Группа Артин–Титс

Семейство бесконечных дискретных групп

В математической области теории групп группы Артина , также известные как группы Артина–Титса или обобщённые группы кос , представляют собой семейство бесконечных дискретных групп, определяемых простыми представлениями . Они тесно связаны с группами Коксетера . Примерами являются свободные группы , свободные абелевы группы , группы кос и прямоугольные группы Артина–Титса, среди прочих.

Группы названы в честь Эмиля Артина , в связи с его ранними работами по группам кос в 1920-х — 1940-х годах, ^[1] и Жака Титса , который разработал теорию более общего класса групп в 1960-х годах. ^[2]

Определение

Представление Артина–Титса — это групповое представление , где — (обычно конечное) множество генераторов, а — множество отношений Артина–Титса, а именно отношений вида для различных в , где обе стороны имеют одинаковую длину, и существует не более одного отношения для каждой пары различных генераторов . Группа Артина–Титса — это группа, которая допускает представление Артина–Титса. Аналогично, моноид Артина–Титса — это моноид , который, как моноид, допускает представление Артина–Титса. ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s,t}$

В качестве альтернативы группа Артина–Титса может быть определена набором генераторов и, для каждого из , натуральным числом , которое является длиной слов и таким, что является отношением, соединяющим и , если таковое имеется. По соглашению, когда нет отношения , то ставим . Формально, если мы определяем для обозначения знакопеременного произведения и длины , начиная с — так что , и т. д. — отношения Артина–Титса принимают вид ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 2}$ ${\displaystyle stst\ldots }$ ${\displaystyle tsts\ldots }$ ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ ${\displaystyle stst\ldots =tsts\ldots }$ ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{2}=st}$ ${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{3}=sts}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle ^{m_{s,t}}=\langle t,s\rangle ^{m_{t,s}},{\text{ where }}m_{s,t}=m_{t,s}\in \{2,3,\ldots ,\infty \}.}$

Целые числа можно организовать в симметричную матрицу , известную как матрица Кокстера группы. ${\displaystyle m_{s,t}}$

Если — представление Артина–Титса группы Артина–Титса , фактор по полученному сложением соотношения для каждого из является группой Коксетера . Наоборот, если — группа Коксетера , представленная отражениями, и соотношения удалены, полученное таким образом расширение является группой Артина–Титса. Например, группа Коксетера, связанная с группой кос из -нитей, является симметрической группой всех перестановок . ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle s^{2}=1}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle s^{2}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

Примеры

• ${\displaystyle G=\langle S\mid \emptyset \rangle }$это свободная группа, основанная на ; здесь для всех . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$ ${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle S\mid \{st=ts\mid s,t\in S\}\rangle }$— свободная абелева группа, основанная на ; здесь для всех . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ ${\displaystyle s,t}$
• ${\displaystyle G=\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{j}\sigma _{i}=\sigma _{j}\sigma _{i}\sigma _{j}{\text{ for }}\vert i-j\vert =1,\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}{\text{ for }}\vert i-j\vert \geqslant 2\rangle }$— это группа кос на прядях; здесь для , и для . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=3}$ ${\displaystyle \vert i-j\vert =1}$ ${\displaystyle m_{\sigma _{i},\sigma _{j}}=2}$ ${\displaystyle \vert i-j\vert >1}$

Общие свойства

Моноиды Артина–Титса подходят для методов Гарсайда, основанных на исследовании их отношений делимости, и хорошо изучены:

• Моноиды Артина–Титса являются сокращаемыми и допускают наибольшие общие делители и условные наименьшие общие кратные (наименьшее общее кратное существует всякий раз, когда существует общее кратное).
• Если — моноид Артина–Титса, а если — ассоциированная группа Коксетера, то существует (теоретико-множественное) сечение в , и каждый элемент допускает различимое разложение в виде последовательности элементов в образе («жадная нормальная форма»). ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle \sigma }$

Для общих групп Артина–Титса известно очень мало результатов. В частности, в общем случае остаются открытыми следующие основные вопросы:

– решение проблем со словами и сопряженностью , которые предположительно разрешимы,

– определение кручения — которое, как предполагается, является тривиальным,

– определение центра — который предположительно является тривиальным или моногенным в случае, когда группа не является прямым произведением («неприводимый случай»),

– определение когомологий — в частности, разрешение гипотезы, т.е. нахождение ациклического комплекса, фундаментальной группой которого является рассматриваемая группа. ${\displaystyle K(\pi ,1)}$

