Диофант Александрийский [1] (родился около 200 г. н. э. — около 214 г. н. э .; умер около 284 г. н. э . — около 298 г. н. э .) был греческим математиком , автором двух основных трудов: « О многоугольных числах» , который сохранился не полностью, и «Арифметики» в тринадцати книгах, большинство из которых сохранилось и состоит из арифметических задач, решаемых с помощью алгебраических уравнений . [2]
Его «Арифметика» повлияла на развитие алгебры арабами, а его уравнения повлияли на современные работы как в области абстрактной алгебры , так и в области компьютерных наук . [3] Первые пять книг его работы являются чисто алгебраическими. [3] Более того, недавние исследования работ Диофанта показали, что метод решения, преподаваемый в его «Арифметике», соответствует поздней средневековой арабской алгебре по своим концепциям и общей процедуре. [4]
Диофант был первым греческим математиком , который признал положительные рациональные числа числами, разрешив дроби для коэффициентов и решений. Он ввел термин παρισότης ( parisotēs ) для обозначения приблизительного равенства. [5] Этот термин был переведен как adaequalitas на латыни и стал методом равенства, разработанным Пьером де Ферма для поиска максимумов функций и касательных к кривым.
Хотя « Арифметика» и не является самой ранней, она имеет наиболее известное использование алгебраической нотации для решения арифметических задач, пришедших из греческой античности, [6] [2] и некоторые из ее задач послужили вдохновением для более поздних математиков, работающих в области анализа и теории чисел . [7] В современном использовании диофантовы уравнения — это алгебраические уравнения с целыми коэффициентами, для которых ищутся целочисленные решения. Диофантова геометрия и диофантовы приближения — две другие подобласти теории чисел , названные в его честь.
Диофант родился в греческой семье и, как известно, жил в Александрии , Египет , в римскую эпоху , между 200 и 214 гг. н. э. и 284 или 298 гг. н. э. [6] [8] [9] [a] Большая часть наших знаний о жизни Диофанта получена из греческой антологии числовых игр и головоломок V века, созданной Метродором . Одна из задач (иногда называемая его эпитафией) гласит:
Здесь лежит Диофант, чудо, вот оно. С помощью алгебраического искусства камень рассказывает, сколько ему лет: «Бог дал ему отрочество, одну шестую часть его жизни, Еще одну двенадцатую в юности, пока росли усы; И затем еще одну седьмую до начала брака; Через пять лет появился резвый новый сын. Увы, дорогое дитя мастера и мудреца, Достигнув половины меры жизни своего отца, холодная судьба забрала его. Утешив свою судьбу наукой чисел в течение четырех лет, он закончил свою жизнь».
Эта головоломка подразумевает, что возраст Диофанта x можно выразить как
что дает x значение 84 года. Однако точность информации не может быть подтверждена.
В популярной культуре эта головоломка называлась «Головоломка № 142» в игре «Профессор Лейтон и ящик Пандоры» и считалась одной из самых сложных головоломок в игре, для решения которой требовалось сначала решить другие головоломки.
Arithmetica — главная работа Диофанта и самая выдающаяся работа по досовременной алгебре в греческой математике. Это сборник задач, дающих численные решения как определенных, так и неопределенных уравнений . Из первоначальных тринадцати книг, из которых состояла Arithmetica, сохранилось только шесть, хотя некоторые считают, что четыре арабские книги, обнаруженные в 1968 году, также принадлежат Диофанту. [14] Некоторые диофантовы задачи из Arithmetica были найдены в арабских источниках.
Здесь следует отметить, что Диофант никогда не использовал общие методы в своих решениях. Герман Ганкель , известный немецкий математик, сделал следующее замечание относительно Диофанта:
У нашего автора (Диофанта) нет ни малейшего следа общего, всеобъемлющего метода; каждая проблема требует какого-то специального метода, который отказывается работать даже для наиболее тесно связанных проблем. По этой причине современному ученому трудно решить 101-ю проблему, даже изучив 100 решений Диофанта. [15]
Как и многие другие греческие математические трактаты, Диофант был забыт в Западной Европе в Темные века , поскольку изучение древнегреческого языка и грамотность в целом значительно снизились. Однако часть греческой «Арифметики» , которая сохранилась, была, как и все древнегреческие тексты, переданные в ранний современный мир, скопирована и, таким образом, известна средневековым византийским ученым. Схолии к Диофанту византийского греческого ученого Иоанна Хортасмена (1370–1437) сохранились вместе с исчерпывающим комментарием, написанным более ранним греческим ученым Максимом Планудесом (1260–1305), который выпустил издание Диофанта в библиотеке монастыря Хора в византийском Константинополе . [16] Кроме того, некоторая часть «Арифметики» , вероятно, сохранилась в арабской традиции (см. выше). В 1463 году немецкий математик Региомонтанус писал:
Никто еще не перевел с греческого на латынь тринадцать книг Диофанта, в которых скрыт самый цвет всей арифметики.
