Группа Галуа

Математическая группа

В математике , в области абстрактной алгебры , известной как теория Галуа , группа Галуа определенного типа расширения поля — это особая группа , связанная с расширением поля. Изучение расширений поля и их связи с полиномами , которые порождают их через группы Галуа, называется теорией Галуа , названной так в честь Эвариста Галуа, который впервые их открыл.

Более элементарное обсуждение групп Галуа в терминах групп перестановок см. в статье о теории Галуа .

Определение

Предположим, что является расширением поля ( записывается как и читается как « E над F » ). Автоморфизм определяется как автоморфизм , который фиксирует поточечно. Другими словами, автоморфизм является изоморфизмом таким , что для каждого . Множество всех автоморфизмов образует группу с операцией композиции функций . Эта группа иногда обозначается как ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha :E\to E}$ ${\displaystyle \alpha (x)=x}$ ${\displaystyle x\in F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F).}$

Если — расширение Галуа , то называется группой Галуа и обычно обозначается как . ^[1] ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Если не является расширением Галуа, то группа Галуа иногда определяется как , где — замыкание Галуа . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/F)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$

Группа Галуа многочлена

Другое определение группы Галуа происходит от группы Галуа многочлена . Если существует поле такое, что факторизуется как произведение линейных многочленов ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x)=(x-\alpha _{1})\cdots (x-\alpha _{k})\in K[x]}$

над полем , то группа Галуа многочлена определяется как группа Галуа , где является минимальной среди всех таких полей. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle K}$

Структура групп Галуа

Основная теорема теории Галуа

Одна из важных структурных теорем теории Галуа исходит из фундаментальной теоремы теории Галуа . Она утверждает, что при заданном конечном расширении Галуа существует биекция между множеством подполей и подгруппами Тогда, задается множеством инвариантов под действием , поэтому ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle k\subset E\subset K}$ ${\displaystyle H\subset G.}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle H}$

${\displaystyle E=K^{H}=\{a\in K:ga=a{\text{ where }}g\in H\}}$

Более того, если — нормальная подгруппа , то . И наоборот, если — нормальное расширение поля, то соответствующая подгруппа в — нормальная группа. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G/H\cong \operatorname {Gal} (E/k)}$ ${\displaystyle E/k}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$

Структура решетки

Предположим, что являются расширениями Галуа с группами Галуа Поле с группой Галуа имеет инъекцию , которая является изоморфизмом всякий раз, когда . ^[2] ${\displaystyle K_{1},K_{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{1},G_{2}.}$ ${\displaystyle K_{1}K_{2}}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K_{1}K_{2}/k)}$ ${\displaystyle G\to G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle K_{1}\cap K_{2}=k}$

Индукционный

Как следствие, это можно вывести конечное число раз. Даны расширения Галуа , где тогда существует изоморфизм соответствующих групп Галуа: ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}/k}$ ${\displaystyle K_{i+1}\cap (K_{1}\cdots K_{i})=k,}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (K_{1}\cdots K_{n}/k)\cong \operatorname {Gal} (K_{1}/k)\times \cdots \times \operatorname {Gal} (K_{n}/k).}$

Примеры

В следующих примерах — поле, а — поля комплексных , действительных и рациональных чисел соответственно. Обозначение F ( a ) указывает на расширение поля, полученное присоединением элемента a к полю F . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,\mathbb {R} ,\mathbb {Q} }$

Вычислительные инструменты

Мощность группы Галуа и степень расширения поля

Одно из основных предложений, необходимых для полного определения групп Галуа ^[3] конечного расширения поля, заключается в следующем: задан полином , пусть — его расширение поля расщепления. Тогда порядок группы Галуа равен степени расширения поля; то есть, ${\displaystyle f(x)\in F[x]}$ ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle \left|\operatorname {Gal} (E/F)\right|=[E:F]}$

Критерий Эйзенштейна

Полезный инструмент для определения группы Галуа многочлена исходит из критерия Эйзенштейна . Если многочлен разлагается на неприводимые многочлены, то группа Галуа может быть определена с использованием групп Галуа каждого из них , поскольку группа Галуа содержит каждую из групп Галуа ${\displaystyle f\in F[x]}$ ${\displaystyle f=f_{1}\cdots f_{k}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}.}$

Тривиальная группа

${\displaystyle \operatorname {Gal} (F/F)}$— тривиальная группа, имеющая единственный элемент, а именно тождественный автоморфизм.

Другим примером тривиальной группы Галуа является Действительно, можно показать, что любой автоморфизм должен сохранять порядок действительных чисел и, следовательно, должен быть тождественным. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {R} /\mathbb {Q} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Рассмотрим поле Группа содержит только тождественный автоморфизм. Это потому, что не является нормальным расширением , так как два других кубических корня из , ${\displaystyle K=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}).}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (K/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}}}$и ${\displaystyle \exp \left({\tfrac {4\pi i}{3}}\right){\sqrt[{3}]{2}},}$

отсутствуют в расширении — другими словами, K не является полем расщепления .

