Нормальная форма Жордана

Вид матрицы с указанием ее собственных значений и их алгебраических кратностей

Пример матрицы в жордановой нормальной форме. Все не показанные элементы матрицы равны нулю. Выделенные квадраты известны как «жордановы блоки». Каждый жорданов блок содержит одно число лямбда на своей главной диагонали и единицы над главной диагональю. Лямбды являются собственными значениями матрицы; они не обязательно должны быть различными.

В линейной алгебре нормальная форма Жордана , также известная как каноническая форма Жордана , ^{[1] [2]} — это верхняя треугольная матрица особого вида, называемая матрицей Жордана, представляющая линейный оператор в конечномерном векторном пространстве относительно некоторого базиса . Такая матрица имеет каждый ненулевой внедиагональный элемент, равный 1, непосредственно над главной диагональю (на супердиагонали ), и с идентичными диагональными элементами слева и под ними.

Пусть V — векторное пространство над полем K. Тогда базис, относительно которого матрица имеет требуемый вид, существует тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы лежат в K , или, что эквивалентно, если характеристический многочлен оператора разлагается на линейные множители над K. Это условие всегда выполняется, если K алгебраически замкнуто ( например, если это поле комплексных чисел ). Диагональные элементы нормальной формы являются собственными значениями (оператора), а число раз, которое встречается каждое собственное значение, называется алгебраической кратностью собственного значения. ^{[3] [4] [5]}

Если оператор изначально задан квадратной матрицей M , то его жорданова нормальная форма также называется жордановой нормальной формой M . Любая квадратная матрица имеет жорданову нормальную форму, если поле коэффициентов расширено до поля, содержащего все собственные значения матрицы. Несмотря на свое название, нормальная форма для заданного M не является полностью уникальной, так как это блочно-диагональная матрица, образованная жордановыми блоками , порядок которых не фиксирован; принято группировать блоки для одного и того же собственного значения вместе, но никакого порядка не накладывается ни среди собственных значений, ни среди блоков для заданного собственного значения, хотя последнее может быть, например, упорядочено по слабому убыванию размера. ^{[3] [4] [5]}

Разложение Жордана –Шевалле особенно просто относительно базиса, для которого оператор принимает свою жорданову нормальную форму. Диагональная форма для диагонализируемых матриц, например, нормальных матриц , является частным случаем жордановой нормальной формы. ^{[6] [7] [8]}

Нормальная форма Жордана названа в честь Камиля Жордана , который впервые сформулировал теорему разложения Жордана в 1870 году. ^[9]

Обзор

Обозначение

В некоторых учебниках они находятся на поддиагонали ; то есть, сразу под главной диагональю, а не на супердиагонали. Собственные значения все еще находятся на главной диагонали. ^{[10] [11]}

Мотивация

Матрица A размера n × n диагонализируема тогда и только тогда, когда сумма размерностей собственных подпространств равна n . Или, что эквивалентно, тогда и только тогда, когда A имеет n линейно независимых собственных векторов . Не все матрицы диагонализируемы ; матрицы, которые не диагонализируемы, называются дефектными матрицами. Рассмотрим следующую матрицу:

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{*{20}{r}}5&4&2&1\\[2pt]0&1&-1&-1\\[2pt]-1&-1&3&0\\[2pt]1&1&-1&2\end{array}}\right].}$

Включая кратность, собственные значения A равны λ = 1, 2, 4, 4. Размерность собственного пространства, соответствующего собственному значению 4, равна 1 (а не 2), поэтому A не диагонализуема. Однако существует обратимая матрица P, такая что J = P ⁻¹ AP , где

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\[2pt]0&2&0&0\\[2pt]0&0&4&1\\[2pt]0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Матрица почти диагональна. Это нормальная форма Жордана для A. Раздел Пример ниже заполняет детали вычисления. ${\displaystyle J}$

Комплексные матрицы

В общем случае квадратная комплексная матрица A похожа на блочно-диагональную матрицу

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}J_{1}&\;&\;\\\;&\ddots &\;\\\;&\;&J_{p}\end{bmatrix}}}$

где каждый блок J _i представляет собой квадратную матрицу вида

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}\lambda _{i}&1&\;&\;\\\;&\lambda _{i}&\ddots &\;\\\;&\;&\ddots &1\\\;&\;&\;&\lambda _{i}\end{bmatrix}}.}$

Итак, существует обратимая матрица P такая, что P ⁻¹ AP = J такова, что единственные ненулевые элементы J находятся на диагонали и наддиагонали. J называется жордановой нормальной формой матрицы A. Каждый J _i называется жордановым блоком матрицы A. В данном жордановом блоке каждый элемент наддиагонали равен 1.

