Идеальная группа

Математическая группа с тривиальной абелианизацией

В математике , а точнее в теории групп , группа называется совершенной , если она равна своему собственному коммутанту , или, что эквивалентно, если группа не имеет нетривиальных абелевых факторов (что эквивалентно, ее абелианизация , которая является универсальным абелевым фактором, тривиальна). В символах совершенной группой называется такая, что G ⁽¹⁾ = G (коммутант равен группе), или, что эквивалентно, такая, что G ^ab = {1} (ее абелианизация тривиальна).

Примеры

Наименьшая (нетривиальная) совершенная группа — это знакопеременная группа A ₅ . В более общем случае любая неабелева простая группа является совершенной, поскольку коммутантная подгруппа является нормальной подгруппой с абелевым фактором. Наоборот, совершенная группа не обязана быть простой; например, специальная линейная группа над полем с 5 элементами, SL(2,5) (или бинарная икосаэдрическая группа , которая изоморфна ей) является совершенной, но не простой (она имеет нетривиальный центр, содержащий ). ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}-1&0\\0&-1\end{smallmatrix}}\right)=\left({\begin{smallmatrix}4&0\\0&4\end{smallmatrix}}\right)}$

Прямое произведение любых двух простых неабелевых групп совершенно, но не просто; коммутатор двух элементов равен [( a , b ),( c , d )] = ([ a , c ],[ b , d ]). Поскольку коммутаторы в каждой простой группе образуют порождающий набор, пары коммутаторов образуют порождающий набор прямого произведения.

Фундаментальная группа является совершенной группой порядка 120. ^[1] ${\displaystyle SO(3)/I_{60}}$

В более общем смысле квазипростая группа (совершенное центральное расширение простой группы), которая является нетривиальным расширением (и, следовательно, сама по себе не является простой группой), является совершенной, но не простой; это включает в себя все неразрешимые непростые конечные специальные линейные группы SL( n , q ) как расширения проективной специальной линейной группы PSL( n , q ) (SL(2,5) является расширением PSL(2,5), которая изоморфна A ₅ ). Аналогично, специальная линейная группа над действительными и комплексными числами является совершенной, но общая линейная группа GL никогда не является совершенной (за исключением случая, когда она тривиальна или над , где она равна специальной линейной группе), поскольку определитель дает нетривиальную абелианизацию, и действительно, коммутантная подгруппа является SL. ${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$

Однако нетривиальная совершенная группа обязательно неразрешима ; и 4 делит ее порядок (если он конечен), более того, если 8 не делит порядок, то 3 делит. ^[2]

Каждая ациклическая группа совершенна, но обратное неверно: A ₅ совершенна, но не ациклична (фактически, даже не суперсовершенна ), см. (Berrick & Hillman 2003). Фактически, для знакопеременная группа совершенна, но не суперсовершенна, с для . ${\displaystyle n\geq 5}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle H_{2}(A_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle n\geq 8}$

Любое фактор-множество совершенной группы является совершенным. Нетривиальная конечная совершенная группа, которая не является простой, должна быть расширением по крайней мере одной меньшей простой неабелевой группы. Но она может быть расширением более чем одной простой группы. Фактически, прямое произведение совершенных групп также является совершенным.

Каждая совершенная группа G определяет другую совершенную группу E (ее универсальное центральное расширение ) вместе с сюръекцией f : E → G , ядро ​​которой находится в центре E, так что f является универсальным с этим свойством. Ядро f называется множителем Шура группы G , поскольку оно было впервые изучено Иссаем Шуром в 1904 году; оно изоморфно группе гомологий . ${\displaystyle H_{2}(G)}$

В плюсовой конструкции алгебраической K-теории , если мы рассмотрим группу для коммутативного кольца , то подгруппа элементарных матриц образует совершенную подгруппу. ${\displaystyle \operatorname {GL} (A)={\text{colim}}\operatorname {GL} _{n}(A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle E(R)}$

Гипотеза Оре

Так как подгруппа коммутаторов порождается коммутаторами, совершенная группа может содержать элементы, которые являются произведениями коммутаторов, но сами не являются коммутаторами. Эйстейн Оре доказал в 1951 году, что знакопеременные группы из пяти или более элементов содержат только коммутаторы, и предположил, что это так для всех конечных неабелевых простых групп. Гипотеза Оре была окончательно доказана в 2008 году. Доказательство основано на теореме классификации . ^[3]

Лемма Грюна

Основным фактом о совершенных группах является предложение Отто Грюна из леммы Грюна (Grün 1935, Satz 4, ^{[примечание 1]} с. 3): фактор -группа совершенной группы по ее центру не имеет центра (имеет тривиальный центр).

