Закон Торричелли

Теорема в механике жидкости

Закон Торричелли описывает скорость разделения струи воды, основанную на расстоянии под поверхностью, на которой начинается струя, предполагая отсутствие сопротивления воздуха, вязкости или других препятствий для потока жидкости. На этой диаграмме показано несколько таких струй, выровненных по вертикали, покидающих резервуар горизонтально. В этом случае струи имеют огибающую ( концепция также принадлежащая Торричелли), которая представляет собой линию, спускающуюся под углом 45° от поверхности воды над струями. Каждая струя достигает дальше любой другой струи в точке, где она касается оболочки, которая находится на двойной глубине источника струи. Глубина, на которой пересекаются две струи, является суммой глубин их источников. Каждая струя (даже если она не покидает горизонтально) проходит параболическую траекторию, директрисой которой является поверхность воды.

Закон Торричелли , также известный как теорема Торричелли , — это теорема в гидродинамике, связывающая скорость жидкости, вытекающей из отверстия, с высотой жидкости над отверстием. Закон гласит, что скорость истечения жидкости через отверстие с острым краем в стенке резервуара, заполненного до высоты над отверстием, равна скорости, которую приобрело бы тело при свободном падении с высоты , ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$

где — ускорение под действием силы тяжести . Это выражение получается путем приравнивания полученной кинетической энергии, , к потерянной потенциальной энергии, , и решения для . Закон был открыт (хотя и не в этой форме) итальянским ученым Эванджелистой Торричелли в 1643 году. Позднее было показано, что он является частным случаем принципа Бернулли . ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv^{2}}$ ${\displaystyle mgh}$ ${\displaystyle v}$

Вывод

В предположении несжимаемой жидкости с пренебрежимо малой вязкостью принцип Бернулли утверждает, что гидравлическая энергия постоянна.

${\displaystyle {\frac {p_{1}}{\rho _{1}}}+{\frac {{v_{1}}^{2}}{2}}+gy_{1}={\frac {p_{2}}{\rho _{2}}}+{\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}+gy_{2}={\text{constant}}}$

в любых двух точках текущей жидкости. Здесь — скорость жидкости, — ускорение свободного падения, — высота над некоторой точкой отсчета, — давление, — плотность. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \rho }$

Для вывода формулы Торричелли первая точка без индекса берется на поверхности жидкости, а вторая — сразу за отверстием. Поскольку жидкость предполагается несжимаемой, равно и; оба могут быть представлены одним символом . Давление и обычно являются атмосферным давлением, поэтому . Кроме того, равно высоте поверхности жидкости над отверстием: ${\displaystyle \rho _{1}}$ ${\displaystyle \rho _{2}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle p_{1}=p_{2}\Rightarrow p_{1}-p_{2}=0}$ ${\displaystyle y_{1}-y_{2}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {{v_{1}}^{2}}{2}}+gh={\frac {{v_{2}}^{2}}{2}}}$

Скорость поверхности может быть связана со скоростью истечения уравнением непрерывности , где - поперечное сечение отверстия, а - поперечное сечение (цилиндрического) сосуда. Переименование в (A like Aperture) дает: ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{1}A=v_{2}A_{A}}$ ${\displaystyle A_{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle v_{A}}$

${\displaystyle {\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}+gh={\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle \Rightarrow gh={\frac {{v_{A}}^{2}}{2}}\left(1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}\right).}$

${\displaystyle \Rightarrow {v_{A}}={\sqrt {\frac {2gh}{1-{\frac {A_{A}^{2}}{A^{2}}}}}}.}$

Закон Торричелли получается как частный случай, когда отверстие очень мало по сравнению с горизонтальным сечением контейнера : ${\displaystyle A_{A}}$ ${\displaystyle A_{1}}$

${\displaystyle v_{A}={\sqrt {2gh}}.}$

Закон Торричелли можно применять только тогда, когда можно пренебречь эффектами вязкости, что имеет место в случае вытекания воды через отверстия в сосудах.

Экспериментальная проверка: эксперимент с фонтанированием

Эксперимент по определению траектории вытекающей струи: Вертикальные стержни регулируются так, чтобы они почти касались струи. После эксперимента расстояние между горизонтальной линией и местоположением струи может быть измерено путем регулировки длины стержней.