Предполагая этот результат, мы можем вывести следующие свойства:

• С учетом кратностей собственные значения J , а следовательно, и A , являются диагональными элементами.
• Если задано собственное значение λ _i , его геометрическая кратность равна размерности ker( A − λ _i I ), где I — единичная матрица , а это число жордановых блоков, соответствующих λ _i . ^[12]
• Сумма размеров всех жордановых блоков, соответствующих собственному значению λ _i, является его алгебраической кратностью . ^[12]
• A диагонализируема тогда и только тогда, когда для каждого собственного значения λ матрицы A ее геометрическая и алгебраическая кратности совпадают. В частности, блоки Жордана в этом случае являются матрицами 1 × 1; то есть скалярами.
• Блок Жордана, соответствующий λ , имеет вид λI  +  N , где N — нильпотентная матрица , определяемая как N _ij = δ _{i , j −1} (где δ — символ Кронекера ). Нильпотентность N может быть использована при вычислении f ( A ), где f — комплексная аналитическая функция. Например, в принципе форма Жордана может дать замкнутое выражение для экспоненты exp( A ).
• Число жордановых блоков, соответствующих λ _i размера не менее j, равно dim ker( A  −  λ _i I ) ^j  − dim ker( A  −  λ _i I ) ^{j −1} . Таким образом, число жордановых блоков размера j равно

  ${\displaystyle 2\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j+1}-\dim \ker(A-\lambda _{i}I)^{j-1}}$

• Если задано собственное значение λ _i , его кратность в минимальном многочлене равна размеру его наибольшего жорданова блока.

Пример

Рассмотрим матрицу из примера в предыдущем разделе. Жорданова нормальная форма получается некоторым преобразованием подобия : ${\displaystyle A}$

${\displaystyle P^{-1}AP=J;}$то есть, ${\displaystyle AP=PJ.}$

Пусть есть векторы-столбцы , , тогда ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\ldots ,4}$

${\displaystyle A{\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&p_{2}&p_{3}&p_{4}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{1}&2p_{2}&4p_{3}&p_{3}+4p_{4}\end{bmatrix}}.}$

Мы видим, что

${\displaystyle (A-1I)p_{1}=0}$

${\displaystyle (A-2I)p_{2}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)p_{4}=p_{3}.}$

Для нас есть , то есть, является собственным вектором , соответствующим собственному значению . Для , умножение обеих сторон на дает ${\displaystyle i=1,2,3}$ ${\displaystyle p_{i}\in \ker(A-\lambda _{i}I)}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle i=4}$ ${\displaystyle (A-4I)}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=(A-4I)p_{3}.}$

Но , так что ${\displaystyle (A-4I)p_{3}=0}$

${\displaystyle (A-4I)^{2}p_{4}=0.}$

Таким образом, ${\displaystyle p_{4}\in \ker(A-4I)^{2}.}$

Векторы, такие как , называются обобщенными собственными векторами A. ${\displaystyle p_{4}}$

Пример: Получение нормальной формы

В этом примере показано, как вычислить нормальную форму Жордана для заданной матрицы.

Рассмотрим матрицу

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}5&4&2&1\\0&1&-1&-1\\-1&-1&3&0\\1&1&-1&2\end{array}}\right]}$

о чем упоминается в начале статьи.

Характеристический многочлен A равен​

${\displaystyle {\begin{aligned}\chi (\lambda )&=\det(\lambda I-A)\\&=\lambda ^{4}-11\lambda ^{3}+42\lambda ^{2}-64\lambda +32\\&=(\lambda -1)(\lambda -2)(\lambda -4)^{2}.\,\end{aligned}}}$

Это показывает, что собственные значения равны 1, 2, 4 и 4, согласно алгебраической кратности. Собственное пространство, соответствующее собственному значению 1, можно найти, решив уравнение Av = λv . Оно охватывается вектором-столбцом v = (−1, 1, 0, 0) ^T . Аналогично, собственное пространство, соответствующее собственному значению 2, охватывается w = (1, −1, 0, 1) ^T . Наконец, собственное пространство, соответствующее собственному значению 4, также является одномерным (хотя это двойное собственное значение) и охватывается x = (1, 0, −1, 1) ^T . Таким образом, геометрическая кратность (то есть размерность собственного пространства данного собственного значения) каждого из трех собственных значений равна единице. Таким образом, два собственных значения, равные 4, соответствуют одному жорданову блоку, а жорданова нормальная форма матрицы A представляет собой прямую сумму

${\displaystyle J=J_{1}(1)\oplus J_{1}(2)\oplus J_{2}(4)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Есть три цепочки Джордана . Две имеют длину один: { v } и { w }, соответствующие собственным значениям 1 и 2 соответственно. Есть одна цепочка длины два, соответствующая собственному значению 4. Чтобы найти эту цепочку, вычислите

${\displaystyle \ker(A-4I)^{2}=\operatorname {span} \,\left\{{\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}},\left[{\begin{array}{r}1\\0\\-1\\1\end{array}}\right]\right\}}$

где I — единичная матрица 4 × 4. Выберите вектор в указанном выше диапазоне, который не входит в ядро ​​A  − 4 I ; например, y = (1,0,0,0) ^T . Теперь ( A  − 4 I ) y = x и ( A  − 4 I ) x = 0, поэтому { y , x } — это цепочка длины два, соответствующая собственному значению 4.

