Теория полей классов

Раздел алгебраической теории чисел, занимающийся абелевыми расширениями

В математике теория полей классов ( ТПК ) является фундаментальным разделом алгебраической теории чисел , целью которой является описание всех абелевых расширений Галуа локальных и глобальных полей с использованием объектов, связанных с основным полем. ^[1]

Гильберт считается одним из пионеров понятия поля классов. Однако это понятие уже было известно Кронекеру , и на самом деле Вебер ввел этот термин еще до выхода в свет фундаментальных работ Гильберта. ^[2] Соответствующие идеи развивались в течение нескольких десятилетий, что привело к ряду гипотез Гильберта, которые впоследствии были доказаны Такаги и Артином (с помощью теоремы Чеботарева ).

Один из основных результатов: если задано числовое поле F и обозначено K как максимальное абелево неразветвленное расширение F , то группа Галуа K над F канонически изоморфна группе идеальных классов F. Это утверждение было обобщено до так называемого закона взаимности Артина ; на идельном языке, если обозначить C _F как группу идеальных классов F и взять L как любое конечное абелево расширение F , то этот закон даст канонический изоморфизм

${\displaystyle \theta _{L/F}:C_{F}/{N_{L/F}(C_{L})}\to \operatorname {Gal} (L/F),}$

где обозначает отображение идельной нормы из L в F. Этот изоморфизм называется отображением взаимности . ${\displaystyle N_{L/F}}$

Теорема существования утверждает, что отображение взаимности можно использовать для задания биекции между множеством абелевых расширений F и множеством замкнутых подгрупп конечного индекса ${\displaystyle C_{F}.}$

Стандартным методом разработки глобальной теории полей классов с 1930-х годов было построение локальной теории полей классов , описывающей абелевы расширения локальных полей, а затем ее использование для построения глобальной теории полей классов. Впервые это сделали Эмиль Арти и Тейт, используя теорию групповых когомологий , и в частности, разработав понятие классовых формаций. Позднее Нойкирх нашел доказательство основных утверждений глобальной теории полей классов без использования когомологических идей. Его метод был явным и алгоритмическим.

Внутри теории полей классов можно выделить ^[3] специальную теорию полей классов и общую теорию полей классов.

Явная теория полей классов обеспечивает явное построение максимальных абелевых расширений числового поля в различных ситуациях. Эта часть теории состоит из теоремы Кронекера–Вебера , которая может быть использована для построения абелевых расширений , и теории комплексного умножения для построения абелевых расширений CM-полей . ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Существует три основных обобщения теории полей классов: теория полей высших классов, программа Ленглендса (или «соответствия Ленглендса») и анабелева геометрия .

Формулировка на современном языке

На современном математическом языке теория полей классов (CFT) может быть сформулирована следующим образом. Рассмотрим максимальное абелево расширение A локального или глобального поля K. Оно имеет бесконечную степень над K ; группа Галуа G поля A над K является бесконечной проконечной группой , поэтому компактной топологической группой , и она абелева. Основными целями теории полей классов являются: описание G в терминах некоторых подходящих топологических объектов, связанных с K , описание конечных абелевых расширений K в терминах открытых подгрупп конечного индекса в топологическом объекте, связанном с K. В частности, требуется установить взаимно однозначное соответствие между конечными абелевыми расширениями K и их группами норм в этом топологическом объекте для K. Этот топологический объект является мультипликативной группой в случае локальных полей с конечным полем вычетов и группой классов иделей в случае глобальных полей. Конечное абелево расширение, соответствующее открытой подгруппе конечного индекса, называется полем классов для этой подгруппы, которая и дала название теории.

Основной результат общей теории полей классов утверждает, что группа G естественно изоморфна проконечному пополнению C _K , мультипликативной группе локального поля или группе классов иделей глобального поля относительно естественной топологии на C _K , связанной с конкретной структурой поля K . Эквивалентно, для любого конечного расширения Галуа L поля K существует изоморфизм ( отображение взаимности Артина )

${\displaystyle \operatorname {Gal} (L/K)^{\operatorname {ab} }\to C_{K}/N_{L/K}(C_{L})}$

абелианизации группы Галуа расширения с фактором группы классов иделей группы K по образу нормы группы классов иделей группы L .

