Теорема Бора–Ван Леувена

Физическая теорема

Теорема Бора-Ван Лиувен утверждает, что при последовательном применении статистической механики и классической механики тепловое среднее намагниченности всегда равно нулю. ^[1] Это делает магнетизм в твердых телах исключительно квантово-механическим эффектом и означает, что классическая физика не может объяснить парамагнетизм , диамагнетизм и ферромагнетизм . Неспособность классической физики объяснить трибоэлектричество также вытекает из теоремы Бора-Ван Лиувен. ^[2]

История

То, что сегодня известно как теорема Бора–Ван Леувена, было открыто Нильсом Бором в 1911 году в его докторской диссертации ^[3] и позднее было переоткрыто Хендрикой Йоханной ван Леувен в ее докторской диссертации в 1919 году. ^[4] В 1932 году Й. Х. Ван Флек формализовал и расширил первоначальную теорему Бора в книге, которую он написал об электрической и магнитной восприимчивости. ^[5]

Значимость этого открытия заключается в том, что классическая физика не допускает таких явлений, как парамагнетизм , диамагнетизм и ферромагнетизм , и поэтому для объяснения магнитных явлений необходима квантовая физика . ^[6] Этот результат, «возможно, самая дефляционная публикация всех времен» ^[7] , возможно, способствовал разработке Бором квазиклассической теории атома водорода в 1913 году.

Доказательство

Интуитивное доказательство

Теорема Бора–Ван Лиувен применима к изолированной системе, которая не может вращаться. Если изолированной системе разрешено вращаться в ответ на внешнее приложенное магнитное поле, то эта теорема неприменима. ^[8] Если, кроме того, существует только одно состояние теплового равновесия при данной температуре и поле, и системе дано время вернуться в равновесие после приложения поля, то намагничивание не произойдет.

Вероятность того, что система будет находиться в заданном состоянии движения, предсказывается статистикой Максвелла-Больцмана как пропорциональная , где - энергия системы, - постоянная Больцмана , а - абсолютная температура . Эта энергия равна сумме кинетической энергии ( для частицы с массой и скоростью ) и потенциальной энергии . ^[8] ${\displaystyle \exp(-U/k_{\text{B}}T)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle k_{\text{B}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle mv^{2}/2}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle v}$

Магнитное поле не вносит вклад в потенциальную энергию. Сила Лоренца на частицу с зарядом и скоростью равна ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {F} =q\left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right),}$

где - электрическое поле , а - плотность магнитного потока . Скорость проделанной работы равна и не зависит от . Следовательно, энергия не зависит от магнитного поля, поэтому распределение движений не зависит от магнитного поля. ^[8] ${\displaystyle \mathbf {E} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =q\mathbf {E} \cdot \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

В нулевом поле не будет чистого движения заряженных частиц, поскольку система не может вращаться. Поэтому средний магнитный момент будет равен нулю. Поскольку распределение движений не зависит от магнитного поля, момент в тепловом равновесии остается нулевым в любом магнитном поле. ^[8]

Более формальное доказательство

Чтобы снизить сложность доказательства, будет использована система с электронами. ${\displaystyle N}$

Это вполне уместно, поскольку большая часть магнетизма в твердом теле передается электронами, и доказательство легко обобщается на более чем один тип заряженных частиц.

Каждый электрон имеет отрицательный заряд и массу . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle m_{\text{e}}}$

Если его положение и скорость , он создает ток и магнитный момент ^[6] ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {j} =e\mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {\mu } ={\frac {1}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {j} ={\frac {e}{2c}}\mathbf {r} \times \mathbf {v} .}$

Приведенное выше уравнение показывает, что магнитный момент является линейной функцией координат скорости, поэтому полный магнитный момент в заданном направлении должен быть линейной функцией вида

${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {a} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i},}$

где точка представляет собой производную по времени, а векторные коэффициенты зависят от координат положения . ^[6] ${\displaystyle \mathbf {a} _{i}}$ ${\displaystyle \{\mathbf {r} _{i},i=1\ldots N\}}$

Статистика Максвелла–Больцмана дает вероятность того, что n-я частица имеет импульс и координату как ${\displaystyle \mathbf {p} _{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{n}}$

${\displaystyle dP\propto \exp {\left[-{\frac {{\mathcal {H}}(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}{k_{\text{B}}T}}\right]}d\mathbf {p} _{1},\ldots ,d\mathbf {p} _{N}d\mathbf {r} _{1},\ldots ,d\mathbf {r} _{N},}$

где — гамильтониан , полная энергия системы. ^[6] ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

Тепловое среднее любой функции этих обобщенных координат тогда равно ${\displaystyle f(\mathbf {p} _{1},\ldots ,\mathbf {p} _{N};\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}$

