Гиромагнитное соотношение

Отношение магнитного момента к угловому моменту

В физике гиромагнитное отношение (также иногда известное как магнитогирическое отношение ^[1] в других дисциплинах) частицы или системы представляет собой отношение ее магнитного момента к ее угловому моменту , и его часто обозначают символом γ , гамма. Его единицей в системе СИ является радиан в секунду на теслу (рад⋅с ^-1 ⋅Т ^-1 ) или, что то же самое, кулон на килограмм (К⋅кг ^-1 ).

Термин «гиромагнитное отношение» часто используется ^[2] как синоним другой, но тесно связанной величины — g -фактора . G - фактор отличается от гиромагнитного отношения только тем, что он безразмерный .

Для классического вращающегося тела

Рассмотрим непроводящее заряженное тело, вращающееся вокруг оси симметрии. По законам классической физики он обладает как магнитным дипольным моментом, обусловленным движением заряда, так и угловым моментом, обусловленным движением массы, возникающим в результате его вращения. Можно показать, что пока его заряд, плотность массы и поток ^{[ необходимы пояснения ]} распределены одинаково и вращательно-симметрично, его гиромагнитное отношение равно

${\displaystyle \gamma ={\frac {q}{2m}}}$

где его заряд и его масса. ${\displaystyle {q}}$ ${\displaystyle {m}}$

Вывод этого соотношения заключается в следующем. Достаточно продемонстрировать это для бесконечно узкого кругового кольца внутри тела, поскольку тогда общий результат следует из интегрирования . Предположим, кольцо имеет радиус r , площадь A = πr ² , массу m , заряд q и угловой момент L = mvr . Тогда величина магнитного дипольного момента равна

${\displaystyle \mu =IA={\frac {qv}{2\pi r}}\,\pi r^{2}={\frac {q}{2m}}\,mvr={\frac {q}{2m}}L~.}$

Для изолированного электрона

Изолированный электрон обладает угловым моментом и магнитным моментом, обусловленным его вращением . Хотя вращение электрона иногда представляют как буквальное вращение вокруг оси, его нельзя отнести к массе, распределенной идентично заряду. Приведенное выше классическое соотношение не выполняется, что дает неправильный результат по абсолютному значению g -фактора электрона , который обозначается g _e :

$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }={\frac {-e}{2m_{\mathrm {e} }}}\,|g_{\mathrm {e} }|={\frac {g_{\mathrm {e} }\mu _{\mathrm {B} }}{\hbar }}\,,}$$

µ _Bмагнетон Бора

Гиромагнитное отношение, обусловленное спином электрона, в два раза больше, чем из-за вращения электрона по орбите.

В рамках релятивистской квантовой механики

$${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2\left(1+{\frac {\alpha }{\,2\pi \,}}+\cdots \right)~,}$$

константа тонкой структурыg = 2магнитного дипольного моментаgмагнитного момента электрона^[3] ${\displaystyle \alpha }$

$${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=-2.002\,319\,304\,361\,18(27).}$$

Электронное гиромагнитное отношение равно ^{[4] [5] [6]}

$${\displaystyle \gamma _{\mathrm {e} }=\mathrm {-1.760\,859\,630\,23(53)\times 10^{11}\,rad{\cdot }s^{-1}{\cdot }T^{-1}} }$$

$${\displaystyle {\frac {\gamma _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\mathrm {-28\,024.951\,4242(85)\,MHz{\cdot }T^{-1}} .}$$

Электронный g -фактор и γ находятся в прекрасном согласии с теорией; подробности см. в разделе «Прецизионные испытания QED» . ^[7]

Гиромагнитный фактор не является следствием теории относительности

Поскольку гиромагнитный фактор, равный 2, следует из уравнения Дирака, часто ошибочно думать, что g -фактор 2 является следствием теории относительности; это не. Коэффициент 2 можно получить в результате линеаризации как уравнения Шредингера , так и релятивистского уравнения Клейна – Гордона (что приводит к уравнению Дирака). В обоих случаях получается 4- спинор и для обеих линеаризаций g -фактор оказывается равным 2; Следовательно, множитель 2 является следствием минимальной связи и факта наличия одного и того же порядка производных по пространству и времени. ^[8]