Для некоторых малых полей, таких как поле рациональных чисел или его квадратичные мнимые расширения, существует более подробная , очень явная, но слишком специфическая теория, которая предоставляет больше информации. Например, абелианизированная абсолютная группа Галуа G из является (естественно изоморфной) бесконечным произведением группы единиц p-адических целых чисел, взятых по всем простым числам p , а соответствующее максимальное абелево расширение рациональных чисел является полем, порожденным всеми корнями из единицы. Это известно как теорема Кронекера–Вебера , первоначально выдвинутая Леопольдом Кронекером . В этом случае изоморфизм взаимности теории полей классов (или отображение взаимности Артина) также допускает явное описание благодаря теореме Кронекера–Вебера. Однако основные конструкции таких более подробных теорий для малых алгебраических числовых полей не распространяются на общий случай алгебраических числовых полей, и в общей теории полей классов используются другие концептуальные принципы. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Стандартный метод построения гомоморфизма взаимности состоит в том, чтобы сначала построить локальный изоморфизм взаимности из мультипликативной группы пополнения глобального поля в группу Галуа его максимального абелева расширения (это делается внутри локальной теории полей классов), а затем доказать, что произведение всех таких локальных отображений взаимности, определенных на группе иделей глобального поля, тривиально на образе мультипликативной группы глобального поля. Последнее свойство называется глобальным законом взаимности и является далеко идущим обобщением квадратичного закона взаимности Гаусса .

Один из методов построения гомоморфизма взаимности использует формирование классов , которое выводит теорию полей классов из аксиом теории полей классов. Этот вывод является чисто топологическим групповым, в то время как для установления аксиом необходимо использовать кольцевую структуру основного поля. ^[4]

Существуют методы, которые используют группы когомологий, в частности группу Брауэра, и есть методы, которые не используют группы когомологий и являются весьма явными и плодотворными для приложений.

История

Истоки теории полей классов лежат в квадратичном законе взаимности, доказанном Гауссом. Обобщение имело место как долгосрочный исторический проект, включающий квадратичные формы и их « теорию рода », работы Эрнста Куммера и Леопольда Кронекера/ Курта Гензеля по идеалам и пополнениям, теорию циклотомических и куммеровских расширений .

Первые две теории полей классов были очень явными циклотомическими и комплексными теориями полей классов умножения. Они использовали дополнительные структуры: в случае поля рациональных чисел они использовали корни из единицы, в случае мнимых квадратичных расширений поля рациональных чисел они использовали эллиптические кривые с комплексным умножением и их точки конечного порядка. Гораздо позже теория Шимуры предоставила еще одну очень явную теорию полей классов для класса алгебраических числовых полей. В положительной характеристике Кавада и Сатаке использовали двойственность Витта, чтобы получить очень простое описание -части гомоморфизма взаимности. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

Однако эти весьма явные теории не могли быть распространены на более общие числовые поля. Общая теория полей классов использовала различные концепции и конструкции, которые работают над каждым глобальным полем.

Знаменитые проблемы Давида Гильберта стимулировали дальнейшее развитие, которое привело к законам взаимности и доказательствам Тейджи Такаги , Филиппа Фуртвенглера , Эмиля Артина , Хельмута Хассе и многих других. Ключевая теорема существования Такаги была известна к 1920 году, а все основные результаты — примерно к 1930 году. Одной из последних классических гипотез, которые должны были быть доказаны, было свойство принципализации . Первые доказательства теории полей классов использовали существенные аналитические методы. В 1930-х годах и впоследствии все чаще использовались бесконечные расширения и теория Вольфганга Крулля их групп Галуа. Это в сочетании с двойственностью Понтрягина дало более ясную, хотя и более абстрактную формулировку центрального результата — закона взаимности Артина . Важным шагом стало введение иделей Клодом Шевалле в 1930-х годах для замены идеальных классов, что по сути прояснило и упростило описание абелевых расширений глобальных полей. Большинство основных результатов были доказаны к 1940 году.

Позже результаты были переформулированы в терминах групповых когомологий , что стало стандартным способом изучения теории полей классов для нескольких поколений теоретиков чисел. Одним из недостатков когомологического метода является его относительная неявность. В результате локальных вкладов Бернарда Дворка , Джона Тейта , Михиля Хазевинкеля и локальной и глобальной переинтерпретации Юргена Нойкирха , а также в связи с работой над явными формулами взаимности многих математиков, в 1990-х годах было установлено очень явное и свободное от когомологий представление теории полей классов. (См., например, Class Field Theory Нойкирха.)

Приложения

Теория полей классов используется для доказательства двойственности Артина-Вердье . ^[5] Очень явная теория полей классов используется во многих разделах алгебраической теории чисел, таких как теория Ивасавы и теория модулей Галуа.

