Бонавентура Франческо Кавальери ( лат . Bonaventura Cavalerius ; 1598 – 30 ноября 1647) был итальянским математиком и иезуитом . [1] Он известен своими работами по проблемам оптики и движения , работами о неделимых , предшественниками исчисления бесконечно малых и введением логарифмов в Италию. Принцип Кавальери в геометрии частично предвосхитил интегральное исчисление .
Родившийся в Милане , Кавальери присоединился к ордену иезуитов (не путать с иезуитами [2] ) в возрасте пятнадцати лет, взяв имя Бонавентура, став послушником ордена, и оставался его членом до самой смерти. [3] Он принял обеты полноправного члена ордена в 1615 году, в возрасте семнадцати лет, и вскоре после этого присоединился к дому иезуитов в Пизе. К 1616 году он был студентом геометрии в Университете Пизы . Там он попал под опеку Бенедетто Кастелли , который, вероятно, познакомил его с Галилео Галилеем . В 1617 году он ненадолго присоединился к двору Медичи во Флоренции под покровительством кардинала Федерико Борромео , но в следующем году вернулся в Пизу и начал преподавать математику вместо Кастелли. Он подал заявку на кафедру математики в Университете Болоньи, но получил отказ. [1]
В 1620 году он вернулся в иезуитский дом в Милане, где он жил как послушник, и стал дьяконом при кардинале Борромео. Он изучал теологию в монастыре Сан Джероламо в Милане и был назначен настоятелем монастыря Святого Петра в Лоди . В 1623 году он стал настоятелем монастыря Святого Бенедикта в Парме, но все еще подавал заявки на должности в области математики. Он снова подал заявку в Болонью, а затем, в 1626 году, в Сапиенцу , но каждый раз получал отказ, несмотря на то, что брал шестимесячный отпуск, чтобы поддержать свое дело в Сапиенце в Риме. [1] В 1626 году он начал страдать от подагры, которая ограничила его передвижения на всю оставшуюся жизнь. [4] Ему также отказали в должности в Пармском университете , что, как он считал, было связано с его членством в ордене иезуитов, поскольку в то время Парма находилась под управлением ордена иезуитов. В 1629 году он был назначен заведующим кафедрой математики в Болонском университете, что связывают с поддержкой, оказанной ему Галилеем в сенате Болоньи. [1] [5]
Он опубликовал большую часть своих работ, находясь в Болонье, хотя некоторые из них были написаны ранее; его Geometria Indivisibilibus , где он изложил то, что позже стало методом неделимых , была написана в 1627 году, когда он был в Парме, и представлена как часть его заявки в Болонью, но не была опубликована до 1635 года. Современный критический прием был неоднозначным, и Exercitationes geometricae sex (Шесть упражнений по геометрии) были опубликованы в 1647 году, отчасти как ответ на критику. Также в Болонье он опубликовал таблицы логарифмов и информацию об их использовании, способствуя их использованию в Италии.
Галилей оказал сильное влияние на Кавальери, и Кавальери написал Галилею не менее 112 писем. Галилей сказал о нем: «Мало кто, если вообще кто-либо, после Архимеда , проник так далеко и глубоко в науку геометрии». [6] Он много переписывался; среди его известных корреспондентов были Марин Мерсенн , Эванджелиста Торричелли и Винченцо Вивиани . [4] Торричелли, в частности, сыграл важную роль в совершенствовании и продвижении метода неделимых. [1] Он также пользовался покровительством Чезаре Марсили . [6]
К концу жизни его здоровье значительно ухудшилось. Артрит не позволял ему писать, и большую часть его переписки диктовал и писал Стефано дельи Анджели , товарищ по иезуитству и ученик Кавальери. Анджели продолжил развивать метод Кавальери.
В 1647 году он умер, вероятно, от подагры. [4]
С 1632 по 1646 год Кавальери опубликовал одиннадцать книг, посвященных проблемам астрономии, оптики, движения и геометрии.
Первая книга Кавальери, впервые опубликованная в 1632 году и переизданная один раз в 1650 году, называлась Lo Specchio Ustorio, overo, Trattato delle settioni coniche , или « Горящее зеркало , или Трактат о конических сечениях» . [7] Целью Lo Specchio Ustorio было рассмотреть вопрос о том, как Архимед мог использовать зеркала, чтобы сжечь римский флот, приближающийся к Сиракузам , вопрос, который все еще является предметом споров. [5] [8] Книга вышла за рамки этой цели и также исследовала конические сечения, отражение света и свойства парабол. В этой книге он разработал теорию зеркал, имеющих форму парабол , гипербол и эллипсов , а также различные комбинации этих зеркал. Он продемонстрировал, что если, как было показано позже, свет имеет конечную и определенную скорость, то в изображении в фокусе параболического, гиперболического или эллиптического зеркала есть минимальная интерференция, хотя это было теоретически, поскольку требуемые зеркала не могли быть построены с использованием современных технологий. Это давало бы лучшие изображения, чем телескопы, которые существовали в то время. [5] [9]
Он также продемонстрировал некоторые свойства кривых. Первое заключается в том, что для светового луча, параллельного оси параболы и отраженного так, чтобы пройти через фокус, сумма угла падения и его отражения равна сумме любого другого подобного луча. Затем он продемонстрировал аналогичные результаты для гипербол и эллипсов. Второй результат, полезный при проектировании рефлекторных телескопов, заключается в том, что если линия продлена из точки вне параболы до фокуса, то отражение этой линии на внешней поверхности параболы параллельно оси. Другие результаты включают свойство, что если линия проходит через гиперболу и ее внешний фокус, то ее отражение на внутренней поверхности гиперболы пройдет через внутренний фокус; обратное предыдущему, что луч, направленный через параболу к внутреннему фокусу, отражается от внешней поверхности к внешнему фокусу; и свойство, что если линия проходит через один внутренний фокус эллипса, ее отражение на внутренней поверхности эллипса пройдет через другой внутренний фокус. Хотя некоторые из этих свойств были отмечены ранее, Кавальери дал первое доказательство многих из них. [5]