Каждая физическая теория должна быть проверена экспериментами. Эксперимент с фонтанирующей банкой состоит из цилиндрического сосуда, заполненного водой, с несколькими отверстиями на разной высоте. Он предназначен для того, чтобы показать, что в жидкости с открытой поверхностью давление увеличивается с глубиной. Чем ниже струя в трубке, тем она мощнее. Скорость выхода жидкости больше по мере продвижения вниз по трубке. ^[1]

Вытекающая струя образует нисходящую параболу, где каждая парабола простирается тем дальше, чем больше расстояние между отверстием и поверхностью. Форма параболы зависит только от скорости истечения и может быть определена из того факта, что каждая молекула жидкости образует баллистическую траекторию (см. движение снаряда ), где начальная скорость является скоростью истечения : ${\displaystyle y(x)}$ ${\displaystyle v_{A}}$

${\displaystyle y(x)=-{\frac {1}{2}}{\frac {g}{v_{A}^{2}}}x^{2}.}$

Результаты полностью подтверждают правильность закона Торричелли.

Разгрузка и время опорожнения цилиндрического сосуда

Если предположить, что сосуд имеет цилиндрическую форму с фиксированной площадью поперечного сечения , с отверстием площадью в нижней части, то скорость изменения высоты уровня воды не является постоянной. Объем воды в сосуде изменяется из-за сброса из сосуда: ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A_{A}}$ ${\displaystyle dh/dt}$ ${\displaystyle {\dot {V}}}$

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}={\dot {V}}=A_{A}v_{A}=A_{A}{\sqrt {2gh}}\quad \Rightarrow \quad A{\frac {dh}{\sqrt {h}}}=A_{A}{\sqrt {2g}}\;dt}$

Интегрируя обе части и переставляя, получаем

${\displaystyle T={\frac {A}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2H}{g}}},}$

где — начальная высота уровня воды, — общее время, необходимое для слива всей воды и, следовательно, опорожнения сосуда. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

Эта формула имеет несколько значений. Если бак с объемом с поперечным сечением и высотой , так что , полностью заполнен, то время слива всей воды равно ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V=AH}$

${\displaystyle T={\frac {V}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2}{gH}}}.}$

Это означает, что высокие баки с одинаковым объемом заполнения опорожняются быстрее, чем более широкие.

Наконец, мы можем переписать приведенное выше уравнение, чтобы определить высоту уровня воды как функцию времени : ${\displaystyle h(t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle h(t)=H\left(1-{\frac {t}{T}}\right)^{2},}$

где - высота контейнера, а - время выгрузки, как указано выше. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$

Эксперимент по разряду, коэффициент разряда

Теорию разряда можно проверить, измерив время опорожнения или временной ряд уровня воды внутри цилиндрического сосуда. Во многих случаях такие эксперименты не подтверждают представленную теорию разряда: при сравнении теоретических предсказаний процесса разряда с измерениями в таких случаях можно обнаружить очень большие различия. В реальности резервуар обычно опорожняется гораздо медленнее. Рассматривая формулу разряда ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle h(t)}$

${\displaystyle {\dot {V}}=A_{A}v_{A}=A_{A}{\sqrt {2gh}}}$

Причиной этого расхождения могут быть две величины: скорость истечения или эффективное сечение истечения.

Рисунок 28 из «Гидродинамики» Даниила Бернулли (1738 г.), иллюстрирующий образование vena contracta с линиями тока.

В 1738 году Даниил Бернулли объяснил расхождение между теоретическим и наблюдаемым поведением оттока образованием суженной вены , которая уменьшает поперечное сечение оттока от поперечного сечения отверстия до суженного поперечного сечения , и заявил, что отток происходит следующим образом: ${\displaystyle A_{A}}$ ${\displaystyle A_{C}}$

${\displaystyle {\dot {V}}=A_{C}v_{A}=A_{C}{\sqrt {2gh}}}$

На самом деле это подтверждается передовыми экспериментами (см. ^[2] ), в которых измерялись расход, скорость оттока и поперечное сечение vena contracta. Здесь также было показано, что скорость оттока очень хорошо предсказывается законом Торричелли и что не требуется никакой коррекции скорости (вроде «коэффициента скорости»).