Физический спин1/2частицы, которые не могут быть описаны линейным калибровочным уравнением Дирака, удовлетворяют калибровочному уравнению Клейна–Гордона, расширенному с помощью g е/4 σ ^µν F _µν термин согласно^[9]

${\displaystyle \left[\,\left(\partial ^{\mu }\,u+i\,e\,A^{\mu }\right)\,\left(\partial _{\mu }+i\,e\,A_{\mu }\right)+g\,{\frac {e}{\,4\,}}\,\sigma ^{\mu \nu }\,F_{\mu \nu }+m^{2}\,\right]\;\psi \;=\;0~,\quad g\neq 2~.}$

Здесь,1/2σ ^µν и F ^µν обозначают генераторы группы Лоренца в пространстве Дирака и электромагнитный тензор соответственно, а A ^µ представляет собой электромагнитный четырехпотенциал . Примером такой частицы ^[9] является спин1/2компаньон для вращения3/2в пространстве представления D ^(½,1) ⊕ D ^(1,½) группы Лоренца . Было показано, что эта частица характеризуется g = -+2/3 и, следовательно, вести себя как истинно квадратичный фермион.

Для ядра

Знак гиромагнитного отношения γ определяет направление прецессии. Хотя магнитные моменты (черные стрелки) ориентированы одинаково для обоих случаев γ , прецессия идет в противоположных направлениях. Спин и магнитный момент направлены в одном направлении при γ > 0 (как у протонов).

Протоны , нейтроны и многие ядра имеют ядерный спин , который приводит к гиромагнитному отношению, как указано выше. Отношение традиционно записывают через массу и заряд протона, даже для нейтронов и для других ядер, для простоты и последовательности. Формула:

${\displaystyle \gamma _{\text{n}}={\frac {e}{\,2m_{\text{p}}\,}}\,g_{\rm {n}}=g_{\rm {n}}\,{\frac {\,\mu _{\mathrm {N} }\,}{\hbar }}~,}$

где - ядерный магнетон , и - g -фактор рассматриваемого нуклона или ядра. Отношение, равное , составляет 7,622593285(47) МГц/Тл. ^[10] ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }}$ ${\displaystyle g_{\rm {n}}}$ ${\displaystyle \,{\frac {\gamma _{n}}{\,2\pi \,g_{\rm {n}}\,}}\,,}$ ${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }/h}$

Гиромагнитное отношение ядра играет роль в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и магнитно-резонансной томографии (МРТ). Эти процедуры основаны на том факте, что объемная намагниченность, обусловленная ядерными спинами, прецессирует в магнитном поле со скоростью, называемой ларморовской частотой , которая является просто произведением гиромагнитного отношения на напряженность магнитного поля. В этом явлении знак γ определяет направление прецессии (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Наиболее распространенные ядра, такие как ¹ H и ¹³ C, имеют положительные гиромагнитные отношения. ^{[11] [12]} Приблизительные значения для некоторых распространенных ядер приведены в таблице ниже. ^{[13] [14]}

Ларморовская прецессия

Любая свободная система с постоянным гиромагнитным отношением, такая как жесткая система зарядов, ядро ​​или электрон , помещенная во внешнее магнитное поле B (измеренное в теслах), которое не совпадает с ее магнитным моментом , будет прецессировать с частота f (измеряется в герцах ), пропорциональная внешнему полю:

${\displaystyle f={\frac {\gamma }{2\pi }}B.}$

По этой причине значенияγ/2 π , в единицах герц на теслу (Гц/Тл), часто указывается вместо γ .