Матрица перехода P, такая что P ⁻¹ AP = J, формируется путем помещения этих векторов рядом друг с другом следующим образом:

${\displaystyle P^{-1}=\left[{\begin{array}{c|c|c|c}v&w&x&y\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\\1&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&1&0\end{array}}\right].}$

Расчет показывает, что уравнение P ⁻¹ AP = J действительно выполняется.

${\displaystyle P^{-1}AP=J={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&4&1\\0&0&0&4\end{bmatrix}}.}$

Если бы мы поменяли порядок, в котором появились цепные векторы, то есть, поменяли бы порядок v , w и { x , y } вместе, то жордановы блоки поменялись бы местами. Однако жордановы формы являются эквивалентными жордановыми формами.

Обобщенные собственные векторы

При наличии собственного значения λ каждый соответствующий жорданов блок порождает жорданову цепочку линейно независимых векторов p _i , i = 1 , ..., b , где b — размер жорданова блока. Генератор или ведущий вектор p _b цепочки является обобщенным собственным вектором, таким что ( A − λ I ) ^b p _b = 0. Вектор p ₁ = ( A − λ I ) ^{b −1} p _b является обычным собственным вектором, соответствующим λ . В общем случае p _i является прообразом p _{i −1} при A − λ I . Таким образом, ведущий вектор порождает цепочку посредством умножения на A − λ I . ^{[13] [2]} Следовательно, утверждение о том, что каждая квадратная матрица A может быть приведена к жордановой нормальной форме, эквивалентно утверждению о том, что базисное векторное пространство имеет базис, состоящий из жордановых цепочек.

Доказательство

Мы даем доказательство по индукции , что любая комплекснозначная квадратная матрица A может быть приведена к жордановой нормальной форме. Поскольку можно показать ^[14], что лежащее в основе векторное пространство является прямой суммой инвариантных подпространств, связанных с собственными значениями, можно предположить, что A имеет только одно собственное значение λ . Случай 1 × 1 тривиален. Пусть A — матрица размера n × n . Диапазон значений A − λ I , обозначаемый как Ran( A − λ I ), является инвариантным подпространством A . Кроме того, поскольку λ является собственным значением A , размерность Ran( A − λ I ), r , строго меньше n , поэтому по индуктивному предположению Ran( A − λ I ) имеет базис { p ₁ , ..., p _r }, состоящий из жордановых цепей.

Далее рассмотрим ядро , то есть подпространство ker( A − λ I ). Если

${\displaystyle \operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)=\{0\},}$

желаемый результат немедленно следует из теоремы о ранге–нуле . (Это было бы так, например, если бы A был эрмитовым .)

В противном случае, если

${\displaystyle Q=\operatorname {Ran} (A-\lambda I)\cap \ker(A-\lambda I)\neq \{0\},}$

пусть размерность Q будет s  ≤  r . Каждый вектор в Q является собственным вектором, поэтому Ran( A  −  λ I ) должен содержать s жордановых цепей, соответствующих s линейно независимым собственным векторам. Поэтому базис { p ₁ , ..., p _r } должен содержать s векторов, скажем { p ₁ , ..., p _s }, которые являются ведущими векторами этих жордановых цепей. Мы можем «расширить цепи», взяв прообразы этих ведущих векторов. (Это ключевой шаг.) Пусть q _i таков, что

${\displaystyle \;(A-\lambda I)q_{i}=p_{i}{\mbox{ for }}i=1,\ldots ,s.}$

Наконец, мы можем выбрать любую основу для

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)/Q}$

и затем подняться до векторов { z ₁ , ..., z _t } в ker( A − λI ). Каждый z _i образует жорданову цепочку длины 1. Нам просто нужно показать, что объединение { p ₁ , ..., p _r }, { z ₁ , ..., z _t } и { q ₁ , ..., q _s } образует базис для векторного пространства.

По теореме о ранге-нуле dim(ker( A − λ I ))= nr , поэтому t=nrs , и поэтому число векторов в потенциальном базисе равно n. Чтобы показать линейную независимость, предположим, что некоторая линейная комбинация векторов равна 0. Применяя A − λ I , мы получаем некоторую линейную комбинацию p _i , причем q _i становятся ведущими векторами среди p _{i .} Из линейной независимости p _i следует, что коэффициенты векторов q _i должны быть равны нулю. Более того, никакая нетривиальная линейная комбинация z i _не может быть равна линейной комбинации p _i , потому что тогда она принадлежала бы Ran( A − λ I ) и, следовательно, Q, что невозможно по построению z _i . Следовательно, коэффициенты z _i также будут равны 0. Это оставляет только члены p _i , которые считаются линейно независимыми, и поэтому эти коэффициенты также должны быть равны нулю. Мы нашли базис, состоящий из жордановых цепей, и это показывает, что A можно привести к жордановой нормальной форме.

Уникальность

Можно показать, что жорданова нормальная форма данной матрицы A единственна с точностью до порядка жордановых блоков.

