Двойственность Шура – ​​Вейля

Двойственность Шура – ​​Вейля — это математическая теорема в теории представлений , связывающая неприводимые конечномерные представления общих линейных и симметричных групп. Оно названо в честь двух пионеров теории представлений групп Ли , Иссаи Шура , открывшего это явление, и Германа Вейля , который популяризировал его в своих книгах по квантовой механике и классическим группам как способ классификации представлений унитарных и общих линейных групп.

Двойственность Шура–Вейля можно доказать с помощью теоремы о двойном централизаторе . ^[1]

Описание

Двойственность Шура–Вейля образует архетипическую ситуацию в теории представлений, включающую два вида симметрии , которые определяют друг друга. Рассмотрим тензорное пространство

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}}$с k факторами.

Симметричная группа S _k на k буквах действует на этом пространстве (слева) перестановкой множителей:

${\displaystyle \sigma (v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=v_{\sigma ^{-1}(1)}\otimes v_{\sigma ^{-1}(2)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma ^{-1}(k)}.}$

Общая линейная группа GL _n обратимых матриц размера n × n действует на него одновременным умножением матриц :

${\displaystyle g(v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k})=gv_{1}\otimes gv_{2}\otimes \cdots \otimes gv_{k},\quad g\in {\text{GL}}_{n}.}$

Эти два действия коммутируют , и в своей конкретной форме двойственность Шура–Вейля утверждает _, что при совместном действии групп Sk и GL _n тензорное пространство распадается в прямую сумму тензорных произведений неприводимых модулей (для этих двух групп ), которые фактически определяют друг друга,

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{D}\pi _{k}^{D}\otimes \rho _{n}^{D}.}$

Слагаемые индексируются диаграммами Юнга D с k ящиками и не более чем n строками, а представления S k _с разными D взаимно неизоморфны, и то же самое верно для представлений GL _n . ${\displaystyle \pi _{k}^{D}}$ ${\displaystyle \rho _{n}^{D}}$

Абстрактная форма двойственности Шура–Вейля утверждает, что две алгебры операторов в тензорном пространстве, порожденные действиями GL _n и Sk _, являются полными взаимными централизаторами в алгебре эндоморфизмов ${\displaystyle \mathrm {End} _{\mathbb {C} }(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}\otimes \cdots \otimes \mathbb {C} ^{n}).}$

Пример

Предположим, что k = 2 и n больше единицы. Тогда двойственность Шура–Вейля — это утверждение о том, что пространство двухтензоров распадается на симметричную и антисимметричную части, каждая из которых является неприводимым модулем для GL _n :

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{n}=S^{2}\mathbb {C} ^{n}\oplus \Lambda ^{2}\mathbb {C} ^{n}.}$

Симметрическая группа S2 состоит из двух элементов и имеет два неприводимых представления: _{тривиальное} представление и знаковое представление. Тривиальное представление S2 порождает симметричные тензоры, которые инвариантны (т.е. не изменяются) при перестановке множителей, а знаковое представление соответствует кососимметричным тензорам, которые меняют знак _.

Доказательство

Сначала рассмотрим следующую настройку:

• G конечная группа ,
• ${\displaystyle A=\mathbb {C} [G]}$групповая алгебра группы G ,
• ${\displaystyle U}$конечномерный правый A -модуль и
• ${\displaystyle B=\operatorname {End} _{G}(U)}$, которое действует на U слева и коммутирует с правым действием G (или A ). Другими словами, является централизатором в кольце эндоморфизмов . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {End} (U)}$

В доказательстве используются две алгебраические леммы.

Лемма 1  —  ^[2] Если — простой левый А -модуль, то — простой левый В -модуль. ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U\otimes _{A}W}$

Доказательство : поскольку U полупрост по теореме Машке , существует разложение на простые A -модули. Затем . Поскольку A является левым регулярным представлением G , каждый простой G -модуль появляется в A , и мы имеем это (соответственно ноль) тогда и только тогда, когда соответствует одному и тому же простому множителю A (соответственно в противном случае). Следовательно, мы имеем: Теперь легко видеть, что каждый ненулевой вектор в порождает все пространство как B -модуль и поэтому является простым. (Вообще, ненулевой модуль является простым тогда и только тогда, когда каждый его ненулевой циклический подмодуль совпадает с модулем.) ${\displaystyle U=\bigoplus _{i}U_{i}^{\oplus m_{i}}}$ ${\displaystyle U\otimes _{A}W=\bigoplus _{i}(U_{i}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i}}}$ ${\displaystyle U_{i}\otimes _{A}W=\mathbb {C} }$ ${\displaystyle U_{i},W}$ ${\displaystyle U\otimes _{A}W=(U_{i_{0}}\otimes _{A}W)^{\oplus m_{i_{0}}}=\mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{\oplus m_{i_{0}}}}$ ${\displaystyle U\otimes _{A}W}$ ${\displaystyle \square }$