Arithmetica была впервые переведена с греческого на латынь Бомбелли в 1570 году, но перевод так и не был опубликован. Однако Бомбелли заимствовал многие из задач для своей собственной книги Algebra . Edio princeps Arithmetica было опубликовано в 1575 году Ксиландером . Латинский перевод Arithmetica Баше в 1621 году стал первым латинским изданием, которое было широко доступно. У Пьера де Ферма была копия, он изучал ее и делал заметки на полях. Более поздний латинский перевод 1895 года Пола Таннери, как говорят , был улучшением Томаса Л. Хита , который использовал его во втором издании своего английского перевода 1910 года.
Издание « Арифметики» Баше 1621 года приобрело известность после того, как Пьер де Ферма написал на полях своей копии свою знаменитую « Последнюю теорему »:
Если целое число n больше 2, то уравнение a n + b n = c n не имеет решений в ненулевых целых числах a , b , и c . У меня есть поистине изумительное доказательство этого предложения, для которого эти поля слишком узки.
Доказательство Ферма так и не было найдено, и проблема поиска доказательства теоремы оставалась нерешенной в течение столетий. Доказательство было наконец найдено в 1994 году Эндрю Уайлсом после семи лет работы над ним. Считается, что у Ферма на самом деле не было доказательства, о котором он заявлял. Хотя оригинальная копия, в которой Ферма это написал, сегодня утеряна, сын Ферма отредактировал следующее издание Диофанта, опубликованное в 1670 году. Несмотря на то, что текст в остальном уступает изданию 1621 года, аннотации Ферма, включая «Последнюю теорему», были напечатаны в этой версии.
Ферма был не первым математиком, который решил написать в своих заметках на полях работу Диофанта; византийский ученый Иоанн Хортасмен (1370–1437) написал рядом с той же задачей: «Душа твоя, Диофант, да будет с сатаной из-за трудности твоих других теорем и особенно настоящей теоремы». [16]
Помимо «Арифметики» , Диофант написал еще несколько книг , но до наших дней дошли лишь немногие из них.
Сам Диофант ссылается на труд, состоящий из сборника лемм , называемый «Поризмы» (или «Порисматы» ), но эта книга полностью утеряна. [17]
Хотя «Поризмы» утеряны, мы знаем три леммы, содержащиеся в них, поскольку Диофант ссылается на них в « Арифметике» . Одна лемма утверждает, что разность кубов двух рациональных чисел равна сумме кубов двух других рациональных чисел, т.е. для любых a и b , где a > b , существуют c и d , все положительные и рациональные, такие, что
Известно также, что Диофант писал о многоугольных числах , теме, которая представляла большой интерес для Пифагора и пифагорейцев . Сохранились фрагменты книги, посвященной многоугольным числам. [18]
Книга под названием «Предисловие к геометрическим элементам» традиционно приписывается Герону Александрийскому . Недавно ее изучил Уилбур Кнорр , который предположил, что приписывание Герону неверно, и что истинным автором является Диофант. [19]
Работа Диофанта оказала большое влияние на историю. Издания « Арифметики» оказали глубокое влияние на развитие алгебры в Европе в конце шестнадцатого и в течение XVII и XVIII веков. Диофант и его работы также оказали влияние на арабскую математику и пользовались большой известностью среди арабских математиков. Работа Диофанта создала основу для работы по алгебре, и фактически большая часть передовой математики основана на алгебре. [20] Насколько он повлиял на Индию, является предметом споров.
Диофанта считают «отцом алгебры» из-за его вклада в теорию чисел, математические обозначения и самого раннего известного использования синкопированной записи в его серии книг «Арифметика» . [2] Однако это обычно оспаривается, поскольку Аль-Хорезми также носил титул «отца алгебры», тем не менее, оба математика проложили путь для современной алгебры.