Знание алгебраической и геометрической кратности собственных значений недостаточно для определения жордановой нормальной формы A. Предполагая, что алгебраическая кратность m ( λ ) собственного значения λ известна, структуру жордановой формы можно установить, проанализировав ранги степеней ( A − λI ) ^{m ( λ )} . Чтобы увидеть это, предположим, что матрица A размером n × n имеет только одно собственное значение λ . Таким образом, m ( λ ) = n . Наименьшее целое число k ₁ такое, что

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}}=0}$

— размер наибольшего жорданова блока в жордановой форме A. (Это число k ₁ также называется индексом λ . См . обсуждение в следующем разделе.) Ранг

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-1}}$

- это число блоков Жордана размера k _1. Аналогично, ранг

${\displaystyle (A-\lambda I)^{k_{1}-2}}$

равно удвоенному числу жордановых блоков размера k ₁ плюс число жордановых блоков размера k ₁  − 1. Общий случай аналогичен.

Это можно использовать для демонстрации единственности жордановой формы. Пусть J ₁ и J ₂ — две жордановы нормальные формы матрицы A . Тогда J ₁ и J ₂ подобны и имеют одинаковый спектр, включая алгебраические кратности собственных значений. Процедуру, описанную в предыдущем абзаце, можно использовать для определения структуры этих матриц. Поскольку ранг матрицы сохраняется при преобразовании подобия, между жордановыми блоками J ₁ и J ₂ существует биекция . Это доказывает часть утверждения, касающуюся единственности.

Действительные матрицы

Если A — действительная матрица, ее жорданова форма все еще может быть недействительной. Вместо того, чтобы представлять ее с помощью комплексных собственных значений и единиц на супердиагонали, как обсуждалось выше, существует действительная обратимая матрица P, такая что P ⁻¹ AP = J — действительная блочно-диагональная матрица , где каждый блок является действительным жордановым блоком. ^[15] Действительный жорданов блок либо идентичен комплексному жорданову блоку (если соответствующее собственное значение действительно), либо сам является блочной матрицей, состоящей из блоков 2×2 (для недействительного собственного значения с заданной алгебраической кратностью) вида ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}=a_{i}+ib_{i}}$

${\displaystyle C_{i}=\left[{\begin{array}{rr}a_{i}&-b_{i}\\b_{i}&a_{i}\\\end{array}}\right]}$

и описывают умножение на в комплексной плоскости. Супердиагональные блоки являются единичными матрицами 2×2 и, следовательно, в этом представлении размеры матрицы больше, чем у комплексной жордановой формы. Полный действительный жорданов блок задается как ${\displaystyle \lambda _{i}}$

${\displaystyle J_{i}={\begin{bmatrix}C_{i}&I&&\\&C_{i}&\ddots &\\&&\ddots &I\\&&&C_{i}\end{bmatrix}}.}$

Эта действительная жорданова форма является следствием комплексной жордановой формы. Для действительной матрицы недействительные собственные векторы и обобщенные собственные векторы всегда можно выбрать так, чтобы образовать комплексно-сопряженные пары. Взяв действительную и мнимую часть (линейную комбинацию вектора и его сопряженного), матрица имеет эту форму относительно нового базиса.

Матрицы с записями в поле

Редукция Жордана может быть распространена на любую квадратную матрицу M, элементы которой лежат в поле K. Результат утверждает, что любую M можно записать в виде суммы D + N, где D полупроста, N нильпотентна , а DN = ND . Это называется разложением Жордана – Шевалле . Всякий раз , когда K содержит собственные значения M , в частности, когда K алгебраически замкнута , нормальная форма может быть явно выражена как прямая сумма жордановых блоков.

Аналогично случаю, когда K — комплексные числа, знание размерностей ядер ( M − λI ) ^k для 1 ≤ k ≤ m , где m — алгебраическая кратность собственного значения λ , позволяет определить жорданову форму M . Мы можем рассматривать лежащее в основе векторное пространство V как K [ x ] -модуль , рассматривая действие x на V как применение M и расширяя его по K -линейности. Тогда многочлены ( x  −  λ ) ^k являются элементарными делителями M , а жорданова нормальная форма связана с представлением M в терминах блоков, связанных с элементарными делителями.

Доказательство жордановой нормальной формы обычно осуществляется как приложение к кольцу K [ x ] структурной теоремы для конечно порождённых модулей над областью главных идеалов , следствием которой она является.

Последствия

Видно, что нормальная форма Жордана по сути является результатом классификации квадратных матриц, и поэтому несколько важных результатов линейной алгебры можно рассматривать как ее следствия.

Теорема спектрального отображения

Используя нормальную форму Жордана, прямое вычисление дает теорему о спектральном отображении для полиномиального функционального исчисления : пусть A — матрица размера n × n с собственными значениями λ ₁ , ..., λ _n , тогда для любого полинома p , p ( A ) имеет собственные значения p ( λ ₁ ), ..., p ( λ _n ).

