Диагональ

В геометрии отрезок прямой, соединяющий две непоследовательные вершины многоугольника или многогранника.

Диагонали куба со стороной длиной 1. AC' (показана синим цветом) — это пространственная диагональ длиной , тогда как AC (показана красным цветом) — диагональ грани длиной . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

В геометрии диагональ — это отрезок прямой, соединяющий две вершины многоугольника или многогранника , когда эти вершины не находятся на одном ребре . Неформально любая наклонная линия называется диагональю. Слово диагональ происходит от древнегреческого διαγώνιος diagonios , ^[1] « от угла к углу» (от διά- dia- , «через», «поперек» и γωνία gonia , «угол», связано с gony «колено»); оно использовалось как Страбоном ^[2] , так и Евклидом ^[3] для обозначения линии, соединяющей две вершины ромба или кубоида , ^[4] и позже принято в латыни как diagonus («наклонная линия»).

Полигоны

Применительно к многоугольнику диагональ — это отрезок прямой , соединяющий любые две непоследовательные вершины. Таким образом, четырехугольник имеет две диагонали, соединяющие противоположные пары вершин. Для любого выпуклого многоугольника все диагонали находятся внутри многоугольника, но для входящих многоугольников некоторые диагонали находятся снаружи многоугольника.

Любой n -сторонний многоугольник ( n ≥ 3), выпуклый или вогнутый , имеет полное число диагоналей, так как каждая вершина имеет диагонали ко всем другим вершинам, кроме себя и двух соседних вершин, или n  − 3 диагоналей, и каждая диагональ является общей для двух вершин. ${\displaystyle {\tfrac {n(n-3)}{2}}}$

В общем случае правильный n -сторонний многоугольник имеет диагонали разной длины, которые следуют схеме 1,1,2,2,3,3..., начиная с квадрата. ${\displaystyle \lfloor {\frac {n-2}{2}}\rfloor }$

Области, образованные диагоналями

В выпуклом многоугольнике , если никакие три диагонали не пересекаются в одной точке внутри, число областей, на которые диагонали делят внутреннюю часть, определяется по формуле ^[5]

${\displaystyle {\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.}$

Для n -угольников с n = 3, 4, ... число областей равно

1, 4, 11, 25, 50, 91, 154, 246...

Это последовательность OEIS A006522. ^[6]

Пересечения диагоналей

Если никакие три диагонали выпуклого многоугольника не пересекаются в точке внутри, число внутренних пересечений диагоналей определяется как . ^{[7] [8]} Это справедливо, например, для любого правильного многоугольника с нечетным числом сторон. Формула следует из того факта, что каждое пересечение однозначно определяется четырьмя конечными точками двух пересекающихся диагоналей: число пересечений, таким образом, равно числу комбинаций n вершин по четыре за раз. ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{4}}}$

Правильные многоугольники

Хотя число различных диагоналей в многоугольнике увеличивается по мере увеличения числа его сторон, длину любой диагонали можно вычислить.

В правильном n-угольнике со стороной длиной a длина x-й наименьшей отличной диагонали равна:

${\displaystyle \sin({\frac {\pi (x+1)}{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a}$

Эта формула показывает, что по мере того, как число сторон стремится к бесконечности, x-я кратчайшая диагональ приближается к длине (x+1)a . Кроме того, формула для кратчайшей диагонали упрощается в случае x = 1:

${\displaystyle \sin({\frac {2\pi }{n}})\csc({\frac {\pi }{n}})*a=2\cos({\frac {\pi }{n}})*a}$

Если число сторон четное, то самая длинная диагональ будет эквивалентна диаметру описанной окружности многоугольника, поскольку все длинные диагонали пересекаются в центре многоугольника.

