проблема Томсона

Конфигурация максимального расстояния для N точек на сфере

Целью задачи Томсона является определение минимальной конфигурации электростатической потенциальной энергии N электронов, ограниченных поверхностью единичной сферы , которые отталкиваются друг от друга с силой, заданной законом Кулона . Физик Дж. Дж. Томсон сформулировал эту задачу в 1904 году ^[1] после предложения атомной модели , позже названной моделью сливового пудинга , основанной на его знании о существовании отрицательно заряженных электронов внутри нейтрально заряженных атомов.

Смежные проблемы включают изучение геометрии конфигурации минимальной энергии и изучение поведения минимальной энергии при больших N.

Математическое утверждение

Энергия электростатического взаимодействия, происходящего между каждой парой электронов с одинаковыми зарядами ( с элементарным зарядом электрона), определяется законом Кулона , ${\displaystyle e_{i}=e_{j}=e}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={e_{i}e_{j} \over 4\pi \epsilon _{0}r_{ij}},}$

где — электрическая постоянная , а — расстояние между каждой парой электронов, расположенных в точках на сфере, определяемых векторами и соответственно. ${\displaystyle \epsilon _{0}}$ ${\displaystyle r_{ij}=|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{j}}$

Упрощенные единицы и ( постоянная Кулона ) используются без потери общности. Тогда, ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle k_{e}=1/4\pi \epsilon _{0}=1}$

${\displaystyle U_{ij}(N)={1 \over r_{ij}}.}$

Полная электростатическая потенциальная энергия каждой конфигурации N -электронов может быть выражена как сумма всех энергий парного взаимодействия

${\displaystyle U(N)=\sum _{i<j}{\frac {1}{r_{ij}}}.}$

Глобальная минимизация всех возможных конфигураций N различных точек обычно находится с помощью алгоритмов численной минимизации. ${\displaystyle U(N)}$

Задача Томсона связана с 7-й из восемнадцати нерешенных математических задач, предложенных математиком Стивом Смейлом — «Распределение точек на 2-сфере». ^[2] Главное отличие состоит в том, что в задаче Смейла минимизируемой функцией является не электростатический потенциал , а логарифмический потенциал, заданный как Второе отличие состоит в том, что вопрос Смейла касается асимптотического поведения полного потенциала, когда число точек N стремится к бесконечности, а не для конкретных значений N. ${\displaystyle 1 \over r_{ij}}$ ${\displaystyle -\log r_{ij}.}$

Пример

Решение задачи Томсона для двух электронов получается, когда оба электрона находятся как можно дальше друг от друга по разные стороны от начала координат, или ${\displaystyle r_{ij}=2r=2}$

${\displaystyle U(2)={1 \over 2}.}$

Известные точные решения

Схематические геометрические решения математической задачи Томсона для числа электронов до N  = 5.

Математически точные конфигурации минимальной энергии были строго определены лишь в нескольких случаях.

• Для N  = 1 решение тривиально. Отдельный электрон может находиться в любой точке поверхности единичной сферы. Полная энергия конфигурации определяется как ноль, поскольку заряд электрона не подвержен никакому электрическому полю из-за других источников заряда.

• При N  = 2 оптимальная конфигурация состоит из электронов в антиподальных точках . Это представляет собой первое одномерное решение.

• При N  = 3 электроны находятся в вершинах равностороннего треугольника относительно любого большого круга . ^[3] Большой круг часто рассматривается как определяющий экватор относительно сферы, а две точки, перпендикулярные плоскости, часто считаются полюсами, чтобы помочь в обсуждениях электростатических конфигураций многоэлектронных решений . Кроме того, это представляет собой первое двумерное решение.

• При N  = 4 электроны находятся в вершинах правильного тетраэдра . Интересно, что это представляет собой первое трехмерное решение.

• Для N  = 5 математически строгое компьютерное решение было представлено в 2010 году с электронами, находящимися в вершинах треугольной дипирамиды . ^[4] Интересно, что невозможно, чтобы какое-либо решение N с пятью или более электронами продемонстрировало глобальное равноудаленность между всеми парами электронов.

