Каждое компактное неприводимое 3-многообразие с бесконечной фундаментальной группой является виртуально Хакеном.
В топологии , области математики , гипотеза виртуально Хакена утверждает, что каждое компактное , ориентируемое , неприводимое трехмерное многообразие с бесконечной фундаментальной группой виртуально Хакено . То есть, оно имеет конечное покрытие ( пространство покрытия с конечно-однозначным отображением покрытия), которое является многообразием Хакена .
После доказательства гипотезы геометризации Перельманом эта гипотеза была открыта только для гиперболических 3-многообразий .
Гипотеза обычно приписывается Фридхельму Вальдхаузену в статье 1968 года [1] , хотя он формально ее не сформулировал. Эта проблема формально сформулировалась как проблема 3.2 в списке проблем Кирби .
Доказательство гипотезы было объявлено 12 марта 2012 года Яном Аголом в лекции на семинаре, которую он прочитал в Институте Анри Пуанкаре . Доказательство вскоре появилось в препринте, который в конечном итоге был опубликован в Documenta Mathematica . [2] Доказательство было получено с помощью стратегии предыдущей работы Дэниела Уайза и его коллег, полагаясь на действия фундаментальной группы на определенных вспомогательных пространствах (комплексы кубов CAT(0), также известные как медианные графы ) [3]
В качестве основного ингредиента оно использовало недавно полученное решение гипотезы о подгруппе поверхности Джереми Кана и Владимира Марковича . [4] [5]
Другие результаты, которые напрямую используются в доказательстве Агола, включают теорему Уайза о ненормальном специальном факторе [6] и критерий Николаса Бержерона и Уайза для кубуляции групп. [7]
В 2018 году похожие результаты были получены Петром Пшитицким и Дэниелом Уайзом, доказавшим, что смешанные 3-многообразия также являются виртуально специальными, то есть их можно кубировать в кубический комплекс с конечным покрытием, в которое вложены все гиперплоскости, что с помощью предыдущей упомянутой работы можно сделать виртуально Хакеном. [8] [9]
Смотрите также
Примечания
- ^ Вальдхаузен, Фридхельм (1968). «О неприводимых 3-многообразиях, которые достаточно велики». Annals of Mathematics . 87 (1): 56–88. doi :10.2307/1970594. JSTOR 1970594. MR 0224099.
- ^ Агол, Ян (2013). «Виртуальная гипотеза Хакена». Doc. Math . 18. С приложением Яна Агола, Дэниела Гроувса и Джейсона Мэннинга: 1045–1087. doi : 10.4171/dm/421 . MR 3104553. S2CID 255586740.
- ^ Хаглунд, Фредерик; Вайс, Дэниел (2012). «Комбинационная теорема для специальных кубических комплексов». Annals of Mathematics . 176 (3): 1427–1482. doi : 10.4007/annals.2012.176.3.2 . MR 2979855.
- ^ Кан, Джереми; Маркович, Владимир (2012). «Погружение почти геодезических поверхностей в замкнутое гиперболическое трехмерное многообразие». Annals of Mathematics . 175 (3): 1127–1190. arXiv : 0910.5501 . doi : 10.4007/annals.2012.175.3.4. MR 2912704. S2CID 32593851.
- ^ Кан, Джереми; Маркович, Владимир (2012). «Подсчет существенных поверхностей в замкнутом гиперболическом трехмерном многообразии». Geometry & Topology . 16 (1): 601–624. arXiv : 1012.2828 . doi : 10.2140/gt.2012.16.601. MR 2916295.
- ^ Дэниел Т. Уайз, Структура групп с квазивыпуклой иерархией , https://docs.google.com/file/d/0B45cNx80t5-2NTU0ZTdhMmItZTIxOS00ZGUyLWE0YzItNTEyYWFiMjczZmIz/edit?pli=1
- ^ Бержерон, Николас; Вайс, Дэниел Т. (2012). «Граничнй критерий кубуляции». American Journal of Mathematics . 134 (3): 843–859. arXiv : 0908.3609 . doi : 10.1353/ajm.2012.0020. MR 2931226. S2CID 14128842.
- ^ Przytycki, Piotr; Wise, Daniel (2017-10-19). «Смешанные 3-многообразия практически специальные». Журнал Американского математического общества . 31 (2): 319–347. arXiv : 1205.6742 . doi : 10.1090/jams/886 . ISSN 0894-0347. S2CID 39611341.
- ^ "Петр Пшитицкий и Дэниел Уайз получают премию Мура 2022 года". Американское математическое общество .
Ссылки
- Данфилд, Натан; Терстон, Уильям (2003), «Виртуальная гипотеза Хакена: эксперименты и примеры», Геометрия и топология , 7 : 399–441, arXiv : math/0209214 , doi : 10.2140/gt.2003.7.399, MR 1988291, S2CID 6265421.
- Кирби, Робион (1978), «Проблемы теории многообразий малой размерности», Алгебраическая и геометрическая топология (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976) , т. 7, стр. 273–312, ISBN 9780821867891, МР 0520548.
Внешние ссылки
