Десятиугольное число

Десятиугольное число — это фигурное число, которое расширяет концепцию треугольных и квадратных чисел до декагона (десятистороннего многоугольника). Однако, в отличие от треугольных и квадратных чисел, шаблоны, используемые при построении десятиугольных чисел, не являются вращательно-симметричными. В частности, n -е десятиугольное число подсчитывает точки в шаблоне из n вложенных декагонов, все из которых имеют общий угол, где i -й десятиугольник в шаблоне имеет стороны, состоящие из i точек, отстоящих друг от друга на одну единицу. n -е десятиугольное число определяется следующей формулой

${\displaystyle d_{n}=4n^{2}-3n}$.

Первые несколько десятиугольных чисел:

, 1 , 10 , 27 , 52 , 85 , 126 , 175 , 232 , 297 , 370, 451, 540, 637, 742, 855, 976, 1105 , 1242, 1387, 1540, 1701 , 187 0, 2047, 2232, 2425, 2626, 2835, 3052, 3277, 3510, 3751, 4000 , 4257, 4522, 4795, 5076, 5365, 5662, 5967, 6280, 6601, 6930, 7267, 7612, 7965, 8326 (последовательность A001107 в OEIS ).

n - е десятиугольное число также можно вычислить, прибавив квадрат n к утроенному ( n −1) -му проническому числу или, выражаясь алгебраически, как

${\displaystyle D_{n}=n^{2}+3\left(n^{2}-n\right)}$.

Характеристики

• Десятиугольные числа последовательно чередуют четность .
• ${\displaystyle D_{n}}$это сумма первых натуральных чисел, сравнимых с 1 по модулю 8. ${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle D_{n}}$— число делителей числа . ${\displaystyle 48^{n-1}}$
• Единственные десятиугольные числа, являющиеся квадратными числами, — это 0 и 1.
• Десятиугольные числа подчиняются следующим рекуррентным соотношениям:

${\displaystyle D_{n}=D_{n-1}+8n-7,D_{0}=0}$

${\displaystyle D_{n}=2D_{n-1}-D_{n-2}+8,D_{0}=0,D_{1}=1}$

${\displaystyle D_{n}=3D_{n-1}-3D_{n-2}+D_{n-3},D_{0}=0,D_{1}=1,D_{2}=10}$