Кривая безразличия

Концепция в экономике

Пример карты безразличия с тремя представленными кривыми безразличия

В экономике кривая безразличия соединяет точки на графике, представляющие различные количества двух товаров, точки, между которыми потребитель безразличен . То есть любые комбинации двух продуктов, обозначенные кривой, обеспечат потребителю равные уровни полезности, и у потребителя нет предпочтения одной комбинации или набора товаров перед другой комбинацией на той же кривой. Можно также рассматривать каждую точку на кривой безразличия как обеспечивающую один и тот же уровень полезности (удовлетворения) для потребителя. Другими словами, кривая безразличия — это место расположения различных точек, показывающих различные комбинации двух товаров, обеспечивающие равную полезность для потребителя. В таком случае полезность является средством представления предпочтений , а не чем-то, из чего возникают предпочтения. ^[1] Кривые безразличия в основном используются для представления потенциально наблюдаемых моделей спроса для отдельных потребителей по группам товаров. ^[2]

Кривых безразличия бесконечно много: через каждую комбинацию проходит одна. Совокупность (выбранных) кривых безразличия, проиллюстрированных графически, называется картой безразличия . Наклон кривой безразличия называется MRS (предельная норма замещения) и указывает, каким количеством товара Y необходимо пожертвовать, чтобы сохранить постоянную полезность, если товар X увеличивается на одну единицу. Учитывая функцию полезности u(x,y), для расчета MRS мы просто берем частную производную функции u по товару x и делим ее на частную производную функции u по товару y. Если предельная норма замещения уменьшается вдоль кривой безразличия, то есть величина наклона уменьшается или становится менее крутой, то предпочтение является выпуклым.

История

Теория кривых безразличия была разработана Фрэнсисом Исидро Эджвортом , который объяснил в своей книге 1881 года математику, необходимую для их построения; ^[3] Позже Вильфредо Парето был первым автором, который действительно нарисовал эти кривые в своей книге 1906 года. ^{[4] [5]} Теория может быть выведена из теории порядковой полезности Уильяма Стэнли Джевонса , которая утверждает, что люди всегда могут ранжировать любые потребительские наборы в порядке предпочтений. ^[6]

Карта и свойства

Пример того, как кривые безразличия получаются как кривые уровня функции полезности.

График кривых безразличия для нескольких уровней полезности отдельного потребителя называется картой безразличия . Каждая точка, обеспечивающая разные уровни полезности, связана с различными кривыми безразличия, и эти кривые безразличия на карте безразличия подобны контурным линиям на топографическом графике. Каждая точка кривой представляет одну и ту же высоту. Если вы «отойдете» от кривой безразличия, идущей в северо-восточном направлении (при условии, что предельная полезность товара положительна), вы, по сути, взбираетесь на холм полезности. Чем выше вы поднимаетесь, тем выше уровень полезности. Требование ненасыщения означает, что вы никогда не достигнете «вершины» или « точки блаженства » — набора потребления, который предпочтительнее всех остальных.

Кривые безразличия обычно ^{[ расплывчато ]} представляются ^{[ необходимы пояснения ]} следующим образом:

