В логике закон тождества гласит, что каждая вещь тождественна самой себе. Это первый из трех исторических законов мышления , наряду с законом непротиворечия и законом исключенного третьего . Однако лишь немногие системы логики построены только на этих законах.
Самое раннее зафиксированное использование этого закона встречается в диалоге Платона « Теэтет» (185а), в котором Сократ пытается установить, что то, что мы называем «звуками» и «цветами», представляет собой два разных класса вещей:
Сократ: Что касается звука и цвета, то, во-первых, думаешь ли ты об обоих так: что они оба есть?
Теэтет: Да.
Сократ: Тогда думаешь ли ты, что каждое из них отличается от другого и тождественно самому себе ?
Теэтет: Конечно.
Сократ: И что оба они двое, и каждое из них одно?
Теэтет: Да, и это тоже.
Он используется явно только один раз у Аристотеля, в доказательстве в « Первой аналитике» : [1] [2]
Когда А принадлежит всему В и С и не утверждается ни о чем другом, а В также принадлежит всем С, необходимо, чтобы А и В были обратимы: ибо поскольку А говорится только о В и С, а В утверждается как о себе, так и о С, то ясно, что В будет сказано обо всем, о чем говорится А, кроме самого А.
— Аристотель, «Первая аналитика» , книга II, часть 22, 68а
Аристотель считал закон непротиворечия самым фундаментальным законом. И Фома Аквинский ( Met. IV, lect. 6), и Дунс Скот ( Quaest. sup. Met. IV, Q. 3) следуют Аристотелю в этом отношении. Антоний Андреас , испанский ученик Скота (ум. 1320), утверждает, что первое место должно принадлежать закону «Всякое существо есть существо» ( Omne Ens est Ens , Qq. in Met. IV, Q. 4), но покойный схоласт Франсиско Суарес ( Disp. Met. III, § 3) не соглашался, также предпочитая следовать Аристотелю.
Другой возможный намек на тот же принцип можно найти в трудах Николая Кузанского (1431–1464), где он говорит:
...не может быть нескольких вещей, совершенно одинаковых, ибо в таком случае не было бы нескольких вещей, а была бы одна и та же вещь. Поэтому все вещи и согласуются друг с другом, и различаются друг от друга. [3]
Готфрид Вильгельм Лейбниц утверждал, что закон тождества, который он выражает как «Всё есть то, что оно есть», является первой примитивной истиной разума, которая является утвердительной, а закон непротиворечия — первой отрицательной истиной ( Nouv. Ess. IV, 2, § i), утверждая, что «утверждение, что вещь есть то, что она есть, предшествует утверждению, что она не есть другая вещь» ( Nouv. Ess. IV, 7, § 9). Вильгельм Вундт приписывает Готфриду Лейбницу символическую формулировку: «А есть А». [4] Закон Лейбница — это похожий принцип, согласно которому если два объекта имеют все одинаковые свойства, то они фактически являются одним и тем же: Fx и Fy тогда и только тогда, когда x = y.
Джон Локк ( Эссе о человеческом разумении IV. vii. iv. («О максимах») говорит:
[...] всякий раз, когда ум внимательно рассматривает какое-либо предложение, чтобы воспринять две идеи, обозначенные терминами, и утверждаемые или отрицаемые одна из них как одинаковые или различные, он немедленно и безошибочно уверен в истинности такого предложения; и это в равной степени независимо от того, выражены ли эти предложения в терминах, обозначающих более общие идеи, или в таких, которые менее общие: например, утверждается ли общая идея Бытия сама по себе, как в этом предложении, «все, что есть, есть»; или утверждается более частная идея сама по себе, как «человек есть человек»; или «все, что белое, есть белое» [...]