• При N  = 6 электроны находятся в вершинах правильного октаэдра . ^[5] Конфигурацию можно представить как четыре электрона, находящихся в углах квадрата вокруг экватора, и оставшиеся два, находящихся на полюсах.

• При N  = 12 электроны находятся в вершинах правильного икосаэдра . ^[6]

Геометрические решения задачи Томсона для N  = 4, 6 и 12 электронов являются Платоновыми телами , все грани которых являются конгруэнтными равносторонними треугольниками. Численные решения для N  = 8 и 20 не являются правильными выпуклыми многогранными конфигурациями оставшихся двух Платоновых тел, куба и додекаэдра соответственно. ^[7]

Обобщения

Можно также спросить об основных состояниях частиц, взаимодействующих с произвольными потенциалами. Чтобы быть математически точным, пусть f будет убывающей действительной функцией, и определите функционал энергии

$${\displaystyle \sum _{i<j}f(|x_{i}-x_{j}|).}$$

Традиционно считается также известным как ядра Рисса. Для интегрируемых ядер Рисса см. работу Ландкофа 1972 года. ^[8] Для неинтегрируемых ядер Рисса справедлива теорема о бублике с маковкой , см. работу Хардина и Саффа 2004 года. ^[9] Известные случаи включают: ^[10] ${\displaystyle f(x)=x^{-\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$

• α  = ∞, задача Таммеса (упаковка);
• α  = 1, задача Томсона;
• α  = 0, чтобы максимизировать произведение расстояний, что впоследствии стало известно как проблема Уайта;
• α  = −1: проблема максимального среднего расстояния.

Можно также рассмотреть конфигурации N точек на сфере более высокой размерности . См. сферическую конструкцию .

Алгоритмы решения

Несколько алгоритмов были применены к этой проблеме. Со времени тысячелетия основное внимание уделялось методам локальной оптимизации, применяемым к энергетической функции, хотя случайные блуждания также появились: ^[10]

• ограниченная глобальная оптимизация (Альтшулер и др., 1994),
• наикрутейший спуск (Клэкстон и Бенсон 1966, Эрбер и Хокни 1991),
• случайное блуждание (Вайнрах и др., 1990),
• генетический алгоритм (Моррис и др., 1996)

Хотя целью является минимизация глобальной электростатической потенциальной энергии каждого случая N -электронов, интерес представляют несколько алгоритмических начальных случаев.

Непрерывный сферический заряд оболочки

Крайний верхний предел энергии задачи Томсона определяется как для непрерывного заряда оболочки, за которым следует N(N − 1)/2, энергия, связанная со случайным распределением N электронов. Значительно более низкая энергия данного N -электронного решения задачи Томсона с одним зарядом в начале координат легко получается из , где — решения задачи Томсона. ${\displaystyle N^{2}/2}$ ${\displaystyle U(N)+N}$ ${\displaystyle U(N)}$

Энергия сплошной сферической оболочки с распределенным по ее поверхности зарядом определяется выражением

${\displaystyle U_{\text{shell}}(N)={\frac {N^{2}}{2}}}$

и, в общем, больше энергии любого решения задачи Томсона. Примечание: здесь N используется как непрерывная переменная, которая представляет собой бесконечно делимый заряд Q , распределенный по сферической оболочке. Например, сферическая оболочка представляет собой равномерное распределение заряда одного электрона , по всей оболочке. ${\displaystyle N=1}$ ${\displaystyle -e}$

Случайно распределенные точечные заряды

Ожидаемая глобальная энергия системы электронов, распределенных совершенно случайным образом по поверхности сферы, определяется выражением

${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)={\frac {N(N-1)}{2}}}$

и, в общем случае, больше энергии любого решения задачи Томсона.