Сегодня диофантов анализ — это область изучения, где ищутся целочисленные решения для уравнений, а диофантовы уравнения — это полиномиальные уравнения с целыми коэффициентами, для которых ищутся только целочисленные решения. Обычно довольно сложно сказать, разрешимо ли данное диофантово уравнение. Большинство задач в «Арифметике» приводят к квадратным уравнениям . Диофант рассматривал 3 различных типа квадратных уравнений: ax 2 + bx = c , ax 2 = bx + c и ax 2 + c = bx . Причина, по которой у Диофанта было три случая, в то время как сегодня у нас есть только один случай, заключается в том, что у него не было понятия для нуля, и он избегал отрицательных коэффициентов, считая заданные числа a , b , c положительными в каждом из трех случаев, указанных выше. Диофант всегда был удовлетворен рациональным решением и не требовал целого числа, что означает, что он принимал дроби в качестве решений своих задач. Диофант считал отрицательные или иррациональные решения с квадратным корнем «бесполезными», «бессмысленными» и даже «абсурдными». Приведем один конкретный пример: он называет уравнение 4 = 4 x + 20 «абсурдным», потому что оно привело бы к отрицательному значению x . Он искал только одно решение в квадратном уравнении. Нет никаких доказательств того, что Диофант вообще осознавал, что у квадратного уравнения может быть два решения. Он также рассматривал одновременные квадратные уравнения.
Диофант сделал важные успехи в математической нотации, став первым известным человеком, использовавшим алгебраическую нотацию и символику. До него все полностью записывали уравнения. Диофант ввел алгебраическую символику, которая использовала сокращенную нотацию для часто встречающихся операций и сокращение для неизвестного и для степеней неизвестного. Историк математики Курт Фогель утверждает: [21]
Символизм, впервые введенный Диофантом и, несомненно, изобретенный им самим, предоставил краткое и легко понимаемое средство выражения уравнения... Поскольку для слова «равно» также используется сокращение, Диофант сделал фундаментальный шаг от словесной алгебры к символической алгебре.
Хотя Диофант и добился важных успехов в символике, ему все еще не хватало необходимой нотации для выражения более общих методов. Это привело к тому, что его работа была больше связана с частными проблемами, а не с общими ситуациями. Некоторые ограничения нотации Диофанта заключаются в том, что у него была нотация только для одного неизвестного, и когда проблемы включали более одного неизвестного, Диофант был вынужден выражать словами «первое неизвестное», «второе неизвестное» и т. д. У него также не было символа для общего числа n . Где мы бы написали 12 + 6 н/н 2 − 3 , Диофанту приходится прибегать к конструкциям вроде: «...шестеричное число, умноженное на двенадцать, которое делится на разность, на которую квадрат числа превышает три». Алгебре еще предстояло пройти долгий путь, прежде чем можно было записывать и решать лаконично самые общие проблемы.
Диофант (жил
около
270-280 гг. н. э.)
Греческий математик, который, решая линейные математические задачи, разработал раннюю форму алгебры.
{{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )В начале этого периода, также известного как Поздний Александрийский век, мы находим ведущего греческого алгебраиста Диофанта Александрийского, а ближе к его концу появился последний значительный греческий геометр Папп Александрийский.
Некоторое расширение сферы использования символов произошло в трудах греческого математика третьего века Диофанта Александрийского, но присутствовал тот же недостаток, что и у аккадцев.
«Но что мы действительно хотим знать, так это в какой степени александрийские математики периода с первого по пятый века нашей эры были греками. Конечно, все они писали на греческом языке и были частью греческого интеллектуального сообщества Александрии. И большинство современных исследований приходят к выводу, что греческое сообщество сосуществовало [...] Так должны ли мы предполагать, что Птолемей и Диофант, Папп и Гипатия были этническими греками, что их предки приехали из Греции в какой-то момент в прошлом, но оставались фактически изолированными от египтян? Конечно, невозможно ответить на этот вопрос окончательно. Но исследования папирусов, датируемых первыми веками нашей эры, показывают, что между греческими и египетскими общинами имело место значительное количество смешанных браков [...] И известно, что греческие брачные контракты все больше напоминали египетские. Кроме того, даже с момента основания Александрии небольшое количество египтян было допущено к привилегированным классам в городе для выполнения многочисленных гражданских ролей. Конечно, в таких случаях египтянам было необходимо «эллинизироваться», перенять греческие привычки и греческий язык. Учитывая, что упомянутые здесь александрийские математики действовали несколько сотен лет после основания города, представляется по крайней мере столь же возможным, что они были этническими египтянами, как и то, что они оставались этническими греками. В любом случае, неразумно изображать их с чисто европейскими чертами, когда не существует никаких физических описаний».
«Диофант, скорее всего, был эллинизированным вавилонянином».
СМИ, связанные с Диофантом, на Викискладе?
