Траектория

Путь движущегося объекта

Иллюстрация, показывающая направленную траекторию пули, выпущенной по цели, расположенной вверх по склону.

Траектория или путь полета — это путь, по которому движется объект с массой в пространстве как функция времени. В классической механике траектория определяется гамильтоновой механикой через канонические координаты ; следовательно, полная траектория определяется положением и импульсом одновременно.

Масса может быть снарядом или спутником . ^[1] Например, это может быть орбита — путь планеты , астероида или кометы , движущейся вокруг центральной массы .

В теории управления траектория — это упорядоченный по времени набор состояний динамической системы ( см., например, отображение Пуанкаре ). В дискретной математике траектория — это последовательность значений, вычисляемых путем итерационного применения отображения к элементу его источника. ${\displaystyle (f^{k}(x))_{k\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$

Физика траекторий

Знакомым примером траектории является путь снаряда, такого как брошенный мяч или камень. В значительно упрощенной модели объект движется только под воздействием однородного гравитационного силового поля . Это может быть хорошим приближением для камня, брошенного на короткие расстояния, например, на поверхность Луны . В этом простом приближении траектория принимает форму параболы . Обычно при определении траекторий может потребоваться учет неравномерных гравитационных сил и сопротивления воздуха ( лобовое сопротивление и аэродинамика ). Это является предметом изучения дисциплины баллистики .

Одним из замечательных достижений ньютоновской механики был вывод законов движения планет Кеплера . В гравитационном поле точечной массы или сферически-симметричной протяженной массы (такой как Солнце ) траектория движущегося объекта представляет собой коническое сечение , обычно эллипс или гиперболу . ^[a] Это согласуется с наблюдаемыми орбитами планет , комет и искусственных космических аппаратов в достаточно хорошем приближении, хотя если комета проходит близко к Солнцу, то на нее также влияют другие силы, такие как солнечный ветер и давление излучения , которые изменяют орбиту и заставляют комету выбрасывать материал в космос.

Теория Ньютона позже развилась в раздел теоретической физики, известный как классическая механика . Она использует математику дифференциального исчисления (которое также было инициировано Ньютоном в юности). На протяжении столетий бесчисленное множество ученых вносили свой вклад в развитие этих двух дисциплин. Классическая механика стала наиболее яркой демонстрацией силы рационального мышления, т. е. разума , как в науке, так и в технике. Она помогает понимать и предсказывать огромный диапазон явлений ; траектории — лишь один из примеров.

Рассмотрим частицу массы , движущуюся в потенциальном поле . С физической точки зрения масса представляет собой инерцию , а поле представляет собой внешние силы определенного вида, известные как «консервативные». При наличии в каждой соответствующей позиции существует способ вывести связанную силу, которая будет действовать в этой позиции, скажем, из гравитации. Однако не все силы можно выразить таким образом. ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$

Движение частицы описывается дифференциальным уравнением второго порядка

${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}{\vec {x}}(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\nabla V({\vec {x}}(t)){\text{ with }}{\vec {x}}=(x,y,z).}$

С правой стороны сила дана в терминах , градиента потенциала, взятого в положениях вдоль траектории. Это математическая форма второго закона движения Ньютона : сила равна массе, умноженной на ускорение, для таких ситуаций. ${\displaystyle \nabla V}$

Примеры

Равномерная гравитация, отсутствие сопротивления и ветра.

Траектории массы, брошенной под углом 70°:
 без сопротивления
 с сопротивлением Стокса
 с ньютоновским сопротивлением

Идеальный случай движения снаряда в однородном гравитационном поле при отсутствии других сил (таких как сопротивление воздуха) был впервые исследован Галилео Галилеем . Пренебрежение действием атмосферы при формировании траектории считалось бы бесполезной гипотезой практически мыслящими исследователями на протяжении всего Средневековья в Европе . Тем не менее, предвидя существование вакуума , что позже было продемонстрировано на Земле его коллегой Эванджелистой Торричелли ^{[ нужна цитата ]} , Галилей смог положить начало будущей науке механике . ^{[ нужна цитата ]} В условиях, близких к вакууму, как это оказывается, например, на Луне , его упрощенная параболическая траектория оказывается по сути верной.