Lo Specchio Ustorio также включил таблицу отражающих поверхностей и режимов отражения для практического использования. [5]
Работа Кавальери также содержала теоретические проекты нового типа телескопа с использованием зеркал, отражающего телескопа , изначально разработанного для ответа на вопрос о зеркале Архимеда, а затем примененного в гораздо меньших масштабах в качестве телескопов. [5] [10] Он проиллюстрировал три различные концепции включения отражающих зеркал в свою модель телескопа. План один состоял из большого вогнутого зеркала, направленного к солнцу, чтобы отражать свет во второе, меньшее, выпуклое зеркало. Вторая концепция Кавальери состояла из главного, усеченного, параболоидного зеркала и второго, выпуклого зеркала. Его третий вариант иллюстрировал сильное сходство с его предыдущей концепцией, заменяя выпуклую вторичную линзу вогнутой линзой. [5]
Вдохновленный более ранней работой Галилея, Кавальери разработал новый геометрический подход, названный методом неделимых в исчислении, и опубликовал трактат на эту тему Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota , или Геометрия, разработанная новым методом через неделимые континуумов . Он был написан в 1627 году, но не был опубликован до 1635 года. В этой работе Кавальери рассматривает сущность, упоминаемую в тексте как «все линии» или «все плоскости» фигуры, неопределенное число параллельных линий или плоскостей в пределах границ фигуры, которые сопоставимы с площадью и объемом, соответственно, фигуры. Более поздние математики, усовершенствовав его метод, стали считать «все линии» и «все плоскости» эквивалентными или равными площади и объему, но Кавальери, пытаясь избежать вопроса о составе континуума, настаивал на том, что эти два понятия сравнимы, но не равны. [1]
Эти параллельные элементы называются неделимыми соответственно площади и объема и обеспечивают строительные блоки метода Кавальери, а также являются фундаментальными особенностями интегрального исчисления . Он также использовал метод неделимых для вычисления результата, который теперь записан , в процессе вычисления площади, заключенной в Архимедовой спирали , которую он позже обобщил на другие фигуры, показав, например, что объем конуса составляет одну треть объема его описанного цилиндра. [11]
Непосредственным применением метода неделимых является принцип Кавальери , который гласит, что объемы двух объектов равны, если площади их соответствующих поперечных сечений во всех случаях равны. Два поперечных сечения соответствуют, если они являются пересечениями тела с плоскостями, равноудаленными от выбранной базовой плоскости. (Тот же принцип ранее использовался Цзу Гэнчжи (480–525) из Китая в конкретном случае вычисления объема сферы. [12] )
Метод неделимых, изложенный Кавальери, был мощным, но был ограничен в своей полезности в двух отношениях. Во-первых, хотя доказательства Кавальери были интуитивными и позже продемонстрировали свою правильность, они не были строгими; во-вторых, его письмо было плотным и непрозрачным. В то время как многие современные математики продвигали метод неделимых, критика Geometria indivisibilibus была суровой. Андре Таке и Пол Гулдин оба опубликовали ответы на Geometria indivisibilibus. Особенно глубокая критика Гулдина предполагала, что метод Кавальери был получен из работ Иоганна Кеплера и Бартоломео Соверо , критиковала его метод за недостаток строгости, а затем утверждала, что не может быть никакого осмысленного соотношения между двумя бесконечностями, и поэтому бессмысленно сравнивать их друг с другом. [4] [1]
«Exercitationes geometricae sex» или «Шесть геометрических упражнений» (1647) Кавальери были написаны в ответ на критику Гульдина. Первоначально они были составлены как диалог в стиле Галилея, но корреспонденты выступили против этого формата как излишне провокационного. Обвинения в плагиате были беспочвенными, но большая часть « Exercitationes» касалась математической сути аргументов Гульдина. Он неискренне утверждал, что его работа рассматривает «все линии» как отдельную сущность от площади фигуры, а затем утверждал, что «все линии» и «все плоскости» имеют дело не с абсолютной, а с относительной бесконечностью, и поэтому их можно сравнивать. Эти аргументы не были убедительными для современников. [1] « Exercitationes » тем не менее представляли собой значительное улучшение метода неделимых. Применив преобразования к своим переменным, он обобщил свой предыдущий интегральный результат, показав, что для n=3 до n=9, что теперь известно как квадратурная формула Кавальери . [4] [11]
Ближе к концу своей жизни Кавальери опубликовал две книги по астрономии . Хотя они используют язык астрологии , в тексте он заявляет, что не верит в астрологию и не практикует ее . Этими книгами были Nuova pratica astrologica (1639) и Trattato della ruota planetaria perpetua (1646).
Он опубликовал таблицы логарифмов , подчеркивая их практическое использование в областях астрономии и географии . [ 4 ] [1] [6]
Кавальери также построил гидравлический насос для монастыря, которым он управлял. Герцог Мантуанский приобрел аналогичный. [6]
По словам Жиля-Гастона Грэнжера , Кавальери, наряду с Ньютоном , Лейбницем , Паскалем , Уоллисом и Маклореном, стоит в одном ряду с теми, кто в XVII и XVIII веках «переопределил математический объект». [13]
Лунный кратер Кавалериус назван в честь Кавальери.
Медиа, связанные с Бонавентура Кавальери на Wikimedia Commons