Проблема остается в том, как определить поперечное сечение vena contracta. Обычно это делается путем введения коэффициента расхода , который связывает расход с поперечным сечением отверстия и законом Торричелли:

${\displaystyle {\dot {V}}_{\text{real}}=\mu A_{A}v_{A}\quad {\text{with}}\quad \mu ={\frac {A_{C}}{A_{A}}}}$

Для жидкостей с низкой вязкостью (например, вода), вытекающих из круглого отверстия в резервуаре, коэффициент истечения составляет порядка 0,65. ^[3] При выпуске через круглую трубку или шланг коэффициент истечения может быть увеличен до более чем 0,9. Для прямоугольных отверстий коэффициент истечения может достигать 0,67 в зависимости от соотношения высоты и ширины.

Приложения

Горизонтальное расстояние, пройденное струей жидкости

Если - высота отверстия над землей, а - высота столба жидкости от земли (высота поверхности жидкости), то можно легко вывести горизонтальное расстояние, пройденное струей жидкости, чтобы достичь того же уровня, что и основание столба жидкости. Поскольку - вертикальная высота, пройденная частицей струйного потока, то из законов падающего тела имеем ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h={\frac {1}{2}}gt^{2}\quad \Rightarrow \quad t={\sqrt {\frac {2h}{g}}},}$

где - время, необходимое частице струи для падения от отверстия до земли. Если горизонтальная скорость истечения равна , то горизонтальное расстояние, пройденное частицей струи за время, равно ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle D=vt=v{\sqrt {\frac {2h}{g}}}.}$

Поскольку уровень воды находится выше отверстия, горизонтальная скорость истечения, как указано в законе Торричелли. Таким образом, из двух уравнений имеем ${\displaystyle H-h}$ ${\displaystyle v={\sqrt {2g(H-h)}},}$

${\displaystyle D=2{\sqrt {h(H-h)}}.}$

Расположение отверстия, которое обеспечивает максимальный горизонтальный диапазон, получается путем дифференцирования приведенного выше уравнения по отношению к и решения . Здесь мы имеем ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle dD/dh=0}$

${\displaystyle {\frac {dD}{dh}}={\frac {H-2h}{\sqrt {h(H-h)}}}.}$

Решая получаем ${\displaystyle dD/dh=0,}$

${\displaystyle h^{*}={\frac {H}{2}},}$

и максимальный диапазон

${\displaystyle D_{\max }=H.}$

Проблема Клепсидры

Приток клепсидры

Клепсидра — это часы, которые измеряют время потоком воды. Они состоят из горшка с небольшим отверстием на дне, через которое может вытекать вода. Количество вытекающей воды дает меру времени. Согласно закону Торричелли, скорость вытекания через отверстие зависит от высоты воды; и по мере того, как уровень воды уменьшается, слив неравномерный. Простым решением является поддержание постоянной высоты воды. Этого можно достичь, позволяя постоянному потоку воды втекать в сосуд, перелив которого вытекает сверху, через другое отверстие. Таким образом, имея постоянную высоту, вытекающая снизу вода может быть собрана в другой цилиндрический сосуд с равномерной градуировкой для измерения времени. Это приточная клепсидра.

В качестве альтернативы, тщательно выбрав форму сосуда, можно заставить уровень воды в сосуде уменьшаться с постоянной скоростью. Измеряя уровень воды, оставшейся в сосуде, можно измерить время с равномерной градуировкой. Это пример клепсидры с оттоком. Поскольку скорость оттока воды выше, когда уровень воды выше (из-за большего давления), объем жидкости должен быть больше, чем у простого цилиндра, когда уровень воды высок. То есть радиус должен быть больше, когда уровень воды выше. Пусть радиус увеличивается с высотой уровня воды над выходным отверстием площади То есть, . Мы хотим найти радиус, такой, чтобы уровень воды имел постоянную скорость убывания, то есть . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle a.}$ ${\displaystyle r=f(h)}$ ${\displaystyle dh/dt=c}$

При заданном уровне воды площадь водной поверхности равна . Мгновенная скорость изменения объема воды равна ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle A=\pi r^{2}}$

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A{\frac {dh}{dt}}=\pi r^{2}c.}$

По закону Торричелли скорость оттока равна

${\displaystyle {\frac {dV}{dt}}=A_{A}v=A_{A}{\sqrt {2gh}},}$

Из этих двух уравнений,

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{A}{\sqrt {2gh}}&=\pi r^{2}c\\\Rightarrow \quad h&={\frac {\pi ^{2}c^{2}}{2gA_{A}^{2}}}r^{4}.\end{aligned}}}$