Конечные абелевы группы

Группа Галуа имеет два элемента: автоморфизм тождества и автоморфизм комплексного сопряжения . ^[4] ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {C} /\mathbb {R} )}$

Квадратичные расширения

Расширение поля степени два имеет группу Галуа с двумя элементами, тождественным автоморфизмом и автоморфизмом, который меняет местами и . Этот пример обобщает для простого числа ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p\in \mathbb {N} .}$

Произведение квадратичных расширений

Используя решетчатую структуру групп Галуа, для неравных простых чисел группа Галуа имеет вид ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}}\right)/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}},\ldots ,{\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{1}}})/\mathbb {Q} \right)\times \cdots \times \operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} ({\sqrt {p_{k}}})/\mathbb {Q} \right)\cong (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )^{k}}$

Циклотомические расширения

Другой полезный класс примеров исходит из полей расщепления циклотомических полиномов . Это полиномы, определяемые как ${\displaystyle \Phi _{n}}$

${\displaystyle \Phi _{n}(x)=\prod _{\begin{matrix}1\leq k\leq n\\\gcd(k,n)=1\end{matrix}}\left(x-e^{\frac {2ik\pi }{n}}\right)}$

степень которого равна , функция Эйлера в точке . Тогда поле расщепления над равно и имеет автоморфизмы, отправляющие для взаимно простого в . Поскольку степень поля равна степени многочлена, эти автоморфизмы порождают группу Галуа. ^[5] Если тогда ${\displaystyle \phi (n)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta _{n})}$ ${\displaystyle \sigma _{a}}$ ${\displaystyle \zeta _{n}\mapsto \zeta _{n}^{a}}$ ${\displaystyle 1\leq a<n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}\cdots p_{k}^{a_{k}},}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{n})/\mathbb {Q} )\cong \prod _{a_{i}}\operatorname {Gal} \left(\mathbb {Q} (\zeta _{p_{i}^{a_{i}}})/\mathbb {Q} \right)}$

Если - простое число , то следствием этого является ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} (\zeta _{p})/\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Z} /(p-1)\mathbb {Z} }$

Фактически, любая конечная абелева группа может быть найдена как группа Галуа некоторого подполя циклотомического расширения поля по теореме Кронекера–Вебера .

Конечные поля

Другой полезный класс примеров групп Галуа с конечными абелевыми группами происходит из конечных полей. Если q — степень простого числа, а если и обозначают поля Галуа порядка и соответственно, то является циклическим порядка n и порождается гомоморфизмом Фробениуса . ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{q}}$ ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{q^{n}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Примеры 4 степени

Расширение поля является примером расширения поля степени. ^[6] Оно имеет два автоморфизма , где и Поскольку эти два генератора определяют группу порядка , четверную группу Клейна , они определяют всю группу Галуа. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ ${\displaystyle \sigma ({\sqrt {2}})=-{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \tau ({\sqrt {3}})=-{\sqrt {3}}.}$ ${\displaystyle 4}$

Другой пример приведен из поля расщепления многочлена ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle f(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1}$

Обратите внимание, поскольку корни есть Существуют автоморфизмы ${\displaystyle (x-1)f(x)=x^{5}-1,}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle \exp \left({\tfrac {2k\pi i}{5}}\right).}$

${\displaystyle {\begin{cases}\sigma _{l}:E\to E\\\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\mapsto \left(\exp \left({\frac {2\pi i}{5}}\right)\right)^{l}\end{cases}}}$

порождая группу порядка . Поскольку порождает эту группу, группа Галуа изоморфна . ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

Конечные неабелевы группы

Рассмотрим теперь, где — примитивный кубический корень из единицы . Группа изоморфна S ₃ , диэдральной группе порядка 6 , а L — фактически поле расщепления над ${\displaystyle L=\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}},\omega ),}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle x^{3}-2}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

Группа кватернионов

Группа кватернионов может быть найдена как группа Галуа расширения поля . Например, расширение поля ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {(2+{\sqrt {2}})(3+{\sqrt {3}})}}\right)}$

имеет предписанную группу Галуа. ^[7]

Симметричная группа простого порядка

Если — неприводимый многочлен простой степени с рациональными коэффициентами и ровно двумя недействительными корнями, то группа Галуа является полной симметрической группой ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{p}.}$

Например, неприводимо из критерия Эйзенштейна. Построение графика с помощью графического программного обеспечения или на бумаге показывает, что у него три действительных корня, следовательно, два комплексных корня, показывая, что его группа Галуа равна . ${\displaystyle f(x)=x^{5}-4x+2\in \mathbb {Q} [x]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S_{5}}$

Сравнение групп Галуа расширений полей глобальных полей

Дано глобальное расширение поля (такое как ) и классы эквивалентности оценок на (такие как -адическая оценка ) и на , такие, что их завершения дают расширение поля Галуа ${\displaystyle K/k}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt[{5}]{3}},\zeta _{5})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$

локальных полей , существует индуцированное действие группы Галуа на множестве классов эквивалентности оценок, такое, что пополнения полей совместимы. Это означает, что если тогда существует индуцированный изоморфизм локальных полей ${\displaystyle G=\operatorname {Gal} (K/k)}$ ${\displaystyle s\in G}$