Характеристический многочлен

Характеристический многочлен матрицы A равен . Подобные матрицы имеют одинаковый характеристический многочлен. Следовательно, , где — корень i- го числа , а — его кратность, поскольку это, очевидно, характеристический многочлен жордановой формы матрицы A . ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I-A)}$ ${\textstyle p_{A}(\lambda )=p_{J}(\lambda )=\prod _{i}(\lambda -\lambda _{i})^{m_{i}}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\textstyle p_{J}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

Теорема Кэли–Гамильтона

Теорема Кэли–Гамильтона утверждает, что каждая матрица A удовлетворяет своему характеристическому уравнению: если p — характеристический многочлен матрицы A , то . Это можно показать с помощью прямого вычисления в жордановой форме, поскольку если — собственное значение кратности , то ее жорданов блок, очевидно, удовлетворяет . Поскольку диагональные блоки не влияют друг на друга, i -й диагональный блок матрицы равен ; следовательно , . ${\displaystyle p_{A}(A)=0}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle J_{i}}$ ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ ${\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}}$ ${\displaystyle (J_{i}-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$ ${\textstyle p_{A}(A)=\prod _{i}(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}=0}$

Можно предположить, что жорданова форма существует над полем, расширяющим базовое поле матрицы, например, над полем разложения p ; это расширение поля никак не изменяет матрицу p ( A ) .

Минимальный многочлен

Минимальный многочлен P квадратной матрицы A — это единственный монический многочлен наименьшей степени m , такой что P ( A ) = 0. В качестве альтернативы, множество многочленов, которые аннулируют заданный A, образуют идеал I в C [ x ], области главных идеалов многочленов с комплексными коэффициентами. Монический элемент, который порождает I, — это в точности P .

Пусть λ ₁ , ..., λ _q будут различными собственными значениями A , а s _i будет размером наибольшего жорданова блока, соответствующего λ _i . Из нормальной формы Жордана ясно, что минимальный многочлен A имеет степень Σ s _i .

В то время как нормальная форма Жордана определяет минимальный многочлен, обратное неверно. Это приводит к понятию элементарных делителей . Элементарные делители квадратной матрицы A являются характеристическими многочленами ее жордановых блоков. Множители минимального многочлена m являются элементарными делителями наибольшей степени, соответствующими различным собственным значениям.

Степень элементарного делителя — это размер соответствующей жордановой клетки, следовательно, размерность соответствующего инвариантного подпространства. Если все элементарные делители линейны, A диагонализуемо.

Инвариантные подпространственные разложения

Жорданова форма матрицы A размером n × n является блочно-диагональной и, следовательно, дает разложение n- мерного евклидова пространства на инвариантные подпространства A. Каждому жорданову блоку J _i соответствует инвариантное подпространство X _i . Символически мы обозначаем

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{k}X_{i}}$

где каждое X _i — это промежуток соответствующей жордановой цепи, а k — число жордановых цепей.

Можно также получить немного иное разложение с помощью жордановой формы. При наличии собственного значения λ _i размер его наибольшего соответствующего жорданового блока s _i называется индексом λ i и обозначается v ( λ _{i ). ( Следовательно} , степень минимального многочлена является суммой всех индексов.) Определим подпространство Y _i как

${\displaystyle Y_{i}=\ker(\lambda _{i}I-A)^{v(\lambda _{i})}.}$

Это дает разложение

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i=1}^{l}Y_{i}}$

где l — число различных собственных значений A. Интуитивно мы объединяем вместе инвариантные подпространства жордановых блоков, соответствующие одному и тому же собственному значению. В крайнем случае, когда A является кратным единичной матрицы, мы имеем k = n и l = 1.

Проекция на Y _i и вдоль всех остальных Y _j ( j ≠ i ) называется спектральной проекцией A на v _i и обычно обозначается как P ( λ _i  ; A ) . Спектральные проекции взаимно ортогональны в том смысле, что P ( λ _i  ; A ) P (v _j  ; A ) = 0, если i ≠ j . Также они коммутируют с A , и их сумма является единичной матрицей. Замена каждого v _i в жордановой матрице J на ​​единицу и обнуление всех остальных элементов дает P (v _i  ; J ), более того, если UJU ⁻¹ — преобразование подобия такое, что A = UJU ⁻¹ , то P ( λ _i  ; A ) = UP ( λ _i  ; J ) U ⁻¹ . Они не ограничены конечными размерностями. См. ниже их применение к компактным операторам и в голоморфном функциональном исчислении для более общего обсуждения.

Сравнивая два разложения, обратите внимание, что в общем случае l ≤ k . Когда A нормально, подпространства X _i в первом разложении одномерны и взаимно ортогональны. Это спектральная теорема для нормальных операторов. Второе разложение легче обобщается для общих компактных операторов в банаховых пространствах.

Здесь может быть интересно отметить некоторые свойства индекса ν ( λ ). В более общем смысле, для комплексного числа λ его индекс можно определить как наименьшее неотрицательное целое число ν ( λ ) такое, что

${\displaystyle \ker(A-\lambda I)^{\nu (\lambda )}=\ker(A-\lambda I)^{m},\;\forall m\geq \nu (\lambda ).}$

Таким образом, ν (v) > 0 тогда и только тогда, когда λ является собственным значением A. В конечномерном случае ν (v) ≤ алгебраической кратности v.

