Изгибающий момент

Сила, стремящаяся изогнуть элемент конструкции

Диаграмма сдвига и момента для свободно опертой балки с сосредоточенной нагрузкой в ​​середине пролета.

В механике твердого тела изгибающий момент — это реакция , возникающая в элементе конструкции , когда к элементу прикладывается внешняя сила или момент , вызывающий изгиб элемента . ^{[1] [2]} Наиболее распространенным или простым конструктивным элементом, подверженным изгибающим моментам, является балка . На диаграмме показана балка, которая просто опирается (свободно вращается и, следовательно, не имеет изгибающих моментов) на обоих концах; концы могут реагировать только на сдвиговые нагрузки. У других балок оба конца могут быть фиксированными (известные как закреплённая балка); поэтому каждая концевая опора испытывает как изгибающие моменты, так и сдвиговые реактивные нагрузки. Балки также могут иметь один конец фиксированным, а другой конец просто поддерживаться. Самый простой тип балки — консольная , закрепленная на одном конце и свободная на другом конце (ни простая, ни фиксированная). В действительности балочные опоры обычно не являются ни абсолютно фиксированными, ни абсолютно свободно вращающимися.

Внутренние реактивные нагрузки в поперечном сечении элемента конструкции можно разложить на равнодействующую силу и равнодействующую пару . ^[3] Для равновесия момент, создаваемый внешними силами/моментами, должен быть уравновешен парой, создаваемой внутренними нагрузками. Результирующая внутренняя пара называется изгибающим моментом , а результирующая внутренняя сила называется поперечной силой (если она направлена ​​поперечно плоскости элемента) или нормальной силой (если она направлена ​​вдоль плоскости элемента). Нормальную силу также называют осевой силой.

Изгибающий момент на сечении элемента конструкции можно определить как сумму моментов вокруг этого сечения всех внешних сил, действующих с одной стороны этого сечения. Силы и моменты по обе стороны сечения должны быть равны, чтобы противодействовать друг другу и сохранять состояние равновесия , чтобы в результате суммирования моментов возникал одинаковый изгибающий момент, независимо от того, какая сторона сечения выбрана. Если изгибающие моменты по часовой стрелке принять отрицательными, то отрицательный изгибающий момент внутри элемента вызовет « заедание », а положительный момент вызовет « провисание ». Поэтому ясно, что точка нулевого изгибающего момента внутри балки является точкой перегиба , то есть точкой перехода от провисания к провисанию или наоборот.

Моменты и крутящие моменты измеряются как сила, умноженная на расстояние, поэтому они имеют единицу измерения ньютон-метр (Н·м) или фунт-фут (фунт·фут). Понятие изгибающего момента очень важно в технике (особенно в гражданском и машиностроении ) и физике .

Фон

Растягивающие и сжимающие напряжения увеличиваются пропорционально изгибающему моменту, но также зависят от второго момента площади поперечного сечения балки (то есть формы поперечного сечения, например круга, квадрата или двутавра). являются обычными структурными формами). Разрушение при изгибе произойдет, когда изгибающий момент достаточен для возникновения растягивающих/сжимающих напряжений, превышающих предел текучести материала по всему поперечному сечению. В структурном анализе это разрушение при изгибе называется пластическим шарниром, поскольку полная несущая способность элемента конструкции не достигается до тех пор, пока все поперечное сечение не превысит предел текучести. Возможно, что разрушение элемента конструкции при сдвиге может произойти раньше разрушения при изгибе, однако механика разрушения при сдвиге и при изгибе различна.

Моменты рассчитываются путем умножения внешних векторных сил (нагрузок или реакций) на векторное расстояние, на котором они приложены. При анализе всего элемента разумно рассчитывать моменты на обоих концах элемента, в начале, центре и конце любых равномерно распределенных нагрузок и непосредственно под любыми точечными нагрузками. Конечно, любые «штифтовые соединения» внутри конструкции допускают свободное вращение, поэтому в этих точках возникает нулевой момент, поскольку нет способа передачи поворотных усилий с одной стороны на другую.