Частичные результаты, касающиеся отдельных подсемейств, собраны ниже. Среди немногих известных общих результатов можно упомянуть:

• Группы Артина–Титса бесконечно счетны.
• В группе Артина–Титса единственное отношение, связывающее квадраты элементов , — это если находится в (Джон Крисп и Луис Парис ^[3] ). ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s^{2}t^{2}=t^{2}s^{2}}$ ${\displaystyle st=ts}$ ${\displaystyle R}$
• Для каждого представления Артина–Титса моноид Артина–Титса, представленный в виде, вкладывается в группу Артина–Титса, представленную в виде (Париж ^[4] ). ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$
• Каждый (конечно порождённый) моноид Артина–Титса допускает конечное семейство Гарсайда (Мэтью Дайер и Кристоф Хольвег ^[5] ). Как следствие, существование общих правых кратных в моноидах Артина–Титса разрешимо, и редукция мультифракций эффективна.

Отдельные классы групп Артина–Титса

Несколько важных классов групп Артина можно определить в терминах свойств матрицы Кокстера.

Группы Артина–Титса сферического типа

• Группа Артина–Титса называется сферической , если соответствующая группа Коксетера конечна — альтернативной терминологии «группа Артина–Титса конечного типа» следует избегать из-за ее двусмысленности: «группа конечного типа» — это просто та, которая допускает конечное порождающее множество. Напомним, что известна полная классификация, в которой «неприводимые типы» обозначены как бесконечные ряды , , , и шесть исключительных групп , , , , , и . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle I_{2}(n)}$ ${\displaystyle E_{6}}$ ${\displaystyle E_{7}}$ ${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle H_{3}}$ ${\displaystyle H_{4}}$
• В случае сферической группы Артина–Титса группа является группой дробей для моноида, что значительно упрощает исследование. Каждая из вышеупомянутых проблем решается положительно для сферических групп Артина–Титса: проблемы слова и сопряженности разрешимы, их кручение тривиально, центр моногенен в неприводимом случае, а когомологии определены ( Пьер Делинь , геометрическими методами ^[6], Эгберт Брискорн и Кёдзи Сайто , комбинаторными методами ^[7] ).
• Чистая группа Артина–Титса сферического типа может быть реализована как фундаментальная группа дополнения конечной конфигурации гиперплоскостей в . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
• Группы Артина–Титса сферического типа являются биавтоматными группами (Рут Чарни ^[8] ).
• В современной терминологии группа Артина–Титса — это группа Гарсайда , то есть группа дробей для соответствующего моноида , и для каждого элемента существует уникальная нормальная форма, состоящая из конечной последовательности (копий) элементов и их обратных («симметричная жадная нормальная форма»). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A^{+}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W}$

Прямоугольные группы Артина

• Группа Артина–Титса называется прямоугольной, если все коэффициенты матрицы Коксетера являются либо , либо , т. е. все соотношения являются коммутационными соотношениями . Также распространены названия (свободная) частично коммутативная группа , графовая группа , группа следов , полусвободная группа или даже локально свободная группа . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle st=ts}$
• Для этого класса групп Артина–Титса обычно используется другая схема маркировки. Любой граф на вершинах с метками определяет матрицу , для которой , если вершины и соединены ребром в , и в противном случае. ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 1,2,\ldots ,n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m_{s,t}=2}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle m_{s,t}=\infty }$
• Класс прямоугольных групп Артина–Титса включает свободные группы конечного ранга, соответствующие графу без ребер, и конечно-порожденные свободные абелевы группы , соответствующие полному графу . Каждая прямоугольная группа Артина ранга r может быть построена как HNN-расширение прямоугольной группы Артина ранга , со свободным произведением и прямым произведением в качестве крайних случаев. Обобщение этой конструкции называется графовым произведением групп . Прямоугольная группа Артина является частным случаем этого произведения, причем каждая вершина/операнд графового произведения является свободной группой ранга один ( бесконечной циклической группой ). ${\displaystyle r-1}$
• Проблемы тождества и сопряженности прямоугольной группы Артина–Титса разрешимы, первая за линейное время, группа не имеет кручения, и существует явная клеточная конечность (Джон Крисп, Эдди Годель и Берт Вист ^[9] ). ${\displaystyle K(\pi ,1)}$
• Каждая прямоугольная группа Артина–Титса действует свободно и кокомпактно на конечномерном кубическом комплексе CAT(0) , его «комплексе Салветти». В качестве приложения можно использовать прямоугольные группы Артина и их комплексы Салветти для построения групп с заданными свойствами конечности (Младен Бествина и Ноэль Брэди ^[10] ), см. также (Иэн Лири ^[11] ).