Здесь N — дискретная переменная, которая подсчитывает количество электронов в системе. Также, . ${\displaystyle U_{\text{rand}}(N)<U_{\text{shell}}(N)}$

Распределение заряда-центрированного

Для каждого N -го решения задачи Томсона существует -я конфигурация, включающая электрон в начале сферы, энергия которого является просто добавлением N к энергии N -го решения. То есть, ^[11] ${\displaystyle (N+1)}$

${\displaystyle U_{0}(N+1)=U_{\text{Thom}}(N)+N.}$

Таким образом, если известно точно, то известно точно. ${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N)}$ ${\displaystyle U_{0}(N+1)}$

В общем случае больше, чем , но значительно ближе к каждому решению Томсона, чем и . Таким образом, распределение, центрированное на заряде, представляет собой меньший «энергетический зазор», который необходимо преодолеть для достижения решения каждой задачи Томсона, чем алгоритмы, которые начинаются с двух других конфигураций заряда. ${\displaystyle U_{0}(N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{Thom}}(N+1)}$ ${\displaystyle (N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{shell}}(N+1)}$ ${\displaystyle U_{\text{rand}}(N+1)}$

Связь с другими научными проблемами

Проблема Томсона является естественным следствием модели сливового пудинга Дж. Дж. Томсона при отсутствии ее однородного положительного фонового заряда. ^[12]

«Ни один факт, открытый относительно атома, не может быть тривиальным и не способствовать ускорению прогресса физической науки, поскольку большая часть естественной философии является результатом изучения структуры и механизма атома».

—Сэр Дж. Дж. Томсон ^[13]

Хотя экспериментальные данные привели к отказу от модели пудинга с изюмом Томсона как от полной атомной модели, было обнаружено, что нерегулярности, наблюдаемые в численных энергетических решениях задачи Томсона, соответствуют заполнению электронных оболочек в атомах, встречающихся в природе, по всей периодической таблице элементов. ^[14]

Проблема Томсона также играет роль в изучении других физических моделей, включая многоэлектронные пузырьки и поверхностное упорядочение капель жидкого металла, заключенных в ловушках Пауля .

Обобщенная задача Томсона возникает, например, при определении расположений белковых субъединиц, которые составляют оболочки сферических вирусов . «Частицы» в этом приложении представляют собой кластеры белковых субъединиц, расположенных на оболочке. Другие реализации включают регулярное расположение коллоидных частиц в коллоидосомах , предложенных для инкапсуляции активных ингредиентов, таких как лекарства, питательные вещества или живые клетки, фуллереновые структуры атомов углерода и теорию VSEPR . Примером с дальнодействующими логарифмическими взаимодействиями являются вихри Абрикосова , которые образуются при низких температурах в сверхпроводящей металлической оболочке с большим монополем в ее центре.

Конфигурации наименьшей известной энергии

В следующей таблице ^{[ требуется ссылка ]} — количество точек (зарядов) в конфигурации, — энергия, тип симметрии указан в нотации Шёнфлиса (см. Точечные группы в трех измерениях ), а — положения зарядов. Большинство типов симметрии требуют, чтобы векторная сумма положений (и, следовательно, электрический дипольный момент ) были равны нулю. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U_{\textrm {Thom}}}$ ${\displaystyle r_{i}}$

Принято также рассматривать многогранник, образованный выпуклой оболочкой точек. Таким образом, — это число вершин, где сходится заданное число ребер, — общее число ребер, — число треугольных граней, — число четырехугольных граней, — наименьший угол, образуемый векторами, связанными с ближайшей парой зарядов. Обратите внимание, что длины ребер, как правило, не равны. Таким образом, за исключением случаев N  = 2, 3, 4, 6, 12 и геодезических многогранников , выпуклая оболочка топологически эквивалентна только фигуре, указанной в последнем столбце. ^[15] ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle f_{4}}$ ${\displaystyle \theta _{1}}$

Согласно гипотезе, если — многогранник, образованный выпуклой оболочкой конфигурации решения задачи Томсона для электронов, а — число четырехугольных граней , то имеет ребра. ^{[16] [ необходимо разъяснение ]} ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle f(m)=\delta _{0,m-2}+3(m-2)-q}$

