Теория Ивасавы

Исследование объектов арифметического интереса над бесконечными башнями числовых полей

В теории чисел теория Ивасавы представляет собой исследование объектов, представляющих арифметический интерес, над бесконечными башнями числовых полей . Это началось как теория модулей Галуа групп идеальных классов , инициированная Кенкичи Ивасавой  (1959) (岩澤 健吉), как часть теории круговых полей . В начале 1970-х годов Барри Мазур рассматривал обобщения теории Ивасавы на абелевы многообразия . Совсем недавно (начало 1990-х годов) Ральф Гринберг предложил теорию мотивов Ивасавы .

Формулировка

Ивасава работал с так называемыми -расширениями: бесконечными расширениями числового поля с группой Галуа, изоморфной аддитивной группе p-адических целых чисел для некоторого простого числа p . ( В ранних статьях они назывались -расширениями. ^[1] ) Каждая замкнутая подгруппа имеет вид, поэтому согласно теории Галуа -расширение - это то же самое, что башня полей ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{p^{n}},}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle F_{\infty }/F}$

${\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{\infty }}$

такой, что Ивасава изучал классические модули Галуа , задавая вопросы о структуре модулей над ${\displaystyle \operatorname {Gal} (F_{n}/F)\cong \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{\infty }.}$

В более общем смысле, теория Ивасавы задает вопросы о структуре модулей Галуа над расширениями с группой Галуа, являющейся p-адической группой Ли .

Пример

Пусть – простое число, и пусть – поле, порожденное корнями пятой степени из единицы. Ивасава рассмотрел следующую башню числовых полей: ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\mu _{p})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle K=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{\infty },}$

где – поле, порожденное присоединением к p n ^{+1 -го} корням из единицы и ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K_{\infty }=\bigcup K_{n}.}$

Тот факт , что из бесконечной теории Галуа следует, что Чтобы получить интересный модуль Галуа, Ивасава взял идеальную группу классов , и пусть это будет ее p -торсионная часть. Карты норм всегда существуют , и это дает нам данные обратной системы . Если мы установим ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{n}/K)\simeq \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{\infty }/K)\simeq \varprojlim _{n}\mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} =\mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle I_{m}\to I_{n}}$ ${\displaystyle m>n}$

${\displaystyle I=\varprojlim I_{n},}$

то из обратной предельной конструкции нетрудно увидеть, что это модуль над алгеброй Ивасавы . Это двумерное регулярное локальное кольцо , и это позволяет описывать над ним модули. Из этого описания можно восстановить информацию о p -части группы классов ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}.}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} _{p}[[\Gamma ]]}$ ${\displaystyle K.}$

Мотивация здесь состоит в том, что p -кручение в группе идеальных классов уже было идентифицировано Куммером как главное препятствие к прямому доказательству Великой теоремы Ферма . ${\displaystyle K}$

Связи с p-адическим анализом

С этого момента, в 1950-е годы, была создана содержательная теория. Была замечена фундаментальная связь между теорией модулей и p-адическими L-функциями , которые были определены в 1960-х годах Куботой и Леопольдтом. Последние начинаются с чисел Бернулли и используют интерполяцию для определения p-адических аналогов L-функций Дирихле . Стало ясно, что у теории есть перспективы продвинуться наконец вперед по сравнению с результатами Куммера столетней давности о регулярных простых числах .

Ивасава сформулировал основную гипотезу теории Ивасавы как утверждение о том, что два метода определения p-адических L-функций (по теории модулей, путем интерполяции) должны совпадать, насколько это корректно определено. Это было доказано Мазуром и Уайлсом (1984) для всех полностью действительных числовых полей Уайлсом (1990). Эти доказательства были созданы по образцу доказательства Кена Рибета , обратного теореме Эрбрана (так называемая теорема Эрбрана-Рибе ). ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Карл Рубин нашел более элементарное доказательство теоремы Мазура-Уайлса, используя системы Эйлера Колывагина , описанные в Lang (1990) и Washington (1997), а позже доказал другие обобщения основной гипотезы для мнимых квадратичных полей.