Плоская (плоская) нормальная форма

Форма Жордана используется для нахождения нормальной формы матриц с точностью до сопряженности, такой, что нормальные матрицы образуют алгебраическое многообразие низкой фиксированной степени в окружающем матричном пространстве.

Множества представителей классов сопряженности матриц для жордановой нормальной формы или рациональных канонических форм в общем случае не образуют линейных или аффинных подпространств в окружающих матричных пространствах.

Владимир Арнольд поставил ^[16] задачу: найти каноническую форму матриц над полем, для которой множество представителей классов сопряженности матриц является объединением аффинных линейных подпространств (flats). Другими словами, отобразить множество классов сопряженности матриц инъективно обратно в исходный набор матриц так, чтобы образ этого вложения — множество всех нормальных матриц — имел наименьшую возможную степень — он был объединением сдвинутых линейных подпространств.

Она была решена для алгебраически замкнутых полей Петерисом Даугулисом. ^[17] Построение однозначно определенной плоской нормальной формы матрицы начинается с рассмотрения ее жордановой нормальной формы.

Матричные функции

Итерация цепочки Жордана мотивирует различные расширения к более абстрактным установкам. Для конечных матриц получаются матричные функции; это можно расширить до компактных операторов и голоморфного функционального исчисления, как описано ниже.

Нормальная форма Жордана наиболее удобна для вычисления матричных функций (хотя она может быть не лучшим выбором для компьютерных вычислений). Пусть f ( z ) — аналитическая функция комплексного аргумента. Применение функции к жорданову блоку J размера n × n с собственным значением λ приводит к верхней треугольной матрице:

${\displaystyle f(J)={\begin{bmatrix}f(\lambda )&f'(\lambda )&{\tfrac {f''(\lambda )}{2}}&\cdots &{\tfrac {f^{(n-1)}(\lambda )}{(n-1)!}}\\0&f(\lambda )&f'(\lambda )&\cdots &{\tfrac {f^{(n-2)}(\lambda )}{(n-2)!}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&f(\lambda )&f'(\lambda )\\0&0&0&0&f(\lambda )\end{bmatrix}},}$

так что элементы k -й наддиагонали результирующей матрицы равны . Для матрицы общей жордановой нормальной формы приведенное выше выражение следует применять к каждому жорданову блоку. ${\displaystyle {\tfrac {f^{(k)}(\lambda )}{k!}}}$

Следующий пример показывает применение к степенной функции f ( z ) =  z ⁿ :

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\lambda _{1}&1&0&0&0\\0&\lambda _{1}&1&0&0\\0&0&\lambda _{1}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}&1\\0&0&0&0&\lambda _{2}\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&{\tbinom {n}{2}}\lambda _{1}^{n-2}&0&0\\0&\lambda _{1}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{1}^{n-1}&0&0\\0&0&\lambda _{1}^{n}&0&0\\0&0&0&\lambda _{2}^{n}&{\tbinom {n}{1}}\lambda _{2}^{n-1}\\0&0&0&0&\lambda _{2}^{n}\end{bmatrix}},}$

где биномиальные коэффициенты определяются как . Для целых положительных n это сводится к стандартному определению коэффициентов. Для отрицательных n тождество может быть полезным. ${\textstyle {\binom {n}{k}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}}}$ ${\textstyle {\binom {-n}{k}}=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}}$

Компактные операторы

Результат, аналогичный жордановой нормальной форме, справедлив для компактных операторов в банаховом пространстве . Мы ограничиваемся компактными операторами, поскольку каждая точка x в спектре компактного оператора T является собственным значением; Единственное исключение — когда x является предельной точкой спектра. Это неверно для ограниченных операторов в общем случае. Чтобы дать некоторое представление об этом обобщении, мы сначала переформулируем разложение Жордана на языке функционального анализа.

Голоморфное функциональное исчисление

Пусть X — банахово пространство, L ( X ) — ограниченные операторы на X , а σ ( T ) обозначает спектр T ∈ L ( X ). Голоморфное функциональное исчисление определяется следующим образом:

Зафиксируем ограниченный оператор T. Рассмотрим семейство Hol( T ) комплексных функций, голоморфное на некотором открытом множестве G, содержащем σ ( T ). Пусть Γ = { γ _i } — конечный набор жордановых кривых, такой, что σ ( T ) лежит внутри Γ , мы определим f ( T ) как

${\displaystyle f(T)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma }f(z)(z-T)^{-1}\,dz.}$

Открытое множество G может меняться в зависимости от f и не обязательно должно быть связным. Интеграл определяется как предел сумм Римана, как в скалярном случае. Хотя интеграл имеет смысл для непрерывных f , мы ограничиваемся голоморфными функциями, чтобы применить аппарат из классической теории функций (например, интегральную формулу Коши). Предположение, что σ ( T ) лежит внутри Γ, гарантирует, что f ( T ) хорошо определено; оно не зависит от выбора Γ. Функциональное исчисление — это отображение Φ из Hol( T ) в L ( X ), заданное как

${\displaystyle \;\Phi (f)=f(T).}$

Нам потребуются следующие свойства этого функционального исчисления:

1. Φ расширяет полиномиальное функциональное исчисление.
2. Справедлива теорема о спектральном отображении : σ ( f ( T )) = f ( σ ( T )).
3. Φ — гомоморфизм алгебры.