${\displaystyle \langle f\rangle ={\frac {\int fdP}{\int dP}}.}$

При наличии магнитного поля,

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m_{\text{e}}}}\sum _{i=1}^{N}\left(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i}\right)^{2}+e\phi (\mathbf {q} ),}$

где - магнитный векторный потенциал , а - электрический скалярный потенциал . Для каждой частицы компоненты импульса и положения связаны уравнениями гамильтоновой механики : ${\displaystyle \mathbf {A} _{i}}$ ${\displaystyle \phi (\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\mathbf {p} }}_{i}&=-\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {r} _{i}\\{\dot {\mathbf {r} }}_{i}&=\partial {\mathcal {H}}/\partial \mathbf {p} _{i}.\end{aligned}}}$

Поэтому,

${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}_{i}\propto \mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i},}$

поэтому момент является линейной функцией импульсов . ^[6] ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mathbf {p} _{i}}$

Тепловой усредненный момент,

${\displaystyle \langle \mu \rangle ={\frac {\int \mu dP}{\int dP}},}$

представляет собой сумму членов, пропорциональных интегралам вида

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }(\mathbf {p} _{i}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} _{i})dP,}$

где представляет собой одну из координат импульса. ${\displaystyle p}$

Подынтегральное выражение является нечетной функцией , поэтому оно обращается в нуль. ${\displaystyle p}$

Следовательно, . ^[6] ${\displaystyle \langle \mu \rangle =0}$

Приложения

Теорема Бора-Ван Лиувена полезна в нескольких приложениях, включая физику плазмы : «Все эти источники основывают свое обсуждение теоремы Бора-Ван Лиувена на физической модели Нильса Бора, в которой идеально отражающие стенки необходимы для обеспечения токов, которые нейтрализуют чистый вклад внутренней части элемента плазмы и приводят к нулевому чистому диамагнетизму для элемента плазмы». ^[9]

Диамагнетизм чисто классической природы встречается в плазме, но является следствием термического неравновесия, например, градиента плотности плазмы. Электромеханика и электротехника также видят практическую пользу в теореме Бора-Ван Леувена.

Ссылки

1. Джон Хасбрук ван Флек сформулировал теорему Бора–Ван Леувена следующим образом: «При любой конечной температуре и во всех конечных приложенных электрических или магнитных полях суммарная намагниченность совокупности электронов, находящихся в тепловом равновесии, тождественно исчезает». (Ван Флек, 1932)
2. Alicki, Robert; Jenkins, Alejandro (2020-10-30). "Квантовая теория трибоэлектричества". Physical Review Letters . 125 (18): 186101. arXiv : 1904.11997 . Bibcode : 2020PhRvL.125r6101A. doi : 10.1103/PhysRevLett.125.186101. hdl : 10669/82347. ISSN  0031-9007. PMID  33196235. S2CID  139102854.
3. Бор, Нильс (1972) [первоначально опубликовано как "Studier over Metallernes Elektrontheori", Københavns Universitet (1911)]. "Докторская диссертация (текст и перевод)". В Rosenfeld, L.; Nielsen, J. Rud (ред.). Early Works (1905-1911) . Niels Bohr Collected Works. Vol. 1. Elsevier . pp. 163, 165–393. doi :10.1016/S1876-0503(08)70015-X. ISBN 978-0-7204-1801-9.
4. Ван Леувен, Хендрика Йоханна (1921). «Проблемы электронной теории магнетизма». Журнал Physique et le Radium . 2 (12): 361–377. doi : 10.1051/jphysrad: 01921002012036100. S2CID  97259591.
5. Ван Флек, Дж. Х. (1932). Теория электрической и магнитной восприимчивости . Clarendon Press . ISBN 0-19-851243-0.
6. Ахарони, Амикам (1996). Введение в теорию ферромагнетизма. Кларендон Пресс . стр. 6–7. ISBN 0-19-851791-2.
7. Ван Флек, Дж. Х. (1992). "Квантовая механика: ключ к пониманию магнетизма (Нобелевская лекция, 8 декабря 1977 г.)". В Lundqvist, Stig (ред.). Нобелевские лекции по физике 1971-1980. World Scientific . ISBN 981-02-0726-3.
8. Фейнман, Ричард П .; Лейтон, Роберт Б.; Сэндс , Мэтью (2006). Лекции Фейнмана по физике . Том 2. Основные книги. стр. 34-8. ISBN 978-0465024940.
9. Рот, Рис (1967). "Устойчивость плазмы и теорема Бора–Ван Лиувена" (PDF) . NASA . Получено 27.10.2008 .

Внешние ссылки

• Начало 20 века: теория относительности и квантовая механика наконец приносят понимание