Ссылки

1. Томсон, Джозеф Джон (март 1904 г.). «О структуре атома: исследование стабильности и периодов колебаний ряда корпускул, расположенных на равных интервалах по окружности круга; с применением результатов к теории атомной структуры» (PDF) . Philosophical Magazine . Серия 6. 7 (39): 237–265. doi :10.1080/14786440409463107. Архивировано из оригинала (PDF) 13 декабря 2013 г.
2. Смейл, С. (1998). «Математические проблемы для следующего столетия». Mathematical Intelligencer . 20 (2): 7–15. CiteSeerX 10.1.1.35.4101 . doi :10.1007/bf03025291. S2CID  1331144. 
3. Фёппль, Л. (1912). «Стабильное Anordnungen von Elektronen im Atom». Дж. Рейн Анжью. Математика . 141 (141): 251–301. дои : 10.1515/crll.1912.141.251. S2CID  120309200..
4. Шварц, Ричард (2010). «Пятиэлектронный случай проблемы Томсона». arXiv : 1001.3702 [math.MG].
5. Юдин, В. А. (1992). «Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов». Дискретная математика . 4 (2): 115–121.; Юдин, ВА (1993). "Минимум потенциальной энергии системы точечных зарядов". Discrete Math. Appl . 3 (1): 75–81. doi :10.1515/dma.1993.3.1.75. S2CID  117117450.
6. Андреев, НН (1996). «Экстремальное свойство икосаэдра». East J. Approximation . 2 (4): 459–462. MR 1426716, Zbl  0877.51021
7. Атья, Майкл; Сатклифф, Пол (2003). «Многогранники в физике, химии и геометрии». arXiv : math-ph/0303071 .
8. Ландкоф, Н.С. Основы современной теории потенциала. Перевод с русского А. П. Духовской. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 180. Springer-Verlag, Нью-Йорк-Гейдельберг, 1972. x + 424 стр.
9. Хардин, Д.П.; Сафф, Э.Б. Дискретизация многообразий через точки минимальной энергии. Notices Amer. Math. Soc. 51 (2004), № 10, 1186–1194
10. Батагель, Владимир; Плестеняк, Бор. "Оптимальные расположения n точек на сфере и в круге" (PDF) . IMFM/TCS. Архивировано из оригинала (PDF) 25 июня 2018 г.
11. ЛаФав-младший, Тим (февраль 2014 г.). «Дискретные преобразования в задаче Томсона». Журнал электростатики . 72 (1): 39–43. arXiv : 1403.2592 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.11.007. S2CID  119309183.
12. Левин, Y.; Арензон, JJ (2003). «Почему заряды идут на поверхность: обобщенная проблема Томсона». Europhys. Lett . 63 (3): 415. arXiv : cond-mat/0302524 . Bibcode :2003EL.....63..415L. doi :10.1209/epl/i2003-00546-1. S2CID  18929981.
13. Сэр Дж. Дж. Томсон, «Римская лекция», 1914 г. (Атомная теория)
14. ЛаФав-младший, Тим (2013). «Соответствия между классической электростатической проблемой Томсона и атомной электронной структурой». Журнал электростатики . 71 (6): 1029–1035. arXiv : 1403.2591 . doi : 10.1016/j.elstat.2013.10.001. S2CID  118480104.
15. Кевин Браун. «Конфигурации электронов на сфере с минимальной энергией». Получено 01.05.2014.
16. "Sloane's A008486 (см. комментарий от 03 февраля 2017 г.)". Онлайновая энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд OEIS . Получено 08.02.2017 .

