ₂ {3}... ₂ {4} ₂ = {3,3,..,4}. Для p > 2 они существуют в . P -обобщенный n -ортоплекс имеет pn вершин. Обобщенные ортоплексы имеют регулярные симплексы (действительные) в качестве граней . ^[8] Обобщенные ортоплексы образуют полные многодольные графы , β ${\displaystyle \mathbb {\mathbb {C} } ^{n}}$^стр
₂сделать K _{p , p} для полного двудольного графа , β^стр
₃сделать K _{p , p , p} для полных трехдольных графов. β^п
_нсоздает K _{p ⁿ} . Можно определить ортогональную проекцию , которая отображает все вершины, равномерно расположенные на окружности, со всеми парами вершин, соединенными, за исключением кратных n . Периметр правильного многоугольника в этих ортогональных проекциях называется многоугольником Петри .

Связанные семейства многогранников

Кросс-политопы можно объединить с их двойственными кубами для образования составных многогранников:

• В двух измерениях мы получаем восьмигранную звездную фигуру { ⁠8/2⁠ },
• В трех измерениях мы получаем соединение куба и октаэдра ,
• В четырех измерениях получаем соединение тессеракта и 16-ячейки.

Смотрите также

• Список правильных многогранников
• Гипероктаэдрическая группа , группа симметрии кросс-политопа

Цитаты

1. Coxeter 1973, стр. 121–122, §7.21. Иллюстрация Рис. 7-2 B .
2. Conway, JH; Sloane, NJA (1991). «Структуры ячеек определенных решеток». В Hilton, P.; Hirzebruch, F.; Remmert, R. (ред.). Miscellanea Mathematica . Berlin: Springer. стр. 89–90. doi :10.1007/978-3-642-76709-8_5. ISBN 978-3-642-76711-1.
3. МакМаллен, Питер (2020). Геометрические правильные многогранники . Cambridge University Press. стр. 92. ISBN 978-1-108-48958-4.
4. Вайсштейн, Эрик В. «График коктейльной вечеринки». Математический мир .
5. Коксетер 1973, стр. 120–124, §7.2.
6. Коксетер 1973, стр. 121, §7.2.2..
7. Гай, Ричард К. (1983), «Сборник открытых проблем, часто странно поставленных», American Mathematical Monthly , 90 (3): 196–200, doi :10.2307/2975549, JSTOR  2975549.
8. Коксетер, Правильные комплексные многогранники, стр. 108

Ссылки

• Коксетер, HSM (1973). Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Довер.
  • стр. 121-122, §7.21. см. иллюстрацию Рис. 7.2 B
  • стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерности (n≥5)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. "Кросс-политоп". MathWorld .