Распределительная категория

В математике категория является дистрибутивной, если она имеет конечные произведения и конечные копроизведения и такая, что для любого выбора объектов каноническое отображение ${\displaystyle A,B,C}$

${\displaystyle [{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{1},{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{2}]:A\!\times \!B\,+A\!\times \!C\to A\!\times \!(B+C)}$

является изоморфизмом , и для всех объектов каноническое отображение является изоморфизмом (где 0 обозначает исходный объект ). Эквивалентно, если для каждого объекта эндофунктор , определенный как , сохраняет копроизведения с точностью до изоморфизмов . ^[1] Из этого следует, что и вышеупомянутые канонические отображения равны для каждого выбора объектов. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 0\to A\times 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\times -}$ ${\displaystyle B\mapsto A\times B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

В частности, если функтор имеет правый сопряженный (т. е. если категория декартово замкнута ), он обязательно сохраняет все копределы , и, таким образом, любая декартово замкнутая категория с конечными копроизведениями (т. е. любая бикартово замкнутая категория ) является дистрибутивной. ${\displaystyle A\times -}$

Пример

Категория множеств дистрибутивна. Пусть A , B и C — множества . Тогда

${\displaystyle {\begin{aligned}A\times (B\amalg C)&=\{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in B\amalg C\}\\&\cong \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in B\}\amalg \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in C\}\\&=(A\times B)\amalg (A\times C)\end{aligned}}}$

где обозначает копроизведение в Set , а именно дизъюнктное объединение , а обозначает биекцию . В случае, когда A , B , и C являются конечными множествами , этот результат отражает дистрибутивное свойство : каждое из вышеуказанных множеств имеет мощность . ${\displaystyle \amalg }$ ${\displaystyle \cong }$ ${\displaystyle |A|\cdot (|B|+|C|)=|A|\cdot |B|+|A|\cdot |C|}$

Категории Grp и Ab не являются распределительными, хотя у них есть как продукты, так и сопутствующие продукты.

Еще более простая категория, которая имеет как продукты, так и копродукты, но не является дистрибутивной, — это категория точечных множеств . ^[2]

Ссылки

1. Тейлор, Пол (1999). Практические основы математики . Cambridge University Press. стр. 275.
2. FW Lawvere; Stephen Hoel Schanuel (2009). Концептуальная математика: первое введение в категории (2-е изд.). Cambridge University Press. С. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.

Дальнейшее чтение

• Кокетт, Дж. Р. Б. (1993). «Введение в дистрибутивные категории». Математические структуры в информатике . 3 (3): 277–307. doi : 10.1017/S0960129500000232 .
• Карбони, Аурелио (1993). «Введение в экстенсивные и дистрибутивные категории». Журнал чистой и прикладной алгебры . 84 (2): 145–158. doi : 10.1016/0022-4049(93)90035-R .