1. Определяется только в неотрицательном квадранте количества товара (т.е. возможность наличия отрицательных количеств любого товара игнорируется).
2. Отрицательный наклон. То есть по мере увеличения количества потребляемого одного товара (X) общее удовлетворение будет увеличиваться ^{[ необходимы разъяснения ]} , если не компенсируется уменьшением количества потребляемого другого товара (Y). Аналогично, исключается насыщение , при котором большее количество одного из благ (или того и другого) в равной степени предпочтительнее отсутствия увеличения. ^{[ необходимо пояснение ]} (Если полезность U = f(x, y) , U в третьем измерении не имеет локального максимума ни для каких значений x и y .) ^{[ необходимо пояснение ]} Отрицательный наклон кривой безразличия отражает предположение о монотонности потребительских предпочтений, порождающее монотонно возрастающие функции полезности, и предположение о ненасыщенности (предельная полезность для всех товаров всегда положительна); Наклоненная вверх кривая безразличия будет означать, что потребителю безразличен набор А и другой набор В, поскольку они лежат на одной и той же кривой безразличия, даже в том случае, когда количество обоих товаров в наборе В выше. Из-за монотонности предпочтений и ненасыщения набор с большим количеством обоих товаров должен быть предпочтительнее набора с меньшим количеством обоих товаров, таким образом, первый набор должен приносить более высокую полезность и лежать на другой кривой безразличия на более высоком уровне полезности. Отрицательный наклон кривой безразличия означает, что предельная норма замещения всегда положительна;
3. Полная , такая, что все точки на кривой безразличия имеют одинаковую предпочтительность и имеют более или менее предпочтительный рейтинг, чем любая другая точка, не лежащая на кривой. Итак, при (2) никакие две кривые не могут пересекаться (в противном случае ненасыщение будет нарушено, поскольку точки пересечения будут иметь равную полезность).
4. Транзитивен по отношению к точкам на различных кривых безразличия. То есть, если каждая точка I ₂ (строго) предпочтительнее каждой точки I ₁ , а каждая точка I ₃ предпочтительнее каждой точки I ₂ , каждая точка I ₃ предпочтительнее каждой точки I ₁ . Отрицательный наклон и транзитивность исключают пересечение кривых безразличия, поскольку прямые линии от начала координат по обе стороны от места их пересечения давали бы противоположные и непереходные ранги предпочтений.
5. (Строго) выпуклая . В случае (2) выпуклые предпочтения ^{( необходимы пояснения )} подразумевают, что кривые безразличия не могут быть вогнутыми относительно начала координат, т.е. они будут либо прямыми линиями, либо выпуклыми по направлению к началу кривой безразличия. В последнем случае, когда потребитель уменьшает потребление одного товара в последовательных единицах, ему требуются последовательно большие дозы другого товара , чтобы сохранить удовлетворение неизменным.

Предположения теории потребительских предпочтений

• Настройки полные . Потребитель ранжировал все доступные альтернативные комбинации товаров с точки зрения удовлетворения, которое они ему приносят.

Предположим, что существуют два потребительских набора A и B , каждый из которых содержит по два товара x и y . Потребитель может однозначно определить, что имеет место одно и только одно из следующих условий:

• A предпочтительнее B , формально записанный как A ^p B ^[7]
• B предпочтительнее A , формально записываемый как B ^p A ^[7]
• A безразличен к B , формально записанному как A ^I B ^[7]

Эта аксиома исключает возможность того, что потребитель не сможет принять решение. ^[8] Она предполагает, что потребитель может провести такое сравнение по отношению к каждому мыслимому набору товаров. ^[7]

• Предпочтения рефлексивны.

Это означает, что если А и Б идентичны во всех отношениях, потребитель признает этот факт и будет безразличен при сравнении А и Б.

• А = Б ⇒ А ^И Б ^[7]

• Предпочтения транзитивны ^{[nb 1]}

• Если A ^p B и B ^p C , то A ^p C . ^[7]
• Также если A ^I B и B ^I C , то A ^I C . ^[7]

Это предположение о непротиворечивости.

• Предпочтения постоянны

• Если A предпочтительнее B и C достаточно близок к B , то A предпочтительнее C.
• А ^п B и C → B ⇒ А ^п C .

«Непрерывный» означает бесконечно делимый — точно так же, как существует бесконечно много чисел от 1 до 2, все связки бесконечно делимы. Это предположение делает кривые безразличия непрерывными.

• Предпочтения демонстрируют сильную монотонность

• Если в A больше x и y, чем в B , то A предпочтительнее B.

Это предположение обычно называют предположением «чем больше, тем лучше».

Альтернативная версия этого предположения требует, чтобы, если A и B имеют одинаковое количество одного товара, но A имеет больше другого товара, то A предпочтительнее B.

Это также подразумевает, что товары скорее хорошие , чем плохие . Примерами плохих товаров могут быть болезни, загрязнение окружающей среды и т. д., потому что мы всегда хотим меньше таких вещей.

• Кривые безразличия демонстрируют уменьшающиеся предельные нормы замещения.

• Предельная норма замещения показывает, каким количеством «у» человек готов пожертвовать, чтобы получить еще одну единицу «х». ^{[ нужны разъяснения ]}
• Это предположение гарантирует, что кривые безразличия гладкие и выпуклые к началу координат.
• Это предположение также подготовило почву для использования методов ограниченной оптимизации, поскольку форма кривой гарантирует, что первая производная отрицательна, а вторая положительна.
• Другое название этого предположения — предположение замещения . Это наиболее важное допущение теории потребления : потребители готовы отказаться или пожертвовать частью одного товара, чтобы получить больше другого. Фундаментальное утверждение заключается в том, что существует максимальная сумма, от которой «потребитель откажется от одного товара, чтобы получить одну единицу другого товара, в таком количестве, которое оставит потребителя безразличным между новой и старой ситуациями» [9] ^. отрицательный наклон кривых безразличия отражает готовность потребителя пойти на компромисс. ^[9]

Приложение

Чтобы максимизировать полезность, домохозяйство должно потреблять на уровне (Qx, Qy). Если предположить, что это так, то можно составить полный график спроса по мере колебаний цены на один товар.