${\displaystyle s_{w}:K_{w}\to K_{sw}}$

Поскольку мы приняли гипотезу, что лежит над (т.е. существует расширение поля Галуа ), морфизм поля на самом деле является изоморфизмом -алгебр. Если мы возьмем подгруппу изотропии для класса оценки ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle K_{w}/k_{v}}$ ${\displaystyle s_{w}}$ ${\displaystyle k_{v}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle w}$

${\displaystyle G_{w}=\{s\in G:sw=w\}}$

то существует сюръекция глобальной группы Галуа в локальную группу Галуа, такая, что существует изоморфизм между локальной группой Галуа и подгруппой изотропии. Диаграммно это означает

${\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Gal} (K/v)&\twoheadrightarrow &\operatorname {Gal} (K_{w}/k_{v})\\\downarrow &&\downarrow \\G&\twoheadrightarrow &G_{w}\end{matrix}}}$

где вертикальные стрелки — изоморфизмы. ^[8] Это дает метод построения групп Галуа локальных полей с использованием глобальных групп Галуа.

Бесконечные группы

Базовым примером расширения поля с бесконечной группой автоморфизмов является , поскольку он содержит каждое алгебраическое расширение поля . Например, расширения поля для элемента, свободного от квадратов, имеют уникальный автоморфизм степени, индуцирующий автоморфизм в ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle E/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {a}})/\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (\mathbb {C} /\mathbb {Q} ).}$

Одним из наиболее изученных классов бесконечной группы Галуа является абсолютная группа Галуа , которая является бесконечной, проконечной группой, определяемой как обратный предел всех конечных расширений Галуа для фиксированного поля. Обратный предел обозначается ${\displaystyle E/F}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {F}}/F):=\varprojlim _{E/F{\text{ finite separable}}}{\operatorname {Gal} (E/F)}}$,

где — сепарабельное замыкание поля . Обратите внимание, что эта группа является топологической группой . ^[9] Некоторые основные примеры включают и ${\displaystyle {\overline {F}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {Q} }}/\mathbb {Q} )}$

${\displaystyle \operatorname {Gal} ({\overline {\mathbb {F} }}_{q}/\mathbb {F} _{q})\cong {\hat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}}$. ^{[10] [11]}

Другой легко вычисляемый пример исходит из расширения поля , содержащего квадратный корень каждого положительного простого числа. Он имеет группу Галуа ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} }$

${\displaystyle \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}},\ldots )/\mathbb {Q} )\cong \prod _{p}\mathbb {Z} /2}$,

который можно вывести из проконечного предела

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}},{\sqrt {5}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})/\mathbb {Q} )\to \operatorname {Gal} (\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q} )}$

и используя вычисление групп Галуа.

Характеристики

Значимость расширения как Галуа состоит в том, что оно подчиняется фундаментальной теореме теории Галуа : замкнутые (относительно топологии Крулля ) подгруппы группы Галуа соответствуют промежуточным полям расширения поля.

Если — расширение Галуа, то можно задать топологию , называемую топологией Крулля, которая превращает его в проконечную группу . ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \operatorname {Gal} (E/F)}$

Смотрите также

• Основная теорема теории Галуа
• Абсолютная группа Галуа
• представление Галуа
• Группа Демушкина
• Разрешимая группа

Примечания

1. Некоторые авторы называют произвольные расширения группой Галуа и используют соответствующие обозначения, например, Jacobson 2009. ${\displaystyle \operatorname {Aut} (E/F)}$ ${\displaystyle E/F}$
2. Lang, Serge. Алгебра (пересмотренное третье издание). С. 263, 273.
3. "Abstract Algebra" (PDF) . стр. 372–377. Архивировано (PDF) из оригинала 2011-12-18.
4. Кук, Роджер Л. (2008), Классическая алгебра: ее природа, происхождение и применение, John Wiley & Sons, стр. 138, ISBN 9780470277973.
5. Даммит; Фут. Абстрактная алгебра . С. 596, 14.5 Циклотомические расширения.
6. Поскольку как векторное пространство. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} \oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {2}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {3}}\oplus \mathbb {Q} \cdot {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
7. Милн. Теория поля. стр. 46.
8. "Сравнение глобальной и локальной групп Галуа расширения числовых полей". Mathematics Stack Exchange . Получено 2020-11-11 .
9. "9.22 Бесконечная теория Галуа". Проект Stacks .
10. Милн. «Теория поля» (PDF) . стр. 98. Архивировано (PDF) из оригинала 27-08-2008.
11. "Бесконечная теория Галуа" (PDF) . стр. 14. Архивировано (PDF) из оригинала 6 апреля 2020 г.

Ссылки

• Якобсон, Натан (2009) [1985]. Основы алгебры I (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , т. 211 (пересмотренное третье издание), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, г-н  1878556

Внешние ссылки

• «Группа Галуа», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Группа Галуа и группа Кватерниона
• «Группы Галуа». MathPages.com .
• Сравнение глобальной и локальной групп Галуа расширения числовых полей
• Представления Галуа - Ричард Тейлор