Обобщения

Группу Галуа бесконечной башни, стартовое поле и тип изучаемого арифметического модуля можно варьировать. В каждом случае существует основная гипотеза , связывающая башню с p -адической L-функцией.

В 2002 году Кристофер Скиннер и Эрик Урбан заявили о доказательстве основной гипотезы GL (2). В 2010 году они опубликовали препринт (Skinner & Urban 2010).

Смотрите также

• Теорема Ферреро – Вашингтона
• Модуль Тейта числового поля

Рекомендации

Источники

• Коутс, Дж .; Суджата, Р. (2006), Циклотомные поля и дзета-значения , Монографии Springer по математике, Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-33068-4, Збл  1100.11002
• Гринберг, Ральф (2001), «Теория Ивасавы — прошлое и настоящее», в Мияке, Кацуя (ред.), Теория поля классов — ее столетие и перспективы (Токио, 1998) , Adv. Стад. Чистая математика., вып. 30, Токио: Матем. Соц. Япония, стр. 335–385, ISBN. 978-4-931469-11-2, МР  1846466, Збл  0998.11054
• Ивасава, Кенкичи (1959), «О Γ-расширениях полей алгебраических чисел», Бюллетень Американского математического общества , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN  0002 -9904, МР  0124316, Збл  0089.02402
• Като, Казуя (2007), «Теория Ивасавы и обобщения» (PDF) , в Санс-Соле, Марта ; Сория, Хавьер; Варона, Хуан Луис; и другие. (ред.), Международный конгресс математиков. Том. Я , Евр. Математика. Soc., Цюрих, стр. 335–357, номер документа : 10.4171/022-1/14, ISBN. 978-3-03719-022-7, MR  2334196, заархивировано из оригинала (PDF) 22 сентября 2017 г. , получено 8 мая 2011 г.
• Ланг, Серж (1990), Циклотомические поля I и II, Тексты для аспирантов по математике , том. 121, С приложением Карла Рубина (объединенное 2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN. 978-0-387-96671-7, Збл  0704.11038
• Мазур, Барри ; Уайлс, Эндрю (1984), «Поля классов абелевых расширений Q », Inventiones Mathematicae , 76 (2): 179–330, Bibcode : 1984InMat..76..179M, doi : 10.1007/BF01388599, ISSN  0020-9910, МР  0742853, S2CID  122576427, Збл  0545.12005
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 323 (второе изд.), Берлин: Springer-Verlag , номер документа : 10.1007/978-3-540-37889-1, ISBN. 978-3-540-37888-4, МР  2392026, Збл  1136.11001
• Рубин, Карл (1991), «Основные гипотезы» теории Ивасавы для мнимых квадратичных полей», Inventiones Mathematicae , 103 (1): 25–68, Bibcode : 1991InMat.103...25R, doi : 10.1007/BF01239508, ISSN  0020-9910, S2CID  120179735, Збл  0737.11030
• Скиннер, Крис; Урбан, Эрик (2010), Основные гипотезы Ивасавы для GL2 (PDF) , стр. 219
• Вашингтон, Лоуренс К. (1997), Введение в круговые поля, Тексты для выпускников по математике, том. 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4
• Уайлс, Эндрю (1990), «Гипотеза Ивасавы для полностью реальных полей», Annals of Mathematics , 131 (3): 493–540, doi : 10.2307/1971468, JSTOR  1971468, Zbl  0719.11071.

Цитаты

1. Гринберг, Ральф. «Воспоминания о профессоре Ивасаве» . Проверено 25 сентября 2021 г.

дальнейшее чтение

• де Шалит, Эхуд (1987), теория Ивасавы эллиптических кривых с комплексным умножением. p -адические L- функции , Перспективы математики, вып. 3, Бостон и др.: Academic Press, ISBN. 978-0-12-210255-4, Збл  0674.12004

Внешние ссылки

• «Теория Ивасавы», Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]