Эвристический вывод

Вывод этого соотношения следующий: Сначала мы должны доказать, что крутящий момент, возникающий в результате воздействия магнитного момента на магнитное поле, равен. Тождественность функциональной формы стационарного электрического и магнитного полей привела к определению величины магнитного диполя. момент так же хорошо, как , или следующим образом, имитируя момент p электрического диполя: Магнитный диполь можно представить в виде стрелки компаса с фиктивными магнитными зарядами на двух полюсах и векторным расстоянием между полюсами под действием магнитное поле Земли Согласно классической механике крутящий момент на этой игле равен Но, как уже говорилось ранее , получается желаемая формула. — вектор единичного расстояния. ${\displaystyle \mathbf {m} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=\mathbf {m} \times \mathbf {B} \,.}$ ${\displaystyle m=I\pi r^{2}}$ ${\displaystyle \pm q_{\rm {m}}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} }$ ${\displaystyle \,\mathbf {B} \,.}$ ${\displaystyle \,{\boldsymbol {\mathrm {T} }}=q_{\rm {m}}(\mathbf {d} \times \mathbf {B} )\,.}$ ${\displaystyle \,q_{\rm {m}}\mathbf {d} =I\pi r^{2}{\hat {\mathbf {d} }}=\mathbf {m} \,,}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {d} }}}$

Модель вращающегося электрона, которую мы используем при выводе, имеет очевидную аналогию с гироскопом. Для любого вращающегося тела скорость изменения момента количества движения равна приложенному крутящему моменту : ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$ ${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=\mathbf {T} ~.}$

Рассмотрим в качестве примера прецессию гироскопа. Гравитационное притяжение Земли прикладывает силу или крутящий момент к гироскопу в вертикальном направлении, а вектор углового момента вдоль оси гироскопа медленно вращается вокруг вертикальной линии, проходящей через ось. На месте гироскопа представьте себе сферу, вращающуюся вокруг оси и с центром на оси гироскопа, а вдоль оси гироскопа в центре сферы возникли два разнонаправленных вектора, оба вверх и вниз . Замените гравитацию. с плотностью магнитного потока ${\displaystyle \mathbf {J} }$ ${\displaystyle \mathbf {m} .}$ ${\displaystyle \,\mathbf {B} ~.}$

${\displaystyle {\frac {\,\operatorname {d} \mathbf {J} \,}{\,\operatorname {d} t\,}}}$представляет собой линейную скорость пика стрелы по кругу, радиус которого равен углу между и вертикалью. Следовательно, угловая скорость вращения спина равна ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$ ${\displaystyle \,J\sin {\phi }\,,}$ ${\displaystyle \,\phi \,}$ ${\displaystyle \,\mathbf {J} \,}$

${\displaystyle \omega =2\pi \,f={\frac {1}{\,J\,\sin {\phi }\,}}\,\left|{\frac {\,{\rm {{d}\,\mathbf {J} \,}}}{\,{\rm {{d}\,t\,}}}}\right|={\frac {\,\left|\mathbf {T} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,\left|\mathbf {m} \times \mathbf {B} \right|\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\sin {\phi }\,}{\,J\,\sin {\phi }\,}}={\frac {\,m\,B\,}{J}}=\gamma \,B~.}$

Следовательно, ${\displaystyle f={\frac {\gamma }{\,2\pi \,}}\,B~.\quad {\text{q.e.d.}}}$

Это соотношение также объясняет очевидное противоречие между двумя эквивалентными терминами, гиромагнитным отношением и магнитогирическим отношением: тогда как это отношение магнитного свойства (т.е. дипольного момента ) к гирическому (вращательному, от греческого : γύρος , «поворот») свойству ( т.е. угловой момент ), это также, в то же время , соотношение между частотой угловой прецессии (еще одно гирическое свойство) ω = 2 πf и магнитным полем .

Частота угловой прецессии имеет важный физический смысл: это угловая циклотронная частота , резонансная частота ионизированной плазмы, находящейся под воздействием статического конечного магнитного поля, когда мы накладываем высокочастотное электромагнитное поле.