Лемма 2  —  ^[3] Когда и G — симметрическая группа , подпространство в ней является В -подмодулем тогда и только тогда, когда оно инвариантно относительно ; другими словами, B -субмодуль — это то же самое, что и -субмодуль. ${\displaystyle U=V^{\otimes d}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$

Доказательство : Пусть . . ​Кроме того, образ W охватывает подпространство симметричных тензоров . Так как изображение пролетает . Поскольку плотно в W либо в топологии Евклида, либо в топологии Зариского, утверждение следует. ${\displaystyle W=\operatorname {End} (V)}$ ${\displaystyle W\hookrightarrow \operatorname {End} (U),w\mapsto w^{d}=d!w\otimes \cdots \otimes w}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{d}(W)}$ ${\displaystyle B=\operatorname {Sym} ^{d}(W)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \square }$

Теперь следует двойственность Шура-Вейля. В качестве симметрической группы возьмем d - ю тензорную степень конечномерного комплексного векторного пространства V . ${\displaystyle G={\mathfrak {S}}_{d}}$ ${\displaystyle U=V^{\otimes d}}$

Обозначим через неприводимое -представление, соответствующее разбиению и . Тогда по лемме 1 ${\displaystyle V^{\lambda }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{d}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle m_{\lambda }=\dim V^{\lambda }}$

${\displaystyle S^{\lambda }(V):=V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda }}$

неприводим как -модуль. Более того, когда есть левополупростое разложение, имеем: ^[4] ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}}$

${\displaystyle V^{\otimes d}=V^{\otimes d}\otimes _{A}A=\bigoplus _{\lambda }(V^{\otimes d}\otimes _{{\mathfrak {S}}_{d}}V^{\lambda })^{\oplus m_{\lambda }}}$,

что представляет собой полупростое разложение как -модуль. ${\displaystyle \operatorname {GL} (V)}$

Обобщения

Алгебра Брауэра играет роль симметрической группы в обобщении двойственности Шура-Вейля на ортогональные и симплектические группы.

В более общем смысле, алгебра разбиения и ее подалгебры порождают ряд обобщений двойственности Шура-Вейля.

Смотрите также

• Алгебра разделов

Примечания

1. Этингоф, Павел; Гольберг Олег; Хензель, Себастьян; Лю, Тянькай; Швенднер, Алекс; Вайнтроб, Дмитрий; Юдовина, Елена (2011), Введение в теорию представлений. С историческими интермедиями Славы Геровича , Збл  1242.20001, Теорема 5.18.4
2. Фултон и Харрис 1991, Лемма 6.22.
3. Фултон и Харрис 1991, Лемма 6.23.
4. Фултон и Харрис 1991, Теорема 6.3. (2), (4)

Рекомендации

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. МР  1153249. OCLC  246650103.
• Роджер Хоу , Перспективы теории инвариантов: двойственность Шура, действия без множественности и не только . Лекции Шура (1992) (Тель-Авив), 1–182, Israel Math. Конф. Proc., 8, Университет Бар-Илан, Рамат-Ган, 1995. MR 1321638
• Иссай Шур , Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen . Диссертация. Берлин. 76 С (1901) ЖМФ 32.0165.04
• Иссаи Шур , Über die Rastellungen Darstellungen der allgemeinen Linear Gruppe . Sitzungsberichte Akad. Берлин 1927, 58–75 (1927) JMF 53.0108.05
• Сенгупта, Амбар Н. (2012). «Глава 10: Двойственность характера». Представление конечных групп. Полупростое введение. Спрингер. ISBN 978-1-4614-1232-8. ОСЛК  875741967.
• Герман Вейль , Классические группы. Их инварианты и представления . Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1939. xii+302 стр. MR 0000255

Внешние ссылки

• Как конструктивно/комбинаторно доказать двойственность Шура-Вейля?