Чаще используют соглашение, согласно которому изгибающий момент по часовой стрелке слева от рассматриваемой точки считается положительным. Тогда это соответствует второй производной функции, которая, если она положительна, указывает на кривизну, которая «ниже в центре», то есть провисание. При таком определении моментов и кривизн легче использовать математические расчеты для поиска наклонов и отклонений.

Критические значения внутри балки чаще всего обозначаются с помощью диаграммы изгибающих моментов , где отрицательные моменты отображаются в масштабе над горизонтальной линией, а положительные — под ней. Изгибающий момент изменяется линейно на ненагруженных участках и параболически на равномерно нагруженных участках.

Инженерные описания расчета изгибающих моментов могут сбивать с толку из-за необъяснимого соглашения о знаках и неявных допущений. В приведенных ниже описаниях используется векторная механика для расчета моментов силы и изгибающих моментов в попытке объяснить, исходя из основных принципов, почему выбираются определенные соглашения о знаках.

Вычисление момента силы

Вычисление момента силы в балке.

Важной частью определения изгибающих моментов в практических задачах является расчет моментов сил. Пусть – вектор силы, действующей в точке А тела. Момент этой силы относительно опорной точки ( O ) определяется как ^[2] ${\displaystyle \mathbf {F} }$

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$

где — вектор момента, а — вектор положения от опорной точки ( O ) до точки приложения силы ( A ). Символ обозначает векторное векторное произведение. Для многих задач удобнее вычислять момент силы относительно оси, проходящей через опорную точку O. Если единичный вектор вдоль оси равен , момент силы относительно оси определяется как ${\displaystyle \mathbf {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle \mathbf {e} }$

${\displaystyle M=\mathbf {e} \cdot \mathbf {M} =\mathbf {e} \cdot (\mathbf {r} \times \mathbf {F} )}$

где указывает скалярное произведение вектора . ${\displaystyle \cdot }$

Пример

На соседнем рисунке показана балка, на которую действует сила . Если система координат определяется тремя единичными векторами , мы имеем следующее ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {e} _{x}-F\,\mathbf {e} _{y}+0\,\mathbf {e} _{z}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {e} _{x}+0\,\mathbf {e} _{y}+0\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Поэтому,

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x&0&0\\0&-F&0\end{matrix}}\right|=-Fx\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Тогда момент относительно оси равен ${\displaystyle \mathbf {e} _{z}}$

${\displaystyle M_{z}=\mathbf {e} _{z}\cdot \mathbf {M} =-Fx\,.}$

Соглашения о подписании

Отрицательное значение предполагает, что момент, стремящийся повернуть тело вокруг оси по часовой стрелке, должен иметь отрицательный знак. Однако фактический знак зависит от выбора трех осей . Например, если мы выберем другую правую систему координат с , мы получим ${\displaystyle \mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} _{x}=\mathbf {e} _{x},\mathbf {E} _{y}=-\mathbf {e} _{z},\mathbf {E} _{z}=\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {F} =0\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}-F\,\mathbf {E} _{z}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} =x\,\mathbf {E} _{x}+0\,\mathbf {E} _{y}+0\,\mathbf {E} _{z}\,.}$

Затем,

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {E} _{x}&\mathbf {E} _{y}&\mathbf {E} _{z}\\x&0&0\\0&0&-F\end{matrix}}\right|=Fx\,\mathbf {E} _{y}\quad {\text{and}}\quad M_{y}=\mathbf {E} _{y}\cdot \mathbf {M} =Fx\,.}$

При этом новом выборе осей положительный момент стремится вращать тело вокруг оси по часовой стрелке.

Вычисление изгибающего момента

В твердом теле или в неограниченном деформируемом теле приложение момента силы вызывает чистое вращение. Но если деформируемое тело ограничено, в ответ на внешнюю силу оно развивает внутренние силы, так что равновесие сохраняется. Пример показан на рисунке ниже. Эти внутренние силы вызовут локальные деформации тела.