Группы Артина–Титса большого типа

• Говорят, что группа Артина–Титса (и группа Коксетера) имеет большой тип, если для всех генераторов ; говорят, что она имеет сверхбольшой тип , если для всех генераторов . ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 3}$ ${\displaystyle s\neq t}$ ${\displaystyle m_{s,t}\geqslant 4}$ ${\displaystyle s\neq t}$
• Группы Артина–Титса сверхбольшого типа подходят для теории малых сокращений. В качестве приложения, группы Артина–Титса сверхбольшого типа не имеют кручения и имеют разрешимую проблему сопряженности ( Кеннет Аппель и Пол Шупп ^[12] ).
• Группы Артина–Титса сверхбольшого типа являются биавтоматическими (Дэвид Пейфер ^[13] ).
• Группы Артина большого типа являются коротколексными автоматическими с регулярными геодезическими (Дерек Холт и Сара Риз ^[14] ).

Другие типы

Были идентифицированы и исследованы многие другие семейства групп Артина–Титса. Здесь мы упомянем два из них.

• Говорят, что группа Артина–Титса имеет тип FC («флаговый комплекс»), если для любого подмножества из , такого что для всех в , группа имеет сферический тип. Такие группы действуют кокомпактно на кубическом комплексе CAT(0), и, как следствие, можно найти рациональную нормальную форму для их элементов и вывести решение проблемы слов (Джо Альтобелли и Чарни ^[15] ). Альтернативная нормальная форма предоставляется мультифракционной редукцией, которая дает единственное выражение неприводимой мультифракционной, напрямую расширяющей выражение неприводимой дробью в сферическом случае (Дехорной ^[16] ). ${\displaystyle \langle S\mid R\rangle }$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle m_{s,t}\neq \infty }$ ${\displaystyle s,t}$ ${\displaystyle S'}$ ${\displaystyle \langle S'\mid R\cap S'{}^{2}\rangle }$
• Говорят, что группа Артина–Титса имеет аффинный тип , если ассоциированная группа Коксетера является аффинной . Они соответствуют расширенным диаграммам Дынкина четырех бесконечных семейств для , , для , и для , и пяти спорадических типов , , , , и . Аффинные группы Артина–Титса имеют евклидов тип : ассоциированная группа Коксетера действует геометрически на евклидовом пространстве. Как следствие, их центр тривиален, а их проблема слов разрешима (Джон Маккаммонд и Роберт Салуэй ^[17] ). В 2019 году было объявлено о доказательстве гипотезы для всех аффинных групп Артина–Титса (Марио Сальветти и Джованни Паолини ^[18] ). ${\displaystyle {\widetilde {A}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle {\widetilde {B}}_{n}}$ ${\displaystyle {\widetilde {C}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle {\widetilde {D}}_{n}}$ ${\displaystyle n\geqslant 3}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{6}}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{7}}$ ${\displaystyle {\widetilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\widetilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}_{2}}$ ${\displaystyle K(\pi ,1)}$

Смотрите также

• Свободный частично коммутативный моноид
• Группа Артиния (несвязанное понятие)
• Некоммутативная криптография
• Элементарная абелева группа