Конечномерный случай

В конечномерном случае σ ( T ) = { λ _i } — конечное дискретное множество в комплексной плоскости. Пусть e _i — функция, равная 1 в некоторой открытой окрестности λ _i и 0 в остальных местах. По свойству 3 функционального исчисления оператор

${\displaystyle e_{i}(T)}$

является проекцией. Более того, пусть ν _i будет индексом λ _i и

${\displaystyle f(z)=(z-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

Теорема спектрального отображения говорит нам

${\displaystyle f(T)e_{i}(T)=(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}e_{i}(T)}$

имеет спектр {0}. По свойству 1 f ( T ) может быть напрямую вычислена в форме Жордана, и, проверив, мы видим, что оператор f ( T ) e _i ( T ) является нулевой матрицей.

По свойству 3, f ( T ) e _i ( T ) = e _i ( T ) f ( T ). Таким образом, e _i ( T ) — это в точности проекция на подпространство

${\displaystyle \operatorname {Ran} e_{i}(T)=\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}.}$

Отношение

${\displaystyle \sum _{i}e_{i}=1}$

подразумевает

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}\;\operatorname {Ran} e_{i}(T)=\bigoplus _{i}\ker(T-\lambda _{i})^{\nu _{i}}}$

где индекс i пробегает различные собственные значения T. Это инвариантное подпространственное разложение

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\bigoplus _{i}Y_{i}}$

приведено в предыдущем разделе. Каждое e _i ( T ) является проекцией на подпространство, натянутое на жордановы цепи, соответствующие λ _{i ,} и вдоль подпространств, натянутых на жордановы цепи, соответствующие v _j для j ≠ i . Другими словами, e _i ( T ) = P ( λ _i ; T ). Это явное отождествление операторов e _i ( T ) в свою очередь дает явную форму голоморфного функционального исчисления для матриц:

Для всех f ∈ Hol( T ),

${\displaystyle f(T)=\sum _{\lambda _{i}\in \sigma (T)}\sum _{k=0}^{\nu _{i}-1}{\frac {f^{(k)}}{k!}}(T-\lambda _{i})^{k}e_{i}(T).}$

Обратите внимание, что выражение f ( T ) представляет собой конечную сумму, поскольку в каждой окрестности v _i мы выбрали разложение f в ряд Тейлора с центром в v _i .

Полюса оператора

Пусть T — ограниченный оператор, λ — изолированная точка σ ( T ). (Как указано выше, когда T компактен, каждая точка его спектра является изолированной точкой, за исключением, возможно, предельной точки 0.)

Точка λ называется полюсом оператора T с порядком ν , если резольвентная функция R _T определяется соотношением

${\displaystyle R_{T}(\lambda )=(\lambda -T)^{-1}}$

имеет полюс порядка ν в точке λ .

Мы покажем, что в конечномерном случае порядок собственного значения совпадает с его индексом. Результат справедлив и для компактных операторов.

Рассмотрим кольцевую область A с центром в собственном значении λ с достаточно малым радиусом ε таким образом, что пересечение открытого диска B _ε ( λ ) и σ ( T ) равно { λ }. Резольвентная функция R _T голоморфна на A . Распространяя результат из классической теории функций, R _T имеет представление в виде ряда Лорана на A :

${\displaystyle R_{T}(z)=\sum _{-\infty }^{\infty }a_{m}(\lambda -z)^{m}}$

где

${\displaystyle a_{-m}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}(\lambda -z)^{m-1}(z-T)^{-1}dz}$а C — это маленький круг с центром в точке  λ .

Согласно предыдущему обсуждению функционального исчисления,

${\displaystyle a_{-m}=-(\lambda -T)^{m-1}e_{\lambda }(T)}$где 1 в одном месте и 0 в другом. ${\displaystyle e_{\lambda }}$ ${\displaystyle B_{\varepsilon }(\lambda )}$

Но мы показали, что наименьшее положительное целое число m такое, что

${\displaystyle a_{-m}\neq 0}$и ${\displaystyle a_{-l}=0\;\;\forall \;l\geq m}$

есть как раз индекс λ , ν ( λ ). Другими словами, функция R _T имеет полюс порядка ν ( λ ) в точке λ .