Для равновесия сумма векторов внутренних сил равна отрицательному значению суммы приложенных внешних сил, а сумма векторов моментов, создаваемых внутренними силами, равна отрицательному значению момента внешней силы. Векторы внутренней силы и момента ориентированы таким образом, что суммарная сила (внутренняя + внешняя) и момент (внешняя + внутренняя) системы равны нулю. Вектор внутреннего момента называется изгибающим моментом . ^[1]

Хотя изгибающие моменты использовались для определения напряженного состояния в конструкциях произвольной формы, физическая интерпретация вычисленных напряжений проблематична. Однако физическая интерпретация изгибающих моментов в балках и пластинах имеет простую интерпретацию как результирующую нагрузку в поперечном сечении элемента конструкции. Например, в балке на рисунке вектор изгибающего момента, возникающий из-за напряжений в поперечном сечении A , перпендикулярном оси x , определяется выражением

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\mathbf {r} \times (\sigma _{xx}\mathbf {e} _{x}+\sigma _{xy}\mathbf {e} _{y}+\sigma _{xz}\mathbf {e} _{z})\,dA\quad {\text{where}}\quad \mathbf {r} =y\,\mathbf {e} _{y}+z\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Расширяя это выражение, мы имеем:

${\displaystyle \mathbf {M} _{x}=\int _{A}\left(-y\sigma _{xx}\mathbf {e} _{z}+y\sigma _{xz}\mathbf {e} _{x}+z\sigma _{xx}\mathbf {e} _{y}-z\sigma _{xy}\mathbf {e} _{x}\right)dA=:M_{xx}\,\mathbf {e} _{x}+M_{xy}\,\mathbf {e} _{y}+M_{xz}\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Определим компоненты изгибающего момента как

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{xx}\\M_{xy}\\M_{xz}\end{bmatrix}}:=\int _{A}{\begin{bmatrix}y\sigma _{xz}-z\sigma _{xy}\\z\sigma _{xx}\\-y\sigma _{xx}\end{bmatrix}}\,dA\,.}$

Внутренние моменты вычисляются относительно начала координат, которое находится на нейтральной оси балки или пластины, а интегрирование осуществляется по толщине ( ) ${\displaystyle h}$

Пример

Расчет изгибающего момента в балке.

В балке, показанной на соседнем рисунке, внешние силы — это приложенная сила в точке A ( ) и реакции в двух опорных точках O и B ( и ). В этой ситуации единственная ненулевая составляющая изгибающего момента равна ${\displaystyle -F\mathbf {e} _{y}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{O}=R_{O}\mathbf {e} _{y}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} _{B}=R_{B}\mathbf {e} _{y}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=-\left[\int _{z}\left[\int _{0}^{h}y\,\sigma _{xx}\,dy\right]\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

где - высота по направлению луча. Знак минус включен для соблюдения соглашения о знаках. ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle y}$

Чтобы вычислить , мы начинаем с уравновешивания сил, что дает одно уравнение с двумя неизвестными реакциями: ${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}}$

${\displaystyle R_{O}+R_{B}-F=0\,.}$

Для получения каждой реакции требуется второе уравнение. Уравновешивание моментов относительно любой произвольной точки X даст нам второе уравнение, которое мы можем использовать для решения относительно и в терминах . Балансировать вокруг точки О проще всего, но давайте сбалансируемся вокруг точки А , просто чтобы проиллюстрировать эту точку, т.е. ${\displaystyle R_{0}}$ ${\displaystyle R_{B}}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle -\mathbf {r} _{A}\times \mathbf {R} _{O}+(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{A})\times \mathbf {R} _{B}=\mathbf {0} \,.}$

Если – длина балки, мы имеем ${\displaystyle L}$

${\displaystyle \mathbf {r} _{A}=x_{A}\mathbf {e} _{x}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {r} _{B}=L\mathbf {e} _{x}\,.}$

Оценка перекрестных продуктов:

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x_{A}&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x_{A}&0&0\\0&R_{B}&0\end{matrix}}\right|=-x_{A}R_{0}\,\mathbf {e} _{z}+(L-x_{A})R_{B}\,\mathbf {e} _{z}=0\,.}$

Если мы решим реакции, которые у нас есть

${\displaystyle R_{O}=\left(1-{\frac {x_{A}}{L}}\right)F\quad {\text{and}}\quad R_{B}={\frac {x_{A}}{L}}\,F\,.}$

