В разделе абстрактной алгебры , называемом теорией колец , теорема о двойном централизаторе может ссылаться на любой из нескольких подобных результатов. Эти результаты касаются централизатора подкольца S кольца R , обозначаемого в этой статье C R ( S ). Всегда имеет место, что C R ( C R ( S )) содержит S , и теорема о двойном централизаторе дает условия на R и S , которые гарантируют, что C R ( C R ( S )) равно S .
Централизатор подкольца S кольца R задается формулой
Очевидно, что C R ( C R ( S )) ⊇ S , но не всегда можно сказать, что два множества равны. Теоремы о двойном централизаторе дают условия, при которых можно заключить, что равенство имеет место.
Есть еще один особый случай, представляющий интерес. Пусть M будет правым R -модулем и дайте M естественную структуру левого E -модуля, где E — это End( M ), кольцо эндоморфизмов абелевой группы M . Каждое отображение m r , заданное формулой m r ( x ) = xr , создает аддитивный эндоморфизм M , то есть элемент E . Отображение r → m r является кольцевым гомоморфизмом R в кольцо E , и мы обозначаем образ R внутри E через R M . Можно проверить, что ядром этого канонического отображения является аннулятор Ann( M R ). Следовательно, по теореме об изоморфизме для колец, R M изоморфно фактор-кольцу R / Ann( M R ). Очевидно, что когда M — точный модуль , R и R M являются изоморфными кольцами.
Итак, теперь E — это кольцо с R M в качестве подкольца, и может быть образовано C E ( R M ). По определению можно проверить, что C E ( R M ) = End( M R ), кольцо эндоморфизмов R- модулей M . Таким образом, если окажется, что C E ( C E ( R M )) = R M , это то же самое, что сказать C E (End( M R )) = R M .
Возможно, наиболее распространенной версией является версия для центральных простых алгебр , как она представлена в (Knapp 2007, стр. 115):
Теорема : Если A — конечномерная центральная простая алгебра над полем F , а B — простая подалгебра A , то C A ( C A ( B )) = B , и, более того, размерности удовлетворяют условию
Следующая обобщенная версия для артиновых колец (включая конечномерные алгебры) представлена в (Isaacs 2009, стр. 187). Учитывая простой модуль R U R , мы позаимствуем обозначения из приведенного выше раздела мотивации, включая R U и E = End( U ). Кроме того, мы будем писать D = End( U R ) для подкольца E, состоящего из R -гомоморфизмов. По лемме Шура , D является телом .
Теорема : Пусть R — правое артиново кольцо с простым правым модулем U R , и пусть R U , D и E заданы как в предыдущем абзаце. Тогда
В (Rowen 1980, стр. 154) дается версия для полиномиальных колец тождественности . Обозначение Z( R ) будет использоваться для обозначения центра кольца R .
Теорема : Если R — простое полиномиальное тождественное кольцо, а A — простая Z( R ) подалгебра алгебры R , то C R ( C R ( A )) = A .
Теорема фон Неймана о бикоммутанте утверждает, что *-подалгебра A алгебры ограниченных операторов B ( H ) в гильбертовом пространстве H является алгеброй фон Неймана (т.е. слабо замкнута ) тогда и только тогда, когда A = C B ( H ) C B ( H ) (A).
Говорят, что модуль M имеет свойство двойного централизатора или является сбалансированным модулем , если C E ( C E ( R M )) = R M , где E = End( M ) и R M такие, как указано в разделе мотивировки. В этой терминологии версия теоремы о двойном централизаторе для артиновых колец утверждает, что простые правые модули для правых артиновых колец являются сбалансированными модулями.