Теория потребления использует кривые безразличия и бюджетные ограничения для построения кривых потребительского спроса . Для одного потребителя это относительно простой процесс. Во-первых, пусть один товар будет примером рынка, например, морковь, а другой будет совокупностью всех других товаров. Бюджетные ограничения представляют собой прямую линию на карте безразличия, показывающую все возможные распределения между двумя товарами; тогда точкой максимальной полезности является точка, в которой кривая безразличия касается бюджетной линии (показано). Это следует из здравого смысла: если рынок ценит товар выше, чем домохозяйство, то домохозяйство продаст его; если рынок оценивает товар ниже, чем домохозяйство, то домохозяйство его купит. Затем процесс продолжается до тех пор, пока предельные нормы замещения рынка и домохозяйства не сравняются. ^[10] Теперь, если цена моркови изменится, а цены на все другие товары останутся постоянными, градиент бюджетной линии также изменится, что приведет к другой точке касания и другому объему спроса. Эти комбинации цены и количества затем можно использовать для построения полной кривой спроса. ^[10] Линия, соединяющая все точки касания между кривой безразличия и бюджетным ограничением , называется путем расширения . ^[11]

Примеры кривых безразличия

• 
  Рисунок 1. Пример карты безразличия с тремя представленными кривыми безразличия.
• 
  Рисунок 2: Три кривые безразличия, где товары X и Y являются идеальными заменителями. Серая линия, перпендикулярная всем кривым, указывает на то, что кривые взаимно параллельны.
• 
  Рисунок 3: Кривые безразличия для идеальных дополнений X и Y. Изгибы кривых коллинеарны .

На рисунке 1 потребитель предпочел бы находиться на I _3, чем на I ₂ , и предпочел бы находиться на I _2, чем на I ₁ , но его не волнует, где он/она находится на данной кривой безразличия. Наклон кривой безразличия (в абсолютном значении), известный экономистам как предельная норма замещения , показывает скорость, с которой потребители готовы отказаться от одного товара в обмен на большее количество другого товара. Для большинства товаров предельная норма замещения не является постоянной, поэтому их кривые безразличия изогнуты. Кривые выпуклы к началу координат, описывая отрицательный эффект замещения . По мере роста цены при фиксированном денежном доходе потребитель ищет менее дорогой заменитель с более низкой кривой безразличия. Эффект замещения усиливается за счет эффекта дохода от снижения реального дохода (Битти-ЛаФранс). Примером функции полезности, которая генерирует кривые безразличия такого типа, является функция Кобба-Дугласа . Отрицательный наклон кривой безразличия отражает готовность потребителя идти на компромисс. ^[9] ${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha },0\leq \alpha \leq 1}$

Если два товара являются идеальными заменителями , то кривые безразличия будут иметь постоянный наклон, поскольку потребитель будет готов переключаться между ними при фиксированном соотношении. Предельная норма замещения между совершенными заменителями также постоянна. Примером функции полезности, которая связана с такими кривыми безразличия, может быть . ${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$

Если два товара идеально дополняют друг друга , то кривые безразличия будут иметь L-образную форму. Примеры идеальных дополнений включают левую обувь по сравнению с правой: потребителю не лучше иметь несколько правых туфель, если у него есть только одна левая туфля - дополнительные правые туфли имеют нулевую предельную полезность без большего количества левых туфель, поэтому наборы товаров различаются только Количество подходящих ботинок, которые они включают в себя - сколько бы их ни было - одинаково предпочтительно. Предельная норма замещения равна нулю или бесконечна. Примером типа функции полезности, которая имеет карту безразличия, подобную приведенной выше, является функция Леонтьева: . ${\displaystyle \scriptstyle U\left(x,y\right)=\min\{\alpha x,\beta y\}}$

Различные формы кривых подразумевают разную реакцию на изменение цены, как показывает анализ спроса в теории потребителей . Результаты будут указаны только здесь. Изменение ценовой бюджетной линии, которое удерживало потребителя в равновесии на той же кривой безразличия:

на рис. 1, будет плавно снижать спрос на товар по мере относительного роста цены на этот товар.