В последующем анализе мы выводим уравнение движения снаряда, измеренное из инерциальной системы отсчета, покоящейся относительно земли. С системой связана правая система координат с началом в точке запуска снаряда. Ось - касается земли, а ось перпендикулярна ей (параллельна линиям гравитационного поля). Пусть будет ускорением свободного падения . Относительно ровной местности пусть начальная горизонтальная скорость будет , а начальная вертикальная скорость будет . Также будет показано, что дальность равна , а максимальная высота равна . Максимальная дальность для данной начальной скорости получается, когда , т. е. начальный угол равен 45 . Эта дальность равна , а максимальная высота при максимальной дальности равна . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle v_{h}=v\cos(\theta )}$ ${\displaystyle v_{v}=v\sin(\theta )}$ ${\displaystyle 2v_{h}v_{v}/g}$ ${\displaystyle v_{v}^{2}/2g}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v_{h}=v_{v}}$ ${\displaystyle ^{\circ }}$ ${\displaystyle v^{2}/g}$ ${\displaystyle v^{2}/(4g)}$

Вывод уравнения движения

Предположим, что движение снаряда измеряется из системы свободного падения , которая находится в точке ( x , y ) = (0,0) при  t  = 0. Уравнение движения снаряда в этой системе (по принципу эквивалентности ) будет иметь вид . Координаты этой системы свободного падения относительно нашей инерциальной системы будут иметь вид . То есть . ${\displaystyle y=x\tan(\theta )}$ ${\displaystyle y=-gt^{2}/2}$ ${\displaystyle y=-g(x/v_{h})^{2}/2}$

Теперь, возвращаясь к инерциальной системе отсчета, координаты снаряда становятся следующими: ${\displaystyle y=x\tan(\theta )-g(x/v_{h})^{2}/2}$

${\displaystyle y=-{g\sec ^{2}\theta \over 2v_{0}^{2}}x^{2}+x\tan \theta ,}$

(где v ₀ — начальная скорость, — угол подъема, а g — ускорение свободного падения). ${\displaystyle \theta }$

Диапазон и высота

Траектории снарядов, запущенных под разными углами возвышения, но с одинаковой скоростью 10 м/с в вакууме и однородном нисходящем гравитационном поле 10 м/с2 ^. Точки расположены с интервалом 0,05 с, а длина их хвостов линейно пропорциональна их скорости. t = время с момента запуска, T = время полета, R = дальность и H = наивысшая точка траектории (указана стрелками).

Диапазон , R , — это наибольшее расстояние, которое объект проходит вдоль оси x в секторе I. Начальная скорость , v _i , — это скорость, с которой указанный объект запускается из точки отсчета. Начальный угол , θ _i , — это угол, под которым указанный объект отпускается. g — это соответствующее гравитационное притяжение к объекту в нуль-среде.

${\displaystyle R={v_{i}^{2}\sin 2\theta _{i} \over g}}$

Высота h — это наибольшая параболическая высота, которую достигает указанный объект в пределах своей траектории .

${\displaystyle h={v_{i}^{2}\sin ^{2}\theta _{i} \over 2g}}$

Угол возвышения

Пример, показывающий, как рассчитать траекторию полета пули

По углу возвышения и начальной скорости : ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle v_{h}=v\cos \theta ,\quad v_{v}=v\sin \theta \;}$

давая диапазон как

${\displaystyle R=2v^{2}\cos(\theta )\sin(\theta )/g=v^{2}\sin(2\theta )/g\,.}$

Это уравнение можно переформулировать, чтобы найти угол для требуемого диапазона.