Теперь, чтобы получить внутренний изгибающий момент в точке X, мы суммируем все моменты относительно точки X , возникающие из-за всех внешних сил справа от X (с положительной стороны), и в этом случае вклад только один: ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=(\mathbf {r} _{B}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{B}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\L-x&0&0\\0&R_{B}&0\end{matrix}}\right|={\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Мы можем проверить этот ответ, посмотрев на диаграмму свободного тела и часть балки слева от точки X , и общий момент, обусловленный этими внешними силами, равен

${\displaystyle \mathbf {M} =(\mathbf {r} _{A}-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {F} +(-\mathbf {r} _{X})\times \mathbf {R} _{O}=\left[(x_{A}-x)\mathbf {e} _{x}\right]\times \left(-F\mathbf {e} _{y}\right)+\left(-x\mathbf {e} _{x}\right)\times \left(R_{O}\mathbf {e} _{y}\right)\,.}$

Если мы вычислим векторные произведения, мы получим

${\displaystyle \mathbf {M} =\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\x_{A}-x&0&0\\0&-F&0\end{matrix}}\right|+\left|{\begin{matrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\-x&0&0\\0&R_{0}&0\end{matrix}}\right|=F(x-x_{A})\,\mathbf {e} _{z}-R_{0}x\,\mathbf {e} _{z}=-{\frac {Fx_{A}}{L}}(L-x)\,\mathbf {e} _{z}\,.}$

Благодаря равновесию внутренний изгибающий момент, возникающий из-за внешних сил слева от X , должен быть точно уравновешен внутренней поворачивающей силой, полученной при рассмотрении части балки справа от X.

${\displaystyle \mathbf {M} +\mathbf {M} _{xz}=\mathbf {0} \,.}$

что, очевидно, так и есть.

Соглашение о подписании

В приведенном выше обсуждении неявно предполагается, что изгибающий момент положителен, когда верхняя часть балки сжимается. В этом можно убедиться, если рассмотреть линейное распределение напряжений в балке и найти результирующий изгибающий момент. Пусть верхняя часть балки сжимается с напряжением , а нижняя часть балки испытывает напряжение . Тогда распределение напряжений в балке равно . Изгибающий момент, возникающий вследствие этих напряжений, равен ${\displaystyle -\sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{0}}$ ${\displaystyle \sigma _{xx}(y)=-y\sigma _{0}}$

${\displaystyle M_{xz}=-\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,(-y\sigma _{0})\,dy\,dz\right]=\sigma _{0}\,I}$

где - момент инерции площади поперечного сечения балки. Следовательно, изгибающий момент положителен, когда верхняя часть балки сжимается. ${\displaystyle I}$

Многие авторы следуют другому соглашению, согласно которому результирующая напряжения определяется как ${\displaystyle M_{xz}}$

${\displaystyle \mathbf {M} _{xz}=\left[\int _{z}\int _{-h/2}^{h/2}y\,\sigma _{xx}\,dy\,dz\right]\mathbf {e} _{z}\,.}$

В этом случае положительные изгибающие моменты означают, что верхняя часть балки находится в напряжении. Конечно, определение вершины зависит от используемой системы координат. В приведенных выше примерах верх — это местоположение с наибольшей координатой. ${\displaystyle y}$

Смотрите также

• коробление
• Прогиб, включая прогиб балки
• Крутящий момент
• Диаграммы сдвига и моментов
• Результирующие стресса
• Первый момент площади
• Линия влияния
• Второй момент площади
• Список моментов инерции площади
• Рельеф изгиба крыла

Рекомендации

1. Гир, Дж. М.; Тимошенко, С.П. (1996), Механика материалов: четвертое издание , Nelson Engineering, ISBN. 0534934293
2. Бир, Ф.; Джонстон, Э.Р. (1984), Векторная механика для инженеров: статика , McGraw Hill, стр. 62–76.
3. Бейкер, Дэниел В.; Хейнс, Уильям. Статика: внутренние нагрузки.

Внешние ссылки

• Результирующие напряжения для балок

• Бесплатные онлайн-инструменты для расчета изгибающего момента