на рис. 2, либо не окажет влияния на объем спроса на любой товар (на одном конце бюджетного ограничения ), либо изменит объем спроса с одного конца бюджетного ограничения на другой.

на рис. 3, не окажет никакого влияния на равновесные объемы спроса, поскольку бюджетная линия будет вращаться вокруг угла кривой безразличия. ^{[номер 2]}

Отношения предпочтений и полезность

Теория выбора формально представляет потребителей посредством отношения предпочтения и использует это представление для получения кривых безразличия, показывающих комбинации равного предпочтения для потребителя.

Отношения предпочтений

Позволять

${\displaystyle A\;}$быть набором взаимоисключающих альтернатив, среди которых потребитель может выбирать.

${\displaystyle a\;}$и быть универсальными элементами . ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle A\;}$

На языке приведенного выше примера набор состоит из комбинаций яблок и бананов. Символ представляет собой одну из таких комбинаций, например 1 яблоко и 4 банана, и другую комбинацию, например 2 яблока и 2 банана. ${\displaystyle A\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$

Отношение предпочтения, обозначаемое , представляет собой бинарное отношение, определенное на множестве . ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle A\;}$

Заявление

${\displaystyle a\succeq b\;}$

описывается как « слабо предпочтительнее ». То есть, по крайней мере, так же хорошо, как (в плане удовлетворения предпочтений). ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$

Заявление

${\displaystyle a\sim b\;}$

описывается как « слабо предпочтительнее и слабо предпочтительнее ». То есть человек безразличен к выбору или , что означает не то, что они нежелательны, а то, что они одинаково хороши для удовлетворения предпочтений. ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$

Заявление

${\displaystyle a\succ b\;}$

описывается как « слабо предпочтительнее , но не слабо предпочтительнее ». Говорят, что « строго предпочтительнее ». ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle b\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle b\;}$

Отношение предпочтения является полным , если все пары можно ранжировать. Отношение является транзитивным, если когда угодно и тогда . ${\displaystyle \succeq }$ ${\displaystyle a,b\;}$ ${\displaystyle a\succeq b\;}$ ${\displaystyle b\succeq c,\;}$ ${\displaystyle a\succeq c\;}$

Для любого элемента соответствующая кривая безразличия состоит из всех элементов, безразличных к . Формально, ${\displaystyle a\in A\;}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}}$ ${\displaystyle A\;}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{a}=\{b\in A:b\sim a\}}$.

Формальная ссылка на теорию полезности

В приведенном выше примере элемент набора состоит из двух чисел: количества яблок (назовите его) и количества бананов (назовите его). ${\displaystyle a\;}$ ${\displaystyle A\;}$ ${\displaystyle x,\;}$ ${\displaystyle y.\;}$

В теории полезности функция полезности агента — это функция, которая ранжирует все пары потребительских наборов по порядку предпочтения ( полноты ) так, что любой набор из трех или более наборов образует транзитивное отношение . Это означает, что для каждого набора существует уникальное отношение , представляющее отношение полезности (удовлетворения), связанное с . Это отношение называется функцией полезности . Диапазон функции представляет собой набор действительных чисел . Фактические значения функции не имеют значения. Только ранжирование этих ценностей имеет содержание для теории. Точнее, если , то расслоение описывается как минимум не хуже, чем расслоение . Если , набор описывается как строго предпочтительный по сравнению с набором . ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)\to U\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle U(x,y)\geq U(x',y')}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$ ${\displaystyle U\left(x,y\right)>U\left(x',y'\right)}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x',y'\right)}$

Рассмотрим конкретный пакет и возьмем полную производную относительно этой точки: ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$

${\displaystyle dU\left(x_{0},y_{0}\right)=U_{1}\left(x_{0},y_{0}\right)dx+U_{2}\left(x_{0},y_{0}\right)dy}$

или, не ограничивая общности,

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=U_{1}(x_{0},y_{0}).1+U_{2}(x_{0},y_{0}){\frac {dy}{dx}}}$ (уравнение 1)

где - частная производная по первому аргументу, оцененная в . (Аналогично для ) ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle U\left(x,y\right)}$ ${\displaystyle \left(x,y\right)}$ ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right).}$

Кривая безразличия через должна обеспечивать в каждом наборе кривой тот же уровень полезности, что и в наборе . То есть, когда предпочтения представлены функцией полезности, кривые безразличия являются кривыми уровня функции полезности. Следовательно, если нужно изменить количество на , не отклоняясь от кривой безразличия, необходимо также изменить количество на такую ​​величину , чтобы в конечном итоге не произошло изменения U : ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle dx\,}$ ${\displaystyle y\,}$ ${\displaystyle dy\,}$

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0}$, или подставив 0 в (уравнение 1) выше, чтобы найти dy/dx :

${\displaystyle {\frac {dU\left(x_{0},y_{0}\right)}{dx}}=0\Leftrightarrow {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {U_{1}(x_{0},y_{0})}{U_{2}(x_{0},y_{0})}}}$.