Таким образом, радиус контейнера должен изменяться пропорционально корню четвертой степени из его высоты, ${\displaystyle r\propto {\sqrt[{4}]{h}}.}$

Аналогично, если форма сосуда отводящей клепсидры не может быть изменена в соответствии с вышеуказанной спецификацией, то нам необходимо использовать неравномерную градуировку для измерения времени. Формула времени опорожнения выше говорит нам, что время должно быть откалибровано как квадратный корень высоты сбрасываемой воды, Точнее, ${\displaystyle T\propto {\sqrt {h}}.}$

${\displaystyle \Delta t={\frac {A}{A_{A}}}{\sqrt {\frac {2}{g}}}({\sqrt {h_{1}}}-{\sqrt {h_{2}}})}$

где - время, необходимое уровню воды для падения с высоты до высоты . ${\displaystyle \Delta t}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$

Первоначальный вывод Торричелли

Рисунки из «Геометрической оперы» Эванджелиста Торричелли (1644 г.), описывающие вывод его знаменитой формулы истечения: (a) Одна трубка заполнена водой от точки A до точки B. (b) В двух соединенных трубках вода поднимается на одинаковую высоту. (c) Если убрать трубку C, вода должна подняться на высоту D. Из-за трения вода поднимается только до точки C.

Оригинальный вывод Эванджелисты Торричелли можно найти во второй книге «De motu aquarum» его «Opera Geometrica» (см. ^[4] ): Он начинает с трубки AB (рисунок (a)), заполненной водой до уровня A. Затем на уровне B просверливается узкое отверстие и соединяется со второй вертикальной трубкой BC. Благодаря гидростатическому принципу сообщающихся сосудов вода поднимается до одинакового уровня заполнения AC в обеих трубках (рисунок (b)). Когда, наконец, трубка BC удаляется (рисунок (c)), вода должна снова подняться на эту высоту, которая на рисунке (c) обозначена как AD. Причиной такого поведения является тот факт, что скорость падения капли с высоты A на B равна начальной скорости, которая необходима для подъема капли с B на A.

При проведении такого эксперимента будет достигнута только высота C (вместо D на рисунке (c)), что противоречит предлагаемой теории. Торричелли приписывает этот недостаток сопротивлению воздуха и тому факту, что падающие капли сталкиваются с восходящими каплями.

Аргументация Торричелли, по сути, неверна, поскольку давление в свободной струе — это окружающее атмосферное давление, а давление в сообщающемся сосуде — это гидростатическое давление. В то время понятие давления было неизвестно.

Смотрите также

• Закон Дарси
• Динамическое давление
• Статика жидкости
• Уравнение Хагена–Пуазейля
• Теоремы Гельмгольца
• Уравнения Кирхгофа
• Уравнение Кнудсена
• Уравнение Мэннинга
• Уравнение с пологим наклоном
• Уравнение Морисона
• Уравнения Навье–Стокса
• поток Oseen
• Закон Паскаля
• Закон Пуазейля
• Потенциальный поток
• Давление
• Статическое давление
• Напорная головка
• Релятивистские уравнения Эйлера
• разложение Рейнольдса
• Стокса поток
• Функция тока Стокса
• Функция потока
• Линии тока, линии траектории и траектории

Ссылки

1. Выброс потока жидкости из цилиндра.
2. JH Lienhard (V) и JH Lienhard (IV): Коэффициенты скорости свободных струй из отверстий с острыми краями, Журнал по гидродинамике 106, 13–17, 1984, https://doi.org/10.1115/1.3242391
3. tec-science (2019-11-21). "Истечение жидкостей (закон Торричелли)". tec-science . Получено 2019-12-08 .
4. А. Малчерек: История принципа Торричелли и новая теория оттока, Журнал гидравлической инженерии 142(11),1-7,2016, https://doi.org/10.1061/(ASCE)HY.1943-7900.0001232)

Дальнейшее чтение

• TE Faber (1995). Гидродинамика для физиков . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-42969-6.
• Стэнли Миддлман, Введение в гидродинамику: принципы анализа и проектирования ( John Wiley & Sons , 1997) ISBN 978-0-471-18209-2 
• Деннис Г. Зилл (14 мая 2008 г.). Первый курс дифференциальных уравнений. Cengage Learning. ISBN 978-0-495-10824-5.