К особым случаям относятся:

Квадрат имеет две диагонали одинаковой длины, которые пересекаются в центре квадрата. Отношение диагонали к стороне равно ${\displaystyle {\sqrt {2}}\approx 1.414.}$

Правильный пятиугольник имеет пять диагоналей одинаковой длины. Отношение диагонали к стороне — это золотое сечение , ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618.}$

Правильный шестиугольник имеет девять диагоналей: шесть более коротких равны друг другу по длине; три более длинных равны друг другу по длине и пересекаются в центре шестиугольника. Отношение длинной диагонали к стороне равно 2, а отношение короткой диагонали к стороне равно . ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$

Правильный семиугольник имеет 14 диагоналей. Семь более коротких диагоналей равны между собой, а семь более длинных равны между собой. Обратная величина стороны равна сумме обратных величин короткой и длинной диагоналей.

Многогранники

Многогранник ( твердый объект в трехмерном пространстве , ограниченный двумерными гранями ) может иметь два различных типа диагоналей: диагонали граней на различных гранях, соединяющие несмежные вершины на одной грани; и диагонали пространства, полностью находящиеся внутри многогранника (за исключением конечных точек на вершинах).

Более высокие измерения

N-куб

Длины диагоналей n-мерного гиперкуба можно вычислить методом математической индукции . Самая длинная диагональ n-мерного куба равна . Кроме того, существуют x-ые самые короткие диагонали. Например, 5-мерный куб будет иметь диагонали: ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle 2^{n-1}{\binom {n}{x+1}}}$

Общее число его диагоналей равно 416. В общем случае n-куб имеет общее число диагоналей. Это следует из более общей формы, которая описывает общее число граней и пространственных диагоналей в выпуклых многогранниках. ^[9] Здесь v представляет число вершин, а e представляет число ребер. ${\displaystyle 2^{n-1}(2^{n}-n-1)}$ ${\displaystyle {\frac {v(v-1)}{2}}-e}$

Геометрия

По аналогии, подмножество декартова произведения X × X любого множества X с самим собой, состоящее из всех пар (x,x), называется диагональю и является графиком отношения равенства на X или , что эквивалентно, графиком функции тождества из X в X. Это играет важную роль в геометрии; например, неподвижные точки отображения F из X в себя могут быть получены пересечением графика F с диагональю.

В геометрических исследованиях распространена идея пересечения диагонали с собой , не напрямую, а путем ее возмущения в пределах класса эквивалентности . Это связано на глубоком уровне с характеристикой Эйлера и нулями векторных полей . Например, окружность S ¹ имеет числа Бетти 1, 1, 0, 0, 0, и, следовательно, характеристику Эйлера 0. Геометрический способ выразить это состоит в том, чтобы посмотреть на диагональ на двухторе S 1 ^xS 1 ^и заметить, что она может сместиться с себя малым движением (θ, θ) до (θ, θ + ε). В общем случае число пересечений графика функции с диагональю можно вычислить с помощью гомологии с помощью теоремы Лефшеца о неподвижной точке ; самопересечение диагонали является частным случаем тождественной функции.

Примечания

1. Харпер, Дуглас Р. (2018). "диагональный (прил.)". Онлайн-словарь этимологии .
2. Страбон, География 2.1.36–37
3. Евклид, Элементы, книга 11, предложение 28
4. Евклид, Элементы, книга 11, предложение 38
5. Хонсбергер (1973). "Проблема комбинаторики" . Математические жемчужины . Математическая ассоциация Америки. Гл. 9 , стр. 99–107. ISBN 0-88385-301-9.
   Freeman, JW (1976). «Число областей, определяемых выпуклым многоугольником». Mathematics Magazine . 49 (1): 23–25. JSTOR  2689875.
6. Sloane, N. J. A. (ред.). "Последовательность A006522". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS.
7. Пунен, Бьорн; Рубинштейн, Майкл. «Число точек пересечения, образованных диагоналями правильного многоугольника». SIAM J. Discrete Math . 11 (1998), № 1, 135–156; ссылка на версию на сайте Пунен
8. 3Blue1Brown (2015-05-23). ​​Решение по делению круга (старая версия) . Получено 2024-09-01 – через YouTube.{{cite AV media}}: CS1 maint: numeric names: authors list (link)
9. «Подсчет диагоналей многогранника – доктора математики».

Внешние ссылки

• Диагонали многоугольника с интерактивной анимацией
• Диагональ многоугольника из MathWorld .