Численный анализ

Если матрица A имеет несколько собственных значений или близка к матрице с несколькими собственными значениями, то ее нормальная форма Жордана очень чувствительна к возмущениям. Рассмотрим, например, матрицу

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&1\\\varepsilon &1\end{bmatrix}}.}$

Если ε = 0, то нормальная форма Жордана имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.}$

Однако при ε ≠ 0 нормальная форма Жордана имеет вид

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1+{\sqrt {\varepsilon }}&0\\0&1-{\sqrt {\varepsilon }}\end{bmatrix}}.}$

Эта плохая обусловленность делает разработку надежного численного алгоритма для нормальной формы Жордана очень сложной, поскольку результат критически зависит от того, считаются ли два собственных значения равными. По этой причине нормальная форма Жордана обычно избегается в численном анализе ; стабильное разложение Шура ^[18] или псевдоспектры ^[19] являются лучшими альтернативами.

Смотрите также

• Каноническая основа
• Каноническая форма
• Нормальная форма Фробениуса
• матрица Жордана
• Разложение Жордана–Шевалле
• Матричное разложение
• Модальная матрица
• Каноническая форма Вейра

Примечания

1. Шилов определяет термин жорданова каноническая форма и в сноске говорит, что жорданова нормальная форма является синонимом. Эти термины иногда сокращаются до жордановой формы . (Шилов) Термин классическая каноническая форма также иногда используется в смысле этой статьи. (Джеймс и Джеймс, 1976)
2. Холт и Румынин (2009, стр. 9)
3. Борегар и Фрели (1973, стр. 310–316)
4. Голуб и Ван Лоан (1996, стр. 355)
5. Неринг (1970, стр. 118–127)
6. Борегар и Фрели (1973, стр. 270–274)
7. Голуб и Ван Лоан (1996, стр. 353)
8. Неринг (1970, стр. 113–118)
9. Брехенмахер, "История Иордании по матричной разложению (1870-1930). Формы представления и методы разложения", Диссертация, 2007 г.
10. Каллен (1966, стр. 114)
11. Франклин (1968, стр. 122)
12. Horn & Johnson (1985, §3.2.1)
13. Бронсон (1970, стр. 189, 194)
14. Роу Гудман и Нолан Р. Уоллах, Представления и инварианты классических групп , Cambridge UP 1998, Приложение B.1.
15. Хорн и Джонсон (1985, Теорема 3.4.5)
16. Арнольд, Владимир И. (2004), "1998-25", Проблемы Арнольда , Берлин: Springer-Verlag, стр. 127, doi :10.1007/b138219, ISBN 3-540-20614-0, МР  2078115. См. также комментарий, стр. 613.
17. Петерис Даугулис (2012), «Параметризация множеств орбит сопряжения матриц как объединений аффинных плоскостей», Линейная алгебра и ее приложения , 436 (3): 709–721, arXiv : 1110.0907 , doi : 10.1016/j.laa.2011.07.032, S2CID  119649768
18. Подробности см. в Golub & Van Loan (2014), §7.6.5; или Golub & Wilkinson (1976).
19. См. Голуб и Ван Лоан (2014), §7.9.

Ссылки

• Борегард, Рэймонд А.; Фрейли, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
• Бронсон, Ричард (1970), Матричные методы: Введение , Нью-Йорк: Academic Press , LCCN  70097490
• Каллен, Чарльз Г. (1966), Матрицы и линейные преобразования , Чтение: Addison-Wesley , LCCN  66021267
• Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, Часть I: Общая теория , Interscience
• Финкбейнер II, Дэниел Т. (1978), Введение в матрицы и линейные преобразования (3-е изд.), WH Freeman and Company
• Франклин, Джоэл Н. (1968), Матричная теория , Englewood Cliffs: Prentice-Hall , LCCN  68016345
• Голуб, Джин Х.; Ван Лоан, Чарльз Ф. (1996), Матричные вычисления (3-е изд.), Балтимор: Издательство Университета Джонса Хопкинса , ISBN 0-8018-5414-8
• Голуб, Джин Х.; Уилкинсон, Дж. Х. (1976), «Плохо обусловленные собственные системы и вычисление нормальной формы Жордана», SIAM Review , 18 (4): 578–619, doi :10.1137/1018113
• Холт, Дерек; Румынин, Дмитрий (2009), Алгебра I – Продвинутая линейная алгебра (MA251) Лекционные заметки (PDF)
• Хорн, Роджер А.; Джонсон, Чарльз Р. (1985), Матричный анализ , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6
• Джеймс, Гленн; Джеймс, Роберт С. (1976), Математический словарь (2-е изд.), Ван Ностранд Рейнхольд
• Маклейн, Сондерс; Биркгофф, Гарретт (1967), Алгебра , Macmillan Publishers
• Мишель, Энтони Н.; Хергет, Чарльз Дж. (1993), Прикладная алгебра и функциональный анализ , Dover Publications
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646
• Шафаревич, ИР; Ремизов, АО (2012), Линейная алгебра и геометрия , Springer , ISBN 978-3-642-30993-9
• Шилов, Георгий Э. (1977), Линейная алгебра , Dover Publications
• Статья о канонической форме Жордана на сайте mathworld.wolfram.com