Примечания

• Whyte, LL (1952). «Уникальные расположения точек на сфере». Amer. Math. Monthly . 59 (9): 606–611. doi :10.2307/2306764. JSTOR  2306764.
• Кон, Харви (1956). «Устойчивые конфигурации электронов на сфере». Math. Comput . 10 (55): 117–120. doi : 10.1090/S0025-5718-1956-0081133-0 .
• Голдберг, Майкл (1969). «Устойчивые конфигурации электронов на сфере». Math. Comp . 23 (108): 785–786. doi : 10.1090/S0025-5718-69-99642-2 .
• Erber, T.; Hockney, GM (1991). "равновесные конфигурации N одинаковых зарядов на сфере". J. Phys. A: Math. Gen. 24 ( 23): L1369. Bibcode : 1991JPhA...24L1369E. doi : 10.1088/0305-4470/24/23/008. S2CID  122561279.
• Morris, JR; Deaven, DM; Ho, KM (1996). "Минимизация энергии с помощью генетического алгоритма для точечных зарядов на сфере". Phys. Rev. B . 53 (4): R1740–R1743. Bibcode :1996PhRvB..53.1740M. CiteSeerX  10.1.1.28.93 . doi :10.1103/PhysRevB.53.R1740. PMID  9983695.
• Эрбер, Т.; Хокни, ГМ (1997). «Сложные системы: равновесные конфигурации равных зарядов на сфере ». Успехи химической физики . Т. 98. С. 495–594. doi :10.1002/9780470141571.ch5. ISBN ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (2\leq N\leq 112)}$ 9780470141571..
• Altschuler, EL; Williams, TJ; Ratner, ER; Tipton, R.; Stong, R.; Dowla, F.; Wooten, F. (1997). "Возможные глобальные минимальные конфигурации решетки для задачи Томсона о зарядах на сфере". Phys. Rev. Lett . 78 (14): 2681–2685. Bibcode : 1997PhRvL..78.2681A. doi : 10.1103/PhysRevLett.78.2681.
• Боуик, М.; Каччуто, А.; Нельсон, Д.Р.; Травессет, А. (2002). «Кристаллический порядок на сфере и обобщенная проблема Томсона». Phys. Rev. Lett . 89 (18): 249902. arXiv : cond-mat/0206144 . Bibcode :2002PhRvL..89r5502B. doi :10.1103/PhysRevLett.89.185502. PMID  12398614. S2CID  20362989.
• Драгнев, PD; Легг, DA; Таунсенд, DW (2002). «Дискретная логарифмическая энергия на сфере». Pacific J. Math . 207 (2): 345–358. doi : 10.2140/pjm.2002.207.345 ..
• Катанфоруш, А.; Шахшахани, М. (2003). «Распределение точек на сфере. I». Exper. Math . 12 (2): 199–209. doi :10.1080/10586458.2003.10504492. S2CID  7306812.
• Уэйлс, Дэвид Дж.; Улкер, Сидика (2006). «Структура и динамика сферических кристаллов, характеризуемых для задачи Томсона». Phys. Rev. B. 74 ( 21): 212101. Bibcode : 2006PhRvB..74u2101W. doi : 10.1103/PhysRevB.74.212101. S2CID  119932997.Конфигурации перепечатаны в Wales, DJ; Ulker, S. «Кембриджская база данных кластеров».
• Слосар, А.; Подгорник, Р. (2006). "О проблеме Томсона со связанными зарядами". Europhys. Lett . 75 (4): 631. arXiv : cond-mat/0606765 . Bibcode :2006EL.....75..631S. doi :10.1209/epl/i2006-10146-1. S2CID  119005054.
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2007). «Универсально оптимальное распределение точек на сферах». J. Amer. Math. Soc . 20 (1): 99–148. arXiv : math/0607446 . Bibcode :2007JAMS...20...99C. doi :10.1090/S0894-0347-06-00546-7. S2CID  26614691.
• Уэйлс, DJ; Маккей, H.; Альтшулер, EL (2009). «Дефектные мотивы для сферических топологий». Phys. Rev. B. 79 ( 22): 224115. Bibcode : 2009PhRvB..79v4115W. doi : 10.1103/PhysRevB.79.224115.. Конфигурации воспроизведены в Wales, DJ; Ulker, S. "The Cambridge cluster database".
• Риджуэй, В. Дж. М.; Чевяков, А. Ф. (2018). «Итеративная процедура поиска локально и глобально оптимальных расположений частиц на единичной сфере». Comput. Phys. Commun . 233 : 84–109. Bibcode :2018CoPhC.233...84R. doi :10.1016/j.cpc.2018.03.029. S2CID  52097788.
• Cecka, Cris; Bowick, Mark J.; Middleton, Alan A. «Thomson Problem @ SU» Архивировано из оригинала 2018-04-09 . Получено 2009-11-24 .
• На этой веб-странице вы найдете гораздо больше электронных конфигураций с наименьшей известной энергией: https://www.hars.us.