Предельная норма замещения

Rate at which a consumer can replace one good with another while maintaining the same utility

В экономике предельная норма замещения ( MRS ) — это норма, по которой потребитель может отказаться от некоторого количества одного товара в обмен на другой товар, сохраняя тот же уровень полезности . При равновесных уровнях потребления (при отсутствии внешних эффектов) предельные нормы замещения идентичны. Предельная норма замещения — один из трех факторов предельной производительности, остальные — предельные нормы трансформации и предельная производительность фактора. ^[1]

Как наклон кривой безразличия

Согласно стандартному предположению неоклассической экономики , что товары и услуги непрерывно делимы, предельные нормы замещения будут одинаковыми независимо от направления обмена и будут соответствовать наклону кривой безразличия (точнее, наклону, умноженному на −1), проходящей через рассматриваемый потребительский набор в этой точке: математически это неявная производная . MRS X для Y — это количество Y, которое потребитель может обменять на одну единицу X локально. MRS различна в каждой точке вдоль кривой безразличия, поэтому важно сохранить локус в определении. Далее, исходя из этого предположения или, в противном случае, исходя из предположения, что полезность количественно определена , предельная норма замещения товара или услуги X товаром или услугой Y (MRS _xy ) также эквивалентна предельной полезности X по сравнению с предельной полезностью Y. Формально,

${\displaystyle MRS_{xy}=-m_{\mathrm {indif} }=-(dy/dx)\,}$

${\displaystyle MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}\,}$

Важно отметить, что при сравнении наборов товаров X и Y, которые обеспечивают постоянную полезность (точки на кривой безразличия ), предельная полезность X измеряется в единицах Y, от которых отказываются.

Например, если MRS _xy  = 2, потребитель откажется от 2 единиц Y, чтобы получить 1 дополнительную единицу X.

При движении вниз по (стандартно выпуклой) кривой безразличия предельная норма замещения уменьшается (измеряемая абсолютным значением наклона кривой безразличия, который уменьшается). Это известно как закон убывающей предельной нормы замещения.

Поскольку кривая безразличия выпукла относительно начала координат, а мы определили MRS как отрицательный наклон кривой безразличия,

${\displaystyle \ MRS_{xy}\geq 0}$

Простой математический анализ

Предположим, что функция потребительской полезности определяется как , где U — потребительская полезность, x и y — товары. Тогда предельная норма замещения может быть вычислена с помощью частичной дифференциации следующим образом. ${\displaystyle U(x,y)}$

Также обратите внимание, что:

${\displaystyle \ MU_{x}=\partial U/\partial x}$

${\displaystyle \ MU_{y}=\partial U/\partial y}$

где — предельная полезность по отношению к товару x , а — предельная полезность по отношению к товару y . ${\displaystyle \ MU_{x}}$ ${\displaystyle \ MU_{y}}$

Взяв полный дифференциал уравнения функции полезности, получаем следующие результаты:

${\displaystyle \ dU=(\partial U/\partial x)dx+(\partial U/\partial y)dy}$, или подставляя сверху,

${\displaystyle \ dU=MU_{x}dx+MU_{y}dy}$, или, без потери общности, полная производная функции полезности по отношению к благу x ,

${\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}{\frac {dx}{dx}}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$, то есть,

${\displaystyle {\frac {dU}{dx}}=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$.

Через любую точку на кривой безразличия dU/dx = 0, поскольку U  =  c , где c — константа. Из приведенного выше уравнения следует, что:

${\displaystyle 0=MU_{x}+MU_{y}{\frac {dy}{dx}}}$, или перестановка

${\displaystyle -{\frac {dy}{dx}}={\frac {MU_{x}}{MU_{y}}}}$

Предельная норма замещения определяется как абсолютное значение наклона кривой безразличия в любом интересующем количестве товарного набора. Это оказывается равным отношению предельных полезностей:

${\displaystyle \ MRS_{xy}=MU_{x}/MU_{y}\,}$.