Доказательство: Если G — совершенная группа, пусть Z ₁ и Z ₂ обозначают первые два члена верхнего центрального ряда группы G (т. е. Z ₁ — центр группы G , а Z ₂ / Z ₁ — центр группы G / Z ₁ ). Если H и K — подгруппы группы G , обозначим коммутатор групп H и K через [ H , K ] и заметим, что [ Z ₁ , G ] = 1 и [ Z ₂ , G ] ⊆ Z ₁ , и, следовательно (соглашение о том, что [ X , Y , Z ] = [[ X , Y ], Z ] соблюдается):

${\displaystyle [Z_{2},G,G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1}$

${\displaystyle [G,Z_{2},G]=[[G,Z_{2}],G]=[[Z_{2},G],G]\subseteq [Z_{1},G]=1.}$

По лемме о трех подгруппах (или, что эквивалентно, по тождеству Холла-Витта ) следует, что [ _{G, Z2] = [[G, G], Z2} ] = [ G , G , Z2 ] = _{1} . Следовательно , Z2 ⊆ _Z1 = Z ( G ) , и центр _фактор -группы G / Z ( G ) является _{тривиальной} группой .

Вследствие этого все высшие центры (то есть высшие члены верхнего центрального ряда ) совершенной группы равны центру.

Групповая гомология

В терминах групповой гомологии совершенная группа — это в точности та, первая группа гомологии которой равна нулю: H ₁ ( G , Z ) = 0, поскольку первая группа гомологии группы — это в точности абелианизация группы, а совершенная означает тривиальную абелианизацию. Преимущество этого определения в том, что оно допускает усиление:

• Сверхсовершенная группа — это группа, у которой исчезают первые две группы гомологии: . ${\displaystyle H_{1}(G,\mathbb {Z} )=H_{2}(G,\mathbb {Z} )=0}$
• Ациклическая группа — это группа, все (редуцированные) группы гомологии которой равны нулю (это эквивалентно тому, что все группы гомологии, кроме равны нулю). ${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(G;\mathbb {Z} )=0.}$ ${\displaystyle H_{0}}$

Квазисовершенная группа

Особенно в области алгебраической K-теории группа называется квазисовершенной , если ее коммутант совершенен; в символах квазисовершенная группа — это такая, что G ⁽¹⁾ = G ⁽²⁾ (коммутант коммутанта — это коммутант), в то время как совершенная группа — это такая, что G ⁽¹⁾ = G (коммутант — это вся группа). См. (Karoubi 1973, стр. 301–411) и (Inassaridze 1995, стр. 76).

Примечания

1. Satz по-немецки означает «теорема».

Ссылки

1. Милнор, Джон. «Гипотеза Пуанкаре». Задачи премии тысячелетия (2006): 70.
2. Тобиас Килдетофт (7 июля 2015 г.), ответ на вопрос «Является ли нетривиальной конечной совершенной группой порядка 4n?». Математика StackExchange . Доступ 7 июля 2015 г.
3. Либек, Мартин ; О'Брайен, Э.А.; Шалев, Анер ; Тьеп, Фам Хуу (2010). «Гипотеза Оре» (PDF) . Журнал Европейского математического общества . 12 (4): 939–1008. doi : 10.4171/JEMS/220 .

• Беррик, А. Джон; Хиллман, Джонатан А. (2003), «Совершенные и ациклические подгруппы конечно представимых групп», Журнал Лондонского математического общества , Вторая серия, 68 (3): 683–98, doi :10.1112/s0024610703004587, MR  2009444, S2CID  30232002
• Грюн, Отто (1935), «Beiträge zur Gruppentheorie. I.», Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (на немецком языке), 174 : 1–14, ISSN  0075-4102, Zbl  0012.34102
• Инасаридзе, Хведри (1995), Алгебраическая К-теория, Математика и ее приложения, т. 311, Дордрехт: Kluwer Academic Publishers Group, ISBN 978-0-7923-3185-8, МР  1368402
• Каруби, Макс (1973), Periodicité de la K-théorie Hermitienne, Эрмитова K-теория и геометрические приложения , Конспекты лекций по математике, том. 343, Шпрингер-Верлаг
• Роуз, Джон С. (1994), Курс теории групп , Нью-Йорк: Dover Publications, Inc., стр. 61, ISBN 0-486-68194-7, г-н  1298629

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Идеальная группа». MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Лемма Грюна». Математический мир .