В математике , в частности в области дифференциальной топологии , гомология Морса — это теория гомологии, определённая для любого гладкого многообразия . Она строится с использованием гладкой структуры и вспомогательной метрики на многообразии, но оказывается топологически инвариантной и фактически изоморфна сингулярной гомологии . Гомология Морса также служит моделью для различных бесконечномерных обобщений, известных как теории гомологии Флоера .
Дано любое (компактное) гладкое многообразие, пусть f будет функцией Морса , а g — римановой метрикой на многообразии. (Это вспомогательные функции; в конечном итоге гомологии Морса не зависят ни от одной из них.) Пара дает нам градиентное векторное поле. Мы говорим, что это поле Морса–Смейла, если устойчивое и неустойчивое многообразия, связанные со всеми критическими точками f , пересекаются трансверсально .
Для любой такой пары можно показать, что разница в индексе между любыми двумя критическими точками равна размерности пространства модулей градиентных потоков между этими точками. Таким образом, существует одномерное пространство модулей потоков между критической точкой индекса i и критической точкой индекса . Каждый поток может быть перепараметризован одномерным переносом в области. После модификации с помощью этих перепараметризаций фактор-пространство становится нульмерным — то есть набором ориентированных точек, представляющих непараметризованные линии потока.
Тогда цепной комплекс может быть определен следующим образом. Набор цепей представляет собой Z - модуль , порожденный критическими точками. Дифференциал d комплекса отправляет критическую точку p индекса i в сумму индексно -критических точек с коэффициентами, соответствующими (знаковому) числу непараметризованных линий потока от p до этих индексно -критических точек. Тот факт, что число таких линий потока конечно, следует из компактности пространства модулей.
Тот факт, что это определяет цепной комплекс (то есть, что ) следует из понимания того, как компактифицируются пространства модулей градиентных потоков . А именно, в коэффициенте индексно- критической точки q есть (знаковое) число разорванных потоков, состоящих из потока индекса 1 из p в некоторую критическую точку r индекса и другого потока индекса 1 из r в q . Эти разорванные потоки в точности составляют границу пространства модулей потоков индекса 2: Можно показать, что предел любой последовательности неразрывных потоков индекса 2 имеет эту форму, и все такие разорванные потоки возникают как пределы неразрывных потоков индекса 2. Непараметризованные потоки индекса 2 попадают в одномерные семейства, которые компактифицируются в компактные одномерные многообразия с границами. Тот факт, что граница компактного одномерного многообразия имеет знаковое число ноль, доказывает, что .
Можно показать, что гомологии этого комплекса не зависят от пары Морса–Смейла ( f , g ), используемой для ее определения. Гомотопия пар ( f t , g t ), которая интерполирует между любыми двумя заданными парами ( f 0 , g 0 ) и ( f 1 , g 1 ), всегда может быть определена. Либо с помощью бифуркационного анализа, либо с помощью отображения продолжения для определения цепного отображения из в , можно показать, что две гомологии Морса изоморфны. Аналогичные рассуждения с использованием гомотопии гомотопий показывают, что этот изоморфизм является каноническим.
Другой подход к доказательству инвариантности гомологии Морса — связать ее напрямую с сингулярной гомологией. Можно определить отображение в сингулярную гомологию, отправив критическую точку в сингулярную цепь, связанную с нестабильным многообразием, связанным с этой точкой; и наоборот, сингулярная цепь отправляется в предельные критические точки, достигнутые путем протекания цепи с использованием градиентного векторного поля. Самый чистый способ сделать это строго — использовать теорию токов .
Изоморфизм с сингулярной гомологией можно также доказать, продемонстрировав изоморфизм с клеточной гомологией , рассматривая нестабильное многообразие, связанное с критической точкой индекса i, как i -ячейку, и показывая, что граничные отображения в комплексе Морса и клеточном комплексе соответствуют друг другу.
Этот подход к теории Морса был известен в той или иной форме Рене Тому и Стивену Смейлу . Он также подразумевается в книге Джона Милнора о теореме о h-кобордизме .
Из того факта, что гомологии Морса изоморфны сингулярным гомологиям, неравенства Морса следуют, если рассмотреть число генераторов — то есть критических точек — необходимых для генерации групп гомологии соответствующих рангов (и если рассмотреть усечения комплекса Морса, чтобы получить более сильные неравенства). Существование гомологии Морса «объясняет», в смысле категоризации , неравенства Морса.
В начале 1980-х годов Эдвард Виттен предложил похожую конструкцию, иногда называемую теорией Морзе–Виттена.
Гомологии Морса могут быть расширены до конечномерных некомпактных или бесконечномерных многообразий, где индекс остается конечным, метрика является полной, а функция удовлетворяет условию компактности Пале–Смейла , такому как функционал энергии для геодезических на римановом многообразии . Обобщение на ситуации, в которых и индекс, и коиндекс бесконечны, но относительный индекс любой пары критических точек конечен, известно как гомологии Флоера .
Сергей Новиков обобщил эту конструкцию до теории гомологии, связанной с замкнутой однократной формой на многообразии. Гомология Морса является частным случаем однократной формы df . Частным случаем теории Новикова является круговозначная теория Морса , которую Майкл Хатчингс и И-Джен Ли связали с кручением Рейдемейстера и теорией Зайберга–Виттена .
Гомологии Морса могут быть реализованы в установке Морса–Ботта, т.е. когда вместо изолированных невырожденных критических точек функция имеет критические многообразия, касательное пространство которых в точке совпадает с ядром гессиана в этой точке. Такая ситуация будет иметь место всегда, если рассматриваемая функция инвариантна относительно недискретной группы Ли.
Чтобы описать полученный цепной комплекс и его гомологию, введем общую функцию Морса на каждом критическом подмногообразии. Цепи будут состоять из путей, которые начинаются в критическом многообразии в критической точке вспомогательной функции Морса, следуя градиентной траектории относительно некоторой метрики, а затем покидают подмногообразие, следуя градиентному векторному полю функции Морса–Ботта, пока не попадут в какое-то другое критическое многообразие; оно либо течет некоторое время вдоль градиентной траектории, связанной с функцией Морса на этом критическом подмногообразии, а затем течет в другое критическое подмногообразие и т. д., либо течет в критическую точку в исходном подмногообразии и заканчивается. См. (Frauenfelder). Этот подход к гомологии Морса–Ботта появился в контексте неопубликованной работы Буржуа по контактной гомологии , в которой критические подмногообразия являются множествами орбит Риба , а градиентные потоки между критическими подмногообразиями являются псевдоголоморфными кривыми в симплектизации контактного многообразия, асимптотического к орбитам Риба в соответствующих критических многообразиях орбит Риба. Если мы расширим каждую функцию Морса до функции на всем многообразии, поддерживаемой вблизи критических подмногообразий, мы можем явно записать функцию Морса–Смейла, которая возмущает исходную функцию Морса–Ботта. А именно, умножим каждую из расширенных функций на некоторую малую положительную константу, сложим их и добавим результат к исходной функции Морса–Ботта. Описанные выше разорванные потоки будут близки к линиям потока этой функции Морса–Смейла.