Большинство основных достижений в области соответствия Ленглендса для числовых полей, гипотезы BSD для числовых полей и теории Ивасавы для числовых полей используют очень явные, но узкие методы теории полей классов или их обобщения. Поэтому открытым вопросом является использование обобщений общей теории полей классов в этих трех направлениях.

Обобщения теории полей классов

Существует три основных обобщения, каждое из которых представляет большой интерес. Это: программа Ленглендса , анабелева геометрия и теория полей высшего класса.

Часто соответствие Ленглендса рассматривается как неабелева теория полей классов. Если и когда оно будет полностью установлено, оно будет содержать определенную теорию неабелевых расширений Галуа глобальных полей. Однако соответствие Ленглендса не включает столько арифметической информации о конечных расширениях Галуа, сколько теория полей классов в абелевом случае. Оно также не включает аналог теоремы о существовании в теории полей классов: концепция полей классов отсутствует в соответствии Ленглендса. Существует несколько других неабелевых теорий, локальных и глобальных, которые предоставляют альтернативы точке зрения соответствия Ленглендса.

Другим обобщением теории полей классов является анабелева геометрия , которая изучает алгоритмы восстановления исходного объекта (например, числового поля или гиперболической кривой над ним) на основе знания его полной абсолютной группы Галуа или алгебраической фундаментальной группы . ^{[6] [7]}

Другим естественным обобщением является теория полей высших классов, разделенная на теорию полей высших локальных классов и теорию полей высших глобальных классов . Она описывает абелевы расширения высших локальных полей и высших глобальных полей. Последние поступают как функциональные поля схем конечного типа над целыми числами и их соответствующие локализации и пополнения. Она использует алгебраическую K-теорию , а соответствующие K-группы Милнора обобщают используемые в одномерной теории полей классов. ${\displaystyle K_{1}}$

Смотрите также

• Неабелева теория полей классов
• Анабелева геометрия
• Фробениоид
• соответствия Ленглендса

Цитаты

1. Милн 2020, стр. 1, Введение.
2. Кассельс и Фрелих 1967, с. 266, гл. XI Гельмута Хассе.
3. Фесенко, Иван (2021-08-31). «Теория полей классов, ее три основных обобщения и приложения». Обзоры EMS по математическим наукам . 8 (1): 107–133. doi : 10.4171/emss/45 . ISSN  2308-2151. S2CID  239667749.
4. Взаимность и IUT, доклад на семинаре RIMS на саммите IUT, июль 2016 г., Иван Фесенко
5. Милн, Дж. С. Арифметические теоремы двойственности . Чарльстон, Южная Каролина: BookSurge, LLC 2006
6. Фесенко, Иван (2015), Арифметическая теория деформации через арифметические фундаментальные группы и неархимедовы тета-функции, заметки о работе Шиничи Мочизуки, Eur. J. Math., 2015 (PDF)
7. Фесенко, Иван (2021), Теория полей классов, ее три основных обобщения и приложения, май 2021 г., EMS Surveys 8(2021) 107-133 (PDF)

Ссылки

• Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (1990), Теория полей классов , Редвуд-Сити, Калифорния: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-51011-9
• Касселс, Дж. В. С .; Фрелих, Альбрехт , ред. (1967), Алгебраическая теория чисел , Academic Press , Zbl  0153.07403
• Конрад, Кит, История теории полей классов. (PDF)
• Фесенко, Иван Б .; Востоков, Сергей В. (2002), Локальные поля и их расширения , Переводы математических монографий, т. 121 (Второе издание), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-3259-2, г-н  1915966
• Гра, Жорж (2003). Теория полей классов: от теории к практике . Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-44133-5.
• Ивасава, Кенкичи (1986), Локальная теория полей классов , Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-504030-2, MR  0863740, Zbl  0604.12014
• Кавада, Юкиёси (1955), «Классовые образования», Duke Math. Ж. , 22 (2): 165–177, doi :10.1215/s0012-7094-55-02217-1, Збл  0067.01904
• Кавада, Юкиёси; Сатаке, Ичиро (1956), «Классовые образования. II», J.Fac. Научный Университет. Токийская секта. 1А , 7 : 353–389, Збл  0101.02902
• Милн, Джеймс С. (2020), Теория полей классов (4.03 ред.)
• Нойкирх, Юрген (1986), Теория поля классов , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-15251-4
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория теории . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften . Том. 322. Берлин: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-65399-8. MR  1697859. Zbl  0956.11021.