---

Когда потребители максимизируют полезность относительно бюджетного ограничения, кривая безразличия касается бюджетной линии , следовательно, m представляет собой наклон:

${\displaystyle \ m_{\mathrm {indif} }=m_{\mathrm {budget} }}$

${\displaystyle \ -(MRS_{xy})=-(P_{x}/P_{y})}$

${\displaystyle \ MRS_{xy}=P_{x}/P_{y}}$

Поэтому, когда потребитель выбирает рыночную корзину, максимизирующую полезность, в своей бюджетной строке,

${\displaystyle \ MU_{x}/MU_{y}=P_{x}/P_{y}}$

${\displaystyle \ MU_{x}/P_{x}=MU_{y}/P_{y}}$

Этот важный результат говорит нам, что полезность максимизируется, когда бюджет потребителя распределяется таким образом, что предельная полезность на единицу потраченных денег одинакова для каждого товара. Если бы это равенство не соблюдалось, потребитель мог бы увеличить свою полезность, сократив расходы на товар с более низкой предельной полезностью на единицу денег и увеличив расходы на другой товар. Чтобы уменьшить предельную норму замещения, потребитель должен купить больше товара, предельная полезность которого, по его мнению, должна снизиться (из-за закона убывающей предельной полезности).

Уменьшение предельной нормы замещения

Важный принцип экономической теории заключается в том, что предельная норма замены X на Y уменьшается по мере того, как все больше товара X заменяется товаром Y. Другими словами, по мере того, как у потребителя становится все больше товара X, он готов отказываться от все меньшего количества товара Y.

Это означает, что по мере того, как запасы X у потребителя увеличиваются, а запасы Y уменьшаются, он готов отказываться от все меньшего и меньшего количества Y ради заданного приращения X. Другими словами, предельная норма замещения X на Y падает по мере того, как у потребителя больше X и меньше Y. То, что предельная норма замещения X на Y уменьшается, можно также узнать, проведя касательные в разных точках кривой безразличия.

Использование MRS для определения выпуклости

При анализе функции полезности потребителей с точки зрения определения того, являются ли они выпуклыми или нет. Для горизонта двух товаров мы можем применить быстрый производный тест (взять производную MRS), чтобы определить, являются ли предпочтения наших потребителей выпуклыми. Если производная MRS отрицательна, кривая полезности будет вогнутой вниз, что означает, что она имеет максимум, а затем уменьшается по обе стороны от максимума. Эта кривая полезности может иметь вид, похожий на вид строчной буквы n. Если производная MRS равна 0, кривая полезности будет линейной, наклон будет оставаться постоянным на протяжении всей кривой полезности. Если производная MRS положительна, кривая полезности будет выпуклой вверх, что означает, что она имеет минимум, а затем увеличивается по обе стороны от минимума. Эта кривая полезности может иметь вид, похожий на вид u. Эти утверждения математически показаны ниже.

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}<0{\text{ Non Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}=0{\text{ Weak Convexity of Utility Function}}}$

${\displaystyle \ {\frac {dMRS_{xy}}{dx}}>0{\text{ Strict Convexity of Utility Function}}}$

При наличии более двух переменных требуется использование матрицы Гессе.

Смотрите также

• Маргинальные концепции
• Предельная норма технической замены (та же концепция в сфере производства)
• Кривые безразличия
• Теория потребления
• Выпуклые предпочтения
• Неявная дифференциация
• Экономика труда

Ссылки

1. Дорфман (2008) «Теория предельной производительности»

Адам Хейз. (2021, 31 марта). Внутри предельной нормы замещения. Investopedia. Джерелин, Р. (2017, 30 мая). Убывающая предельная норма замещения | Кривая безразличия | Экономика. Обсуждение экономики

• Кругман, Пол ; Уэллс, Робин (2008). Микроэкономика (2-е изд.). Palgrave. ISBN 978-0-7167-7159-3.
• Pindyck, Robert S. ; Rubinfeld, Daniel L. (2005). Микроэкономика (6-е изд.). Pearson Prentice Hall. ISBN 0-13-008461-1.
• Дорфман, Р. (2008). «Теория предельной производительности». В Palgrave Macmillan (ред.). Новый экономический словарь Palgrave . Лондон: Palgrave Macmillan. стр. 1–5. doi :10.1057/978-1-349-95121-5_988-2. ISBN 978-1-349-95121-5– через SpringerLink.