Клейн четырехгрупповой

В математике четверная группа Клейна — это абелева группа с четырьмя элементами, в которой каждый элемент является самообратным (композиция его с самим собой даёт тождество) и в которой композиция любых двух из трёх нетождественных элементов даёт третий. Её можно описать как группу симметрии неквадратного прямоугольника (с тремя нетождественными элементами — горизонтальным отражением , вертикальным отражением и поворотом на 180 градусов ), как группу побитовых операций «исключающее ИЛИ» над двухбитовыми двоичными значениями или, более абстрактно , как прямое произведение двух копий циклической группы порядка 2 по Фундаментальной теореме о конечно порожденных абелевых группах . Она была названа Vierergruppe ( нем. [ˈfiːʁɐˌɡʁʊpə] $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2}$ ^ⓘ ), что означает «четырехгрупповая»)Феликсом Клейномв 1884 году.^[1]Она также называетсягруппой Клейнаи часто обозначается буквойили как. $V$ $K_{4}$

Четырехэлементная группа Клейна — наименьшая группа , не являющаяся циклической. С точностью до изоморфизма существует только одна другая группа порядка четыре: циклическая группа порядка 4. Обе группы абелевы.

Презентации

Таблица Кэли группы Клейна имеет вид:

Четырехгруппа Клейна также определяется групповым представлением

V=\left\langle a,b\mid a^{2}=b^{2}=(ab)^{2}=e\right\rangle .

Все нетождественные элементы группы Клейна имеют порядок 2, поэтому любые два нетождественных элемента могут служить генераторами в представлении выше. Четверная группа Клейна является наименьшей нециклической группой . Однако это абелева группа и изоморфна диэдральной группе порядка (мощности) 4, обозначаемой (или , используя геометрическое соглашение); за исключением группы порядка 2, это единственная диэдральная группа, которая является абелевой. $D_{4}$ $D_{2}$

Четырехгруппа Клейна также изоморфна прямой сумме , так что ее можно представить в виде пар {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} при покомпонентном сложении по модулю 2 (или, что эквивалентно, битовых строк {00, 01, 10, 11} при побитовом XOR ), где (0,0) является элементом идентичности группы. Таким образом, четырехгруппа Клейна является примером элементарной абелевой 2-группы , которая также называется булевой группой . Таким образом, четырехгруппа Клейна также является группой, порожденной симметричной разностью как бинарной операцией над подмножествами степенного множества множества с двумя элементами — то есть над полем множеств с четырьмя элементами, например ; пустое множество является элементом идентичности группы в этом случае. $\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}$ $\{\emptyset ,\{\alpha \},\{\beta \},\{\alpha ,\beta \}\}$

Другая числовая конструкция четверной группы Клейна — это множество {1, 3, 5, 7} , где операцией является умножение по модулю 8. Здесь a равно 3, b равно 5, а c = ab равно 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

Четырехэлементная группа Клейна также имеет представление в виде действительных матриц 2 × 2 с операцией умножения матриц:

e={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad a={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\quad

b={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad c={\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}

На кубике Рубика узор «4 точки» можно составить тремя способами, в зависимости от пары граней, которые остаются пустыми; эти три позиции вместе с решенной позицией образуют пример группы Клейна, при этом решенная позиция служит тождеством.

Геометрия

V — группа симметрии этого креста: переворачивание его по горизонтали ( a ) или по вертикали ( b ) или в обоих направлениях ( ab ) оставляет его неизменным. Четверть оборота изменяет его.

В двух измерениях четверная группа Клейна представляет собой группу симметрии ромба и прямоугольников , не являющихся квадратами , причем четырьмя элементами являются тождество, вертикальное отражение, горизонтальное отражение и поворот на 180°.

В трех измерениях существуют три различные группы симметрии, которые алгебраически представляют собой четверную группу Клейна:

один с тремя перпендикулярными осями вращения 2-го порядка: группа диэдра $D_{2}$
один с двойной осью вращения и перпендикулярной плоскостью отражения: $C_{2\mathrm {h} }=D_{1\mathrm {d} }$
один с осью вращения 2-го порядка в плоскости отражения (и, следовательно, также в перпендикулярной плоскости отражения): . $C_{2\mathrm {v} }=D_{1\mathrm {h} }$

Представление перестановки

Три элемента второго порядка в четверной группе Клейна взаимозаменяемы: таким образом , группа автоморфизмов V представляет собой группу перестановок этих трех элементов, то есть симметрическую группу . $S_{3}$

Перестановки собственных элементов четырехгруппы Клейна можно рассматривать абстрактно как ее перестановочное представление в четырех точках:

V={}

{(), (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

В этом представлении — нормальная подгруппа знакопеременной группы ( а также симметрической группы ) от четырех букв. Фактически, это ядро сюръективного гомоморфизма групп из в . $V$ $A_{4}$ $S_{4}$ $S_{4}$ $S_{3}$

Другие представления в S ₄ :

{ (), (1,2), (3,4), (1,2)(3,4) }

{ (), (1,3), (2,4), (1,3)(2,4) }

{ (), (1,4), (2,3), (1,4)(2,3) }

Они не являются нормальными подгруппами S ₄ .

Алгебра

Согласно теории Галуа , существование четверной группы Клейна (и, в частности, ее перестановочное представление) объясняет существование формулы для вычисления корней уравнений четвертой степени в терминах радикалов , как это установил Лодовико Феррари : отображение соответствует резольвенте кубической , в терминах резольвент Лагранжа . $S_{4}\to S_{3}$

При построении конечных колец восемь из одиннадцати колец с четырьмя элементами имеют четверную группу Клейна в качестве своей аддитивной подструктуры.

Если обозначает мультипликативную группу ненулевых вещественных чисел и мультипликативную группу положительных вещественных чисел , то — группа единиц кольца , а — подгруппа (фактически это компонент тождества ). Фактор-группа изоморфна четверной группе Клейна. Аналогичным образом, группа единиц кольца комплексных чисел с расщеплением , будучи разделенной на свою компоненту тождества , также дает четверную группу Клейна. $\mathbb {R} ^{\times }$ $\mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ $\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times }$ $(\mathbb {R} ^{\times }\times \mathbb {R} ^{\times })/(\mathbb {R} ^{+}\times \mathbb {R} ^{+})$

Теория графов

Среди простых связных графов , простейшим (в смысле наличия наименьшего количества сущностей), который допускает четверную группу Клейна в качестве своей группы автоморфизмов, является ромбовидный граф, показанный ниже. Он также является группой автоморфизмов некоторых других графов, которые проще в смысле наличия меньшего количества сущностей. К ним относятся граф с четырьмя вершинами и одним ребром, который остается простым, но теряет связность, и граф с двумя вершинами, соединенными друг с другом двумя ребрами, который остается связным, но теряет простоту.

Музыка

В музыкальном сочинении , четырех-группа является базовой группой перестановок в технике двенадцати тонов . В этом случае таблица Кэли записывается ^[2]

Смотрите также

Ссылки

^ Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade ( Лекции по икосаэдру и решению уравнений пятой степени )
^ Баббитт, Милтон . (1960) «Двенадцатитоновые инварианты как композиционные детерминанты», Musical Quarterly 46(2):253 Специальный выпуск: Проблемы современной музыки: Принстонский семинар по передовым музыкальным исследованиям (апрель): 246–59, Oxford University Press

Дальнейшее чтение

М. А. Армстронг (1988) Группы и симметрия , Springer Verlag , стр. 53.
WE Barnes (1963) Введение в абстрактную алгебру , DC Heath & Co., стр. 20.

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Vierergruppe». Математический мир .