Африкан Спир провозглашает закон тождества как фундаментальный закон познания, который противостоит изменчивому облику эмпирической реальности. [5]
Джордж Буль во введении к своему трактату « Законы мышления» сделал следующее замечание относительно природы языка и тех принципов, которые должны быть ему присущи, чтобы быть понятными:
Действительно, существуют некоторые общие принципы, основанные на самой природе языка, посредством которых определяется использование символов, которые являются лишь элементами научного языка. В определенной степени эти элементы произвольны. Их интерпретация чисто условна: нам разрешено использовать их в любом смысле, который нам нравится. Но это разрешение ограничено двумя необходимыми условиями: во-первых, что от однажды условно установленного смысла мы никогда, в том же самом процессе рассуждения, не отступаем; во-вторых, что законы, по которым осуществляется этот процесс, должны основываться исключительно на вышеуказанном фиксированном смысле или значении используемых символов.
Объективизм , философия, основанная писательницей Айн Рэнд , основана на трех аксиомах, одна из которых — закон тождества: «А есть А». В объективизме Айн Рэнд закон тождества используется с концепцией существования, чтобы вывести, что то, что существует, есть нечто. [6] В объективистской эпистемологии логика основана на законе тождества. [7]
В « Основаниях арифметики » Готлоб Фреге связал число один со свойством быть тождественным самому себе. Статья Фреге « О смысле и референции » начинается с обсуждения равенства и значения . Фреге задавался вопросом, как истинное утверждение формы «a = a», тривиальный пример закона тождества, может отличаться от истинного утверждения формы «a = b», подлинного расширения знания, если значение термина является его референтом.
Бертран Рассел в своей книге « Об обозначении » приводит похожую загадку: «Если a тождественно b, то все, что верно относительно одного, верно и относительно другого, и одно из них может быть заменено другим, не меняя истинности или ложности этого предложения. Теперь Георг IV пожелал узнать, был ли Скотт автором Уэверли ; и на самом деле Скотт был автором Уэверли . Следовательно, мы можем заменить «автора Уэверли » на «Скотт » и тем самым доказать, что Георг IV пожелал узнать, был ли Скотт Скоттом. Однако интерес к закону тождества вряд ли можно приписать первому джентльмену Европы».
В своем « Логико-философском трактате » Людвиг Витгенштейн пишет, что «грубо говоря: сказать о двух вещах, что они тождественны, — это бессмыслица, а сказать об одной вещи, что она тождественна сама себе, — это ничего не сказать». [8]
В формальной логике аналитической философии закон тождества записывается как « a = a » или «For all x : x = x », где a или x относятся к термину, а не к предложению , и, таким образом, закон тождества не используется в пропозициональной логике . Это то, что выражается знаком равенства «=», понятием тождества или равенства .
Мартин Хайдеггер выступил в 1957 году с докладом под названием «Der Satz der Identität» («Утверждение тождества»), где связал закон тождества «А=А» с фрагментом Парменида «to gar auto estin noien te kai einai» (ибо одно и то же может быть мыслимо и может существовать). [ необходима цитата ] Таким образом, Хайдеггер понимает тождество, исходя из отношения Мышления и Бытия и из принадлежности Мышления и Бытия друг другу.
Жиль Делез писал, что « Различие и повторение » предшествуют любой концепции идентичности. [ необходима цитата ]
В логике первого порядка тождество (или равенство) представлено как двуместный предикат или отношение =. Тождество — это отношение на индивидах . Это не отношение между предложениями , и оно не касается ни значения предложений, ни двусмысленности. Закон тождества может быть выражен как , где x — это переменная, охватывающая область всех индивидов. В логике существуют различные способы обращения с тождеством. В логике первого порядка с тождеством тождество рассматривается как логическая константа, а его аксиомы являются частью самой логики. Согласно этому соглашению, закон тождества является логической истиной.
В логике первого порядка без тождества тождество рассматривается как интерпретируемый предикат , а его аксиомы предоставляются теорией. Это позволяет использовать более широкое отношение эквивалентности , которое может позволить a = b быть удовлетворенным различными индивидами a и b . Согласно этому соглашению, модель называется нормальной, когда никакие различные индивиды a и b не удовлетворяют a = b .
Одним из примеров логики, ограничивающей закон тождества таким образом, является логика Шредингера .
