В математике инвариант Хассе алгебры — это инвариант, присоединенный к классу Брауэра алгебр над полем . Понятие названо в честь Гельмута Хассе . Инвариант играет роль в локальной теории полей классов .
Пусть K — локальное поле с оценкой v , а D — K -алгебра. Можно предположить, что D — алгебра с делением с центром K степени n . Оценку v можно расширить до D , например, расширив ее совместимым образом до каждого коммутативного подполя D : группа значений этой оценки равна (1/ n ) Z . [1]
Существует коммутативное подполе L поля D , которое не разветвлено над K , и D расщепляется над L. [2] Поле L не является единственным, но все такие расширения сопряжены по теореме Скулема–Нётер , которая далее показывает, что любой автоморфизм L индуцируется сопряжением в D. Возьмём γ в D таким образом, что сопряжение посредством γ индуцирует автоморфизм Фробениуса L / K , и пусть v (γ) = k / n . Тогда k / n по модулю 1 является инвариантом Хассе поля D. Он зависит только от класса Брауэра поля D. [ 3]
Таким образом, инвариант Хассе — это отображение, определенное на группе Брауэра локального поля K, в делимую группу Q / Z . [3] [4] Каждый класс в группе Брауэра представлен классом в группе Брауэра неразветвленного расширения L / K степени n , [5] который по теореме Грюнвальда–Ванга и теореме Альберта–Брауэра–Хассе–Нётер можно считать циклической алгеброй ( L ,φ,π k ) для некоторого k mod n , где φ — отображение Фробениуса , а π — униформизатор. [6] Инвариантное отображение присоединяет элемент k / n mod 1 к классу. Это показывает инвариантное отображение как гомоморфизм
Инвариантное отображение распространяется на Br( K ) путем представления каждого класса некоторым элементом Br( L / K ), как указано выше. [3] [4]
Для неархимедова локального поля инвариантное отображение является групповым изоморфизмом . [3] [7]
В случае поля R действительных чисел имеется два класса Брауэра, представленные самой алгеброй R и кватернионной алгеброй H. [8] Удобно приписать инвариантный нуль классу R и инвариант 1/2 по модулю 1 классу кватернионов .
В случае поля C комплексных чисел единственным классом Брауэра является тривиальный класс с инвариантным нулем. [9]
Для глобального поля K , заданного центральной простой алгеброй D над K , для каждой оценки v поля K мы можем рассмотреть расширение скаляров D v = D ⊗ K v Расширение D v расщепляется для всех, кроме конечного числа v , так что локальный инвариант D v почти всегда равен нулю. Группа Брауэра Br( K ) вписывается в точную последовательность [8] [9]
где S — множество всех оценок K , а правая стрелка — сумма локальных инвариантов. Инъективность левой стрелки — содержание теоремы Альберта–Брауэра–Хассе–Нётер . Точность в среднем члене — глубокий факт из глобальной теории полей классов .