Ссылки

1. Артин, Эмиль (1947). «Теория кос». Annals of Mathematics . 48 (1): 101–126. doi :10.2307/1969218. JSTOR  1969218. S2CID  30514042.
2. Титс, Жак (1966), "Normalisateurs de tores. I. Groupes de Coxeter étendus", Journal of Algebra , 4 : 96–116, doi : 10.1016/0021-8693(66)90053-6 , MR  0206117
3. Крисп, Джон; Пэрис, Луис (2001), «Решение гипотезы Титса о подгруппе, порожденной квадратами генераторов группы Артина», Inventiones Mathematicae , 145 (1): 19–36, arXiv : math/0003133 , Bibcode : 2001InMat.145...19C, doi : 10.1007/s002220100138, MR  1839284
4. Пэрис, Луис (2002), «Моноиды Артина вводят в свои группы», Commentarii Mathematici Helvetici , 77 (3): 609–637, arXiv : math/0102002 , doi : 10.1007/s00014-002-8353-z , MR  1933791
5. Дайер, Мэтью; Хольвег, Кристоф (2016), «Малые корни, низкие элементы и слабый порядок в группах Коксетера», Advances in Mathematics , 301 : 739–784, arXiv : 1505.02058 , doi : 10.1016/j.aim.2016.06.022 , MR  1839284
6. Делинь, Пьер (1972), «Les immeubles des groupes de tresses généralisés», Inventiones Mathematicae , 17 : 273–302, Бибкод : 1972InMat..17..273D, doi : 10.1007/BF01406236, MR  0422673
7. Брискорн, Эгберт ; Сайто, Кёдзи (1972), «Artin-Gruppen und Coxeter-Gruppen», Inventiones Mathematicae , 17 (4): 245–271, Бибкод : 1972InMat..17..245B, doi : 10.1007/BF01406235, MR  0323910
8. Чарни, Рут (1992), «Группы Артина конечного типа являются биавтоматическими», Mathematische Annalen , 292 (4): 671–683, doi :10.1007/BF01444642, MR  1157320
9. Крисп, Джон; Годель, Эдди; Вист, Берт (2009), «Проблема сопряженности в подгруппах прямоугольных групп Артина», Журнал топологии , 2 (3): 442–460, doi :10.1112/jtopol/jtp018, MR  2546582
10. Бествина, Младен ; Брэди, Ноэль (1997), «Теория Морса и свойства конечности групп», Inventiones Mathematicae , 129 (3): 445–470, Bibcode : 1997InMat.129..445B, doi : 10.1007/s002220050168, MR  1465330
11. Лири, Ян (2018), «Несчетное множество групп типа FP», Труды Лондонского математического общества , 117 (2): 246–276, arXiv : 1512.06609 , doi : 10.1112/plms.12135 , MR  3851323
12. Аппель, Кеннет И.; Шупп, Пол Э. (1983), «Группы Артина и бесконечные группы Коксетера», Inventiones Mathematicae , 72 (2): 201–220, Bibcode : 1983InMat..72..201A, doi : 10.1007/BF01389320, MR  0700768
13. Пейфер, Дэвид (1996), «Группы Артина сверхбольшого типа являются биавтоматическими», Журнал чистой и прикладной алгебры , 110 (1): 15–56, doi :10.1016/0022-4049(95)00094-1, MR  1390670
14. Холт, Дерек; Риз, Сара (2012). «Группы Артина большого типа являются короткими автоматическими с регулярными геодезическими». Труды Лондонского математического общества . 104 (3): 486–512. arXiv : 1003.6007 . doi : 10.1112/plms/pdr035. MR  2900234.
15. Альтобелли, Джо; Чарни, Рут (2000), «Геометрическая рациональная форма для групп Артина типа FC», Geometriae Dedicata , 79 (3): 277–289, doi :10.1023/A:1005216814166, MR  1755729
16. Dehornoy, Patrick (2017), «Мультифракционное сокращение I: случай 3-Ore и группы Артина–Титса типа FC», Журнал комбинаторной алгебры , 1 (2): 185–228, arXiv : 1606.08991 , doi : 10.4171/JCA/1-2-3, MR  3634782
17. Маккаммонд, Джон; Салуэй, Роберт (2017), «Группы Артина евклидова типа», Inventiones Mathematicae , 210 (1): 231–282, arXiv : 1312.7770 , Bibcode : 2017InMat.210..231M, doi : 10.1007/s00222-017-0728-2, MR  3698343
18. Паолини, Джованни; Сальветти, Марио (2019), Доказательство гипотезы для аффинных групп Артина , arXiv : 1907.11795 ${\displaystyle K(\pi ,1)}$

Дальнейшее чтение

• Чарни, Рут (2007), «Введение в прямоугольные группы Артина», Geometriae Dedicata , 125 (1): 141–158, arXiv : math/0610668 , doi : 10.1007/s10711-007-9148-6, MR  2322545
• Годель, Эдди; Пэрис, Луис (2012), Основные вопросы по группам Артина–Титса , CRM Series, т. 14, Ed. Norm., Пиза, стр. 299–311, arXiv : 1105.1048 , doi : 10.1007/978-88-7642-431-1_13, ISBN 978-88-7642-430-4, МР  3203644
• Маккаммонд, Джон (2017), «Загадочная геометрия групп Артина», Winter Braids Lecture Notes , 4 (Winter Braids VII (Кан, 2017)): 1–30, doi : 10.5802/wbln.17 , MR  3922033
• Флорес, Рамон; Кахробаи, Деларам ; Коберда, Томас (2019). «Алгоритмические проблемы в прямоугольных группах Артина: сложность и приложения». Журнал алгебры . 519 : 111–129. arXiv : 1802.04870 . doi : 10.1016/j.jalgebra.2018.10.023. MR  3874519.