Смотрите также

• Отношение заряда к массе
• Химический сдвиг
• Ланде г --фактор
• Уравнение Лармора
• Протонное гиромагнитное отношение

Рекомендации

1. Международный союз теоретической и прикладной химии (1993). Количества, единицы и символы в физической химии , 2-е издание, Оксфорд: Blackwell Science. ISBN  0-632-03583-8 . п. 21. Электронная версия.
2. Например, см.: Джанколи, Вашингтон, Физика для ученых и инженеров (3-е изд.). п. 1017;или см.: Типлер, Пенсильвания; Ллевеллин, Р.А. Современная физика (4-е изд.). п. 309.
3. Фан, X.; Майерс, Т.Г.; Шукра, ПЛОХО; Габриэльс, Г. (13 февраля 2023 г.). «Измерение магнитного момента электрона». Письма о физических отзывах . 130 (7): 071801. arXiv : 2209.13084 . Бибкод : 2023PhRvL.130g1801F. doi :10.1103/PhysRevLett.130.071801. PMID  36867820. S2CID  123962197.
4. «Электронное гиромагнитное отношение» . НИСТ .Обратите внимание, что NIST ставит положительный знак этому количеству; однако для соответствия формулам в этой статье перед γ здесь поставлен отрицательный знак. Действительно, во многих источниках говорится, что для электрона γ < 0 ; например, Вейл и Болтон (2007). Электронный парамагнитный резонанс . Уайли. п. 578. ^{[ необходима полная цитата ]} Также обратите внимание, что радианы добавлены для ясности.
5. «Электронное гиромагнитное отношение» . НИСТ .
6. «Гиромагнитное отношение электронов в МГц/Тл». НИСТ .
7. Кнехт, Марк (12 октября 2002 г.). «Аномальные магнитные моменты электрона и мюона». В Дюплантье, Бертран; Ривассо, Винсент (ред.). Семинар Пуанкаре 2002 . Семинар Пуанкаре. Прогресс математической физики. Том. 30. Париж, Франция: Birkhäuser (опубликовано в 2003 г.). ISBN 3-7643-0579-7. Архивировано из оригинала ( PostScript ) 15 октября 2005 г.
8. Грейнер, Уолтер (4 октября 2000 г.). Квантовая механика: Введение. Спрингер Верлаг . ISBN 9783540674580– через Google Книги.
9. Дельгадо Акоста, EG; Банда Гусман, ВМ; Кирхбах, М. (2015). «Гиромагнитные g _s факторы частиц со спином 1/2 в (1/2 ⁺ -1/2 ^- -1/2 ^- ) триаде четырехвекторного спинора, ψ _μ , неприводимость и линейность». Международный журнал современной физики Э. 24 (7): 1550060. arXiv : 1507.03640 . Бибкод : 2015IJMPE..2450060D. дои : 10.1142/S0218301315500603. S2CID  119303031.
10. "Ядерный магнетон в МГц/Т: μ N / час {\displaystyle \mu _ {\rm {N}}/h} ". НИСТ . 2014.(со ссылкой на рекомендуемые значения CODATA )
11. Левитт, MH (2008). Спиновая динамика . ISBN компании John Wiley & Sons Ltd. 978-0470511176.
12. Палмер, Артур Г. (2007). ЯМР-спектроскопия белков . Эльзевир Академик Пресс . ISBN 978-0121644918.
13. Бернштейн, Массачусетс; Кинг, К.Ф.; Чжоу, XJ (2004). Справочник по импульсным последовательностям МРТ . Сан-Диего, Калифорния: Elsevier Academic Press. п. 960. ИСБН 0-12-092861-2– через archive.org.
14. Восток, RC; Астл, MJ, ред. (1982). Справочник по химии и физике . Бока-Ратон, Флорида: CRC Press . п. Е66. ISBN 0-8493-0463-6.
15. "Гиромагнитное отношение протонов" . НИСТ . 2019.
16. «Гиромагнитное отношение протонов более 2 пи» . НИСТ . 2019.
17. "Гиромагнитное отношение экранированных протонов" . НИСТ 2019 . Проверено 19 мая 2021 г.
18. "Гиромагнитное отношение экранированных протонов в МГц/Тл" . НИСТ 2019 . Проверено 19 мая 2021 г.
19. «ЯМР-спектроскопия твердого тела трития в PNNL для оценки материалов для хранения водорода» (PDF) . Ноябрь 2015.
20. "Гиромагнитное отношение экранированного гелия" . НИСТ 2019 . Проверено 19 мая 2021 г.
21. "Гиромагнитное отношение экранированного гелия в МГц/Тл" . НИСТ 2019 . Проверено 19 мая 2021 г.