Замощение евклидова или гиперболического пространства трех и более измерений.
В геометрии соты — это заполнение пространства или плотная упаковка многогранных ячеек или ячеек более высокой размерности , так что не остается пробелов. Это пример более общего математического разбиения или мозаики в любом количестве измерений. Его размерность можно уточнить как n -соту для соты n -мерного пространства.
Соты обычно строятся в обычном евклидовом («плоском») пространстве. Они также могут быть построены в неевклидовых пространствах , таких как гиперболические соты. Любой конечный однородный многогранник можно спроецировать на его описанную сферу , чтобы сформировать однородную соту в сферическом пространстве.
Классификация
Существует бесконечно много сот, которые классифицированы лишь частично. Наибольший интерес вызвали более регулярные, в то время как продолжает открываться богатый и разнообразный ассортимент других.
Простейшие соты формируются из сложенных друг на друга слоев или плит призм , основанных на некоторых мозаиках плоскости. В частности, для каждого параллелепипеда копии могут заполнять пространство, причем кубические соты являются особенными, поскольку это единственные правильные соты в обычном (евклидовом) пространстве. Еще одно интересное семейство — тетраэдры Хилла и их обобщения, которые также могут замостить пространство.
Соты называются регулярными , если группа изометрий, сохраняющих замощение, действует транзитивно на флагах, где флагом является вершина, лежащая на ребре, лежащем на грани, лежащей на ячейке. Любые обычные соты автоматически становятся однородными. Однако в евклидовом трехмерном пространстве есть только одна правильная сота — кубическая сота . Два являются квазирегулярными (состоящими из двух типов правильных ячеек):
Тетраэдрально -октаэдрические соты и вращающиеся тетраэдрально-октаэдрические соты образуются из 3 или 2 положений пластинчатого слоя ячеек, в каждом из которых чередуются тетраэдры и октаэдры. Бесконечное количество уникальных сот может быть создано с помощью шаблонов более высокого порядка повторения этих слоев плиты.
Многогранники, заполняющие пространство
Соты, в которых все ячейки идентичны в пределах своей симметрии, называются клеточно-транзитивными или изохорными . В трехмерном евклидовом пространстве ячейка такой соты называется заполняющим пространство многогранником . [2] Необходимым условием для того, чтобы многогранник был многогранником, заполняющим пространство, является то, что его инвариант Дена должен быть равен нулю, [3] [4] исключая любое из Платоновых тел , кроме куба.
Пять выпуклых многогранников, заполняющих пространство, могут замощить трехмерное евклидово пространство, используя только сдвиги. Их называют параллелоэдрами :
Иногда два [11] или более разных многогранника могут быть объединены для заполнения пространства. Помимо множества однородных сот, другим хорошо известным примером является структура Вейра-Фелана , заимствованная из структуры кристаллов клатратных гидратов [12].
Невыпуклые 3-сотовые соты
Документированные примеры редки. Можно выделить два класса:
Перекрытие ячеек, положительная и отрицательная плотности которых «уравновешиваются», образуя равномерно плотный континуум, аналогично перекрывающимся мозаикам плоскости.
Гиперболические соты
В трехмерном гиперболическом пространстве двугранный угол многогранника зависит от его размера. Таким образом, правильные гиперболические соты включают две с четырьмя или пятью додекаэдрами , сходящимися на каждом ребре; их двугранные углы, таким образом, равны π/2 и 2π/5, оба из которых меньше, чем у евклидова додекаэдра. Помимо этого эффекта, гиперболические соты подчиняются тем же топологическим ограничениям, что и евклидовы соты и полихора.
На каждую соту приходится двойная сота, которую можно получить путем обмена:
ячейки для вершин.
грани для ребер.
Это всего лишь правила дуализации четырехмерных 4-многогранников , за исключением того, что обычный конечный метод возвратно-поступательного движения вокруг концентрической гиперсферы может столкнуться с проблемами.
Более регулярные соты аккуратно дуализируются:
Кубические соты самодвойственны.
Структура октаэдров и тетраэдров двойственна структуре ромбических додекаэдров.
Плитные соты, полученные из однородных плоских мозаик, двойственны друг другу так же, как и мозаики.
Все двойники остальных архимедовых сот являются клеточно-транзитивными и были описаны Инчбальдом. [13]
^ Дебруннер, Ханс Э. (1980), "Über Zerlegungsgleichheit von Pflasterpolyedern mit Würfeln", Archiv der Mathematik (на немецком языке), 35 (6): 583–587, doi : 10.1007/BF01235384, MR 0604258, S2CID 121301319.
^ [1] Равномерное заполнение пространства с использованием треугольных, квадратных и шестиугольных призм.
^ [2] Равномерное заполнение пространства с использованием только ромбо-шестиугольных додекаэдров.
^ [3] Равномерное заполнение пространства с использованием только усеченных октаэдров.
^ Джон Конвей (22 декабря 2003 г.). "Многогранник Вороного. геометрия.пазлы". Группа новостей : geometry.puzzles. Usenet: Pine.LNX.4.44.0312221226380.25139-100000@fine318a.math.Princeton.EDU.
^ X. Цянь, Д. Страс и Т. Шлик, J. Comput. хим. 22 (15) 1843–1850 (2001)
^ [4] О. Дельгадо-Фридрихс и М. О'Киф. Изоэдральные простые замощения: бинодали и плитки с <16 гранями. Акта Кристаллогр. (2005) А61, 358-362
^ [5] Архивировано 30 июня 2015 г. в Wayback Machine Gabbrielli, Руджеро. Тринадцатигранный многогранник, заполняющий пространство своей киральной копией.
^ Полинг, Лайнус. Природа химической связи. Издательство Корнелльского университета, 1960 г.
^ Инчбальд, Гай (июль 1997 г.), «Архимедовы сотовые двойственные числа», The Mathematical Gazette , 81 (491): 213–219, doi : 10.2307/3619198, JSTOR 3619198.
Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc., стр. 164–199. ISBN 0-486-23729-Х.Глава 5: Упаковка многогранников и заполнение пространства
Кричлоу, К.: Порядок в космосе .
Пирс П.: Структура в природе — это стратегия дизайна .
Гольдберг, Майкл Три бесконечных семейства тетраэдрических заполнителей пространства Журнал комбинаторной теории A, 16, стр. 348–354, 1974.
Гольдберг, Майкл (1972). «Пятигранники, заполняющие пространство». Журнал комбинаторной теории, серия А. 13 (3): 437–443. дои : 10.1016/0097-3165(72)90077-5.
Гольдберг, Майкл Пентаэдры, заполняющие пространство II , Журнал комбинаторной теории 17 (1974), 375–378.
Гольдберг, Майкл (1977). «О заполняющих пространство шестигранниках». Геометрии посвященные . 6 . дои : 10.1007/BF00181585. S2CID 189889869.
Гольдберг, Майкл (1978). «О заполняющих пространство семигранниках». Геометрии посвященные . 7 (2): 175–184. дои : 10.1007/BF00181630. S2CID 120562040.
Гольдберг, Майкл Выпуклые многогранные заполнители пространства с более чем двенадцатью гранями. Геом. Посвящение 8, 491–500, 1979.
Гольдберг, Майкл (1981). «О заполняющих пространство октаэдрах». Геометрии посвященные . 10 (1–4): 323–335. дои : 10.1007/BF01447431. S2CID 189876836.
Гольдберг, Майкл (1982). «О заполняющих пространство декаэдрах». Структурная топология (7): 39–44. HDL : 2099/990.