Таким образом, отношение предельных полезностей дает абсолютное значение наклона кривой безразличия в точке . Это соотношение называется предельной нормой замещения между и . ${\displaystyle \left(x_{0},y_{0}\right)}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle y\,}$

Примеры

Линейная полезность

Если функция полезности имеет вид , то предельная полезность равна и предельная полезность равна . Таким образом, наклон кривой безразличия равен ${\displaystyle U\left(x,y\right)=\alpha x+\beta y}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)=\alpha }$ ${\displaystyle y\,}$ ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right)=\beta }$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {\beta }{\alpha }}.}$

Обратите внимание, что наклон не зависит от или : кривые безразличия представляют собой прямые линии. ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle y\,}$

Утилита Кобба – Дугласа

Класс функций полезности, известный как функции полезности Кобба-Дугласа, очень часто используется в экономике по двум причинам:

1. Они отражают предпочтения «хорошего поведения», такие как «чем больше, тем лучше» и предпочтение разнообразию.

2. Они очень гибки и могут быть легко адаптированы к реальным данным. Если функция полезности имеет вид, предельная полезность равна и предельная полезность равна .Где . Тогда наклон кривой безразличия и, следовательно, отрицательная предельная норма замещения равны ${\displaystyle U\left(x,y\right)=x^{\alpha }y^{1-\alpha }}$ ${\displaystyle x\,}$ ${\displaystyle U_{1}\left(x,y\right)=\alpha \left(x/y\right)^{\alpha -1}}$ ${\displaystyle y\,}$ ${\displaystyle U_{2}\left(x,y\right)=(1-\alpha )\left(x/y\right)^{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha <1}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right).}$

Утилита CES

Общая форма CES ( постоянная эластичность замещения ):

${\displaystyle U(x,y)=\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{1/\rho }}$

где и . (Полезность Кобба-Дугласа представляет собой частный случай полезности CES с .) Предельная полезность определяется выражением ${\displaystyle \alpha \in (0,1)}$ ${\displaystyle \rho \leq 1}$ ${\displaystyle \rho \rightarrow 0\,}$

${\displaystyle U_{1}(x,y)=\alpha \left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}x^{\rho -1}}$

и

${\displaystyle U_{2}(x,y)=(1-\alpha )\left(\alpha x^{\rho }+(1-\alpha )y^{\rho }\right)^{\left(1/\rho \right)-1}y^{\rho -1}.}$

Следовательно, по кривой безразличия

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-{\frac {1-\alpha }{\alpha }}\left({\frac {x}{y}}\right)^{1-\rho }.}$

Эти примеры могут быть полезны для моделирования индивидуального или совокупного спроса.

Биология

Кривая безразличия, используемая в биологии , представляет собой модель того, как животные «решают», выполнять ли определенное поведение, на основе изменений двух переменных, интенсивность которых может увеличиваться: одна вдоль оси X, а другая — вдоль оси Y. . Например, ось X может измерять количество доступной еды, а ось Y измеряет риск, связанный с ее получением. Кривая безразличия рисуется для прогнозирования поведения животного при различных уровнях риска и доступности пищи.

Критика

Кривые безразличия наследуют критику, направленную на полезность в более общем плане.

Герберт Ховенкамп (1991) ^[13] утверждал, что наличие эффекта владения имеет значительные последствия для права и экономики , особенно в отношении экономики благосостояния . Он утверждает, что наличие эффекта владения указывает на то, что у человека нет кривой безразличия (см., однако, Hanemann, 1991 ^[14] ), что делает неоклассические инструменты анализа благосостояния бесполезными, и приходит к выводу, что вместо этого суды должны использовать WTA в качестве меры стоимости. Фишель (1995) ^[15] , однако, выдвигает контраргумент, согласно которому использование WTA в качестве меры стоимости будет сдерживать развитие национальной инфраструктуры и экономический рост .