${\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}\left({\frac {gR}{v^{2}}}\right)}$(Уравнение II: угол вылета снаряда)

Обратите внимание, что функция синуса такова, что для заданного диапазона существует два решения . Угол, дающий максимальный диапазон, можно найти, рассмотрев производную или по отношению к и установив ее в ноль. ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle d_{h}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\mathrm {d} R \over \mathrm {d} \theta }={2v^{2} \over g}\cos(2\theta )=0}$

которая имеет нетривиальное решение при , или . Максимальный диапазон тогда . При этом угле , поэтому максимальная полученная высота . ${\displaystyle 2\theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$ ${\displaystyle R_{\max }=v^{2}/g\,}$ ${\displaystyle \sin(\pi /2)=1}$ ${\displaystyle {v^{2} \over 4g}}$

Чтобы найти угол, дающий максимальную высоту для заданной скорости, вычислите производную максимальной высоты по , то есть которая равна нулю при . Таким образом, максимальная высота получается, когда снаряд выстреливается вертикально вверх. ${\displaystyle H=v^{2}\sin ^{2}(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\mathrm {d} H \over \mathrm {d} \theta }=v^{2}2\cos(\theta )\sin(\theta )/(2g)}$ ${\displaystyle \theta =\pi /2=90^{\circ }}$ ${\displaystyle H_{\mathrm {max} }={v^{2} \over 2g}}$

Орбитальные объекты

Если вместо равномерной направленной вниз силы тяготения мы рассмотрим два тела , вращающихся по орбите с взаимным тяготением между ними, мы получим законы Кеплера для движения планет . Вывод этих законов был одной из главных работ Исаака Ньютона и во многом мотивировал развитие дифференциального исчисления .

Ловля мячей

Если снаряд, такой как бейсбольный или крикетный мяч, летит по параболической траектории с незначительным сопротивлением воздуха, и если игрок расположен так, чтобы поймать его по мере его падения, он видит, что угол его подъема непрерывно увеличивается на протяжении всего полета. Тангенс угла подъема пропорционален времени с момента, когда мяч был отправлен в воздух, обычно ударом биты. Даже когда мяч действительно опускается, ближе к концу полета, его угол подъема, видимый игроком, продолжает увеличиваться. Поэтому игрок видит его так, как будто он поднимается вертикально с постоянной скоростью. Нахождение места, из которого мяч, как кажется, неуклонно поднимается, помогает игроку правильно расположиться, чтобы сделать ловлю. Если он находится слишком близко к бэтсмену, который ударил по мячу, будет казаться, что он поднимается с ускорением. Если он находится слишком далеко от бэтсмена, будет казаться, что он быстро замедляется, а затем опускается.

Примечания

1. Теоретически возможно, что орбита представляет собой радиальную прямую линию, окружность или параболу. Это предельные случаи, которые имеют нулевую вероятность возникновения в реальности.

Смотрите также

• Траектория кормового пересечения
• Смещение (геометрия)
• Галилеевская инвариантность
• Орбита (динамика)
• Орбита (теория групп)
• Орбитальная траектория
• Фугоид
• Планетарная орбита
• Участок свиной отбивной
• Движение снаряда
• Дальность полета снаряда
• Твёрдое тело
• Мировая линия

Ссылки

1. Мета, Рохит. «11». Принципы физики . стр. 378.

Внешние ссылки

• Апплет Flash-движения снаряда. Архивировано 14 сентября 2008 г. на Wayback Machine :)
• Калькулятор траектории
• Интерактивное моделирование движения снаряда
• Projectile Lab, симулятор траектории JavaScript
• Движение параболического снаряда: стрельба безобидным транквилизатором в падающую обезьяну Роберто Кастилья-Мелендес, Роксана Рамирес-Эррера и Хосе Луис Гомес-Муньос, Демонстрационный проект Вольфрама .
• Траектория, ScienceWorld.
• Моделирование движения снаряда на Java с сопротивлением воздуха первого порядка. Архивировано 3 июля 2012 г. на Wayback Machine
• Моделирование движения снаряда на Java; решения по нацеливанию, парабола безопасности.