Австрийский экономист Мюррей Ротбард раскритиковал кривую безразличия как «никогда по определению не проявляющуюся в действии, в реальном обмене и, следовательно, непознаваемую и объективно бессмысленную». ^[16]

Смотрите также

• Бюджетное ограничение
• Кривая безразличия сообщества
• Теория потребителя
• Выпуклые предпочтения
• Эффект вклада
• Кривая уровня
• Микроэкономика
• Рациональность
• Заменить хорошо
• Граница полезности и возможностей

Примечания

1. Транзитивности слабых предпочтений достаточно для большинства анализов кривой безразличия: если A слабо предпочтительнее B , что означает, что потребителю нравится A по крайней мере так же, как B , а B слабо предпочтительнее C , то A слабо предпочтительнее С. _ ^[8]
2. Кривые безразличия можно использовать для построения кривой индивидуального спроса. Однако предположения теории потребительских предпочтений не гарантируют, что кривая спроса будет иметь отрицательный наклон. ^[12]

Рекомендации

1. Геанакоплос, Джон (1987). «Модель общего равновесия Эрроу-Дебре». Нью-Пэлгрейв: Экономический словарь . Том. 1. С. 116–124 [с. 117].
2. Бём, Волкер; Халлер, Ганс (1987). «Теория спроса». Нью-Пэлгрейв: Экономический словарь . Том. 1. стр. 785–792 [с. 785].
3. Фрэнсис Исидро Эджворт (1881). Математическая экстрасенсорика: очерк применения математики к моральным наукам. Лондон: К. Кеган Пол и компания.
4. Вильфредо Парето (1919). Manuale di Economia Politica — con una Introduzione alla Scienza Sociale [ Руководство по политической экономии ]. Пиккола Библиотека Научная. Том. 13. Милан: Societa Editrice Libraria.
5. «Кривые безразличия | Поликономика» . Проверено 8 декабря 2018 г.
6. «Уильям Стэнли Джевонс - Поликономика». www.policonomics.com . Проверено 23 марта 2018 г.
7. Бингер; Хоффман (1998). Микроэкономика с исчислением (2-е изд.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 109–117. ISBN 0-321-01225-9.
8. Перлофф, Джеффри М. (2008). Микроэкономика: теория и приложения с исчислением . Бостон: Аддисон-Уэсли. п. 62. ИСБН 978-0-321-27794-7.
9. Зильберберг; Суен (2000). Структура экономики: математический анализ (3-е изд.). Бостон: МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-118136-9.
10. Липси, Ричард Г. (1975). Введение в позитивную экономику (Четвертое изд.). Вайденфельд и Николсон . стр. 182–186. ISBN 0-297-76899-9.
11. Сальваторе, Доминик (1989). Очерк теории и проблем экономики управления Шаума . МакГроу-Хилл. ISBN 0-07-054513-8.
12. Бингер; Хоффман (1998). Микроэкономика с исчислением (2-е изд.). Чтение: Аддисон-Уэсли. стр. 141–143. ISBN 0-321-01225-9.
13. Ховенкамп, Герберт (1991). «Правовая политика и эффект целевого капитала». Журнал юридических исследований . 20 (2): 225. дои : 10.1086/467886. S2CID  155051169.
14. Ханеманн, В. Майкл (1991). «Готовность платить и готовность принимать: насколько они могут различаться? Ответ». Американский экономический обзор . 81 (3): 635–647. дои : 10.1257/000282803321455449. JSTOR  2006525.
15. Фишель, Уильям А. (1995). «Несоответствие между предложением и просьбой и справедливая компенсация за выручку: перспектива конституционного выбора». Международное обозрение права и экономики . 15 (2): 187–203. дои : 10.1016/0144-8188(94)00005-F .
16. Ротбард, Мюррей (1998). Этика свободы . Издательство Нью-Йоркского университета. п. 242. ИСБН 9780814775592.

дальнейшее чтение

• Битти, Брюс Р.; ЛаФранс, Джеффри Т. (2006). «Закон спроса против убывающей предельной полезности» (PDF) . Прикладные экономические перспективы и политика . 28 (2): 263–271. дои : 10.1111/j.1467-9353.2006.00286.x. S2CID  154152189.
• Комлос, Дж (2015). «Кривые поведенческого безразличия» (PDF) . Австралазийский журнал экономического образования . 2 : 1–11.

Внешние ссылки

• Анатомия функций полезности типа Кобба – Дугласа в 3D
• Анатомия служебных функций типа CES в 3D