Конечная импульсная характеристика

Тип фильтра при обработке сигнала

В обработке сигналов фильтр с конечной импульсной характеристикой ( FIR ) — это фильтр , импульсный отклик которого (или отклик на любой входной сигнал конечной длины) имеет конечную длительность, поскольку он устанавливается до нуля за конечное время. В этом отличие от фильтров с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ), которые могут иметь внутреннюю обратную связь и могут продолжать реагировать бесконечно (обычно затухая). ^{[ нужна цитата ]}

Импульсная характеристика (то есть выходной сигнал в ответ на входной дельта Кронекера ) КИХ-фильтра дискретного времени N-го ^{порядка} длится ровно отсчетов (от первого ненулевого элемента до последнего ненулевого элемента), прежде чем он затем установится на ноль. ${\displaystyle N+1}$

КИХ-фильтры могут быть дискретными или непрерывными , цифровыми или аналоговыми .

Определение

КИХ-фильтр дискретного времени прямой формы порядка N . Верхняя часть представляет собой N -ступенчатую линию задержки с N +1 отводами. Каждая единичная задержка представляет собой оператор z ^-1 в обозначениях Z-преобразования .

КИХ-фильтр дискретного времени в форме решетки порядка N . Каждая единичная задержка представляет собой оператор z ^-1 в обозначениях Z-преобразования .

Для причинного КИХ -фильтра с дискретным временем порядка N каждое значение выходной последовательности представляет собой взвешенную сумму самых последних входных значений :

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{N}x[n-N]\\&=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot x[n-i],\end{aligned}}}$

где :

• ${\textstyle x[n]}$входной сигнал,
• ${\textstyle y[n]}$выходной сигнал,
• ${\textstyle N}$– порядок фильтра; фильтр четвертого ^{порядка} имеет члены в правой части ${\textstyle N}$ ${\textstyle N+1}$
• ${\textstyle b_{i}}$— значение импульсной характеристики в i- й момент времени КИХ -фильтра -порядка. Если фильтр представляет собой КИХ-фильтр прямой формы, то это также коэффициент фильтра. ${\textstyle 0\leq i\leq N}$ ${\textstyle N^{\text{th}}}$ ${\textstyle b_{i}}$

Это вычисление также известно как дискретная свертка .

В этих терминах обычно называют ${\textstyle x[n-i]}$Tap s, основанный на структуреответвленной линии задержки, которая во многих реализациях или блок-схемах обеспечивает задержанные входные данные для операций умножения.Например, можно говорить офильтре 5-го порядка/6 отводов

Импульсная характеристика фильтра, как определено, отлична от нуля в течение конечной продолжительности. Включая нули, импульсная характеристика представляет собой бесконечную последовательность :

${\displaystyle h[n]=\sum _{i=0}^{N}b_{i}\cdot \delta [n-i]={\begin{cases}b_{n}&0\leq n\leq N\\0&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Если КИХ-фильтр не является причинным, диапазон ненулевых значений его импульсной характеристики может начинаться до , с соответствующим обобщением определяющей формулы. ${\displaystyle n=0}$

Характеристики

КИХ-фильтр обладает рядом полезных свойств, которые иногда делают его предпочтительнее фильтра с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ). КИХ-фильтры:

• Не требовать обратной связи. Это означает, что любые ошибки округления не усугубляются суммированными итерациями. В каждом расчете возникает одна и та же относительная ошибка. Это также упрощает реализацию.
• Являются по своей сути стабильными , поскольку выходные данные представляют собой сумму конечного числа конечных кратных входных значений, поэтому их значение может быть не более чем в раз больше самого большого значения, появляющегося во входных данных. ${\textstyle \sum |b_{i}|}$
• Может быть легко спроектирован так, чтобы иметь линейную фазу , сделав последовательность коэффициентов симметричной. Это свойство иногда желательно для приложений, чувствительных к фазе, например, для передачи данных, сейсмологии , кроссоверных фильтров и мастеринга .

Основным недостатком КИХ-фильтров является то, что процессору общего назначения требуется значительно большая вычислительная мощность по сравнению с БИХ-фильтром с аналогичной резкостью или избирательностью , особенно когда необходимы срезы на низкой частоте (относительно частоты дискретизации). Однако многие процессоры цифровых сигналов предоставляют специализированные аппаратные функции, позволяющие сделать КИХ-фильтры примерно такими же эффективными, как БИХ-фильтры, для многих приложений.

Частотная характеристика

Влияние фильтра на последовательность описывается в частотной области теоремой о свертке : ${\displaystyle x[n]}$

${\displaystyle \underbrace {{\mathcal {F}}\{x*h\}} _{Y(\omega )}=\underbrace {{\mathcal {F}}\{x\}} _{X(\omega )}\cdot \underbrace {{\mathcal {F}}\{h\}} _{H(\omega )}}$     и     ${\displaystyle y[n]=x[n]*h[n]={\mathcal {F}}^{-1}{\big \{}X(\omega )\cdot H(\omega ){\big \}},}$

где операторы и соответственно обозначают дискретное преобразование Фурье (DTFT) и обратное ему. Следовательно, комплексная мультипликативная функция — это частотная характеристика фильтра . Оно определяется рядом Фурье : ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$ ${\displaystyle H(\omega )}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n}=\sum _{n=0}^{N}b_{n}\cdot \left({e^{i\omega }}\right)^{-n},}$

где добавленный нижний индекс обозначает 2π-периодичность. Здесь представлена ​​частота в нормализованных единицах ( радианы/выборка ). Замена, которую предпочитают многие программы проектирования фильтров, меняет единицы измерения частоты на циклы/выборку , а периодичность на 1. ^[A] Когда последовательность x[n] имеет известную частоту дискретизации, выборки/секунду , замена меняет единицы измерения. частоты в циклы/секунду ( герц ), а периодичность в . Значение соответствует частоте в Гц циклов/выборка , которая является частотой Найквиста . ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega =2\pi f,}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f/f_{s}}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle f_{s}.}$ ${\displaystyle \omega =\pi }$ ${\displaystyle f={\tfrac {f_{s}}{2}}}$ ${\displaystyle ={\tfrac {1}{2}}}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )}$также может быть выражено через Z-преобразование импульсной характеристики фильтра:

${\displaystyle {\widehat {H}}(z)\ \triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }h[n]\cdot z^{-n}.}$

${\displaystyle H_{2\pi }(\omega )=\left.{\widehat {H}}(z)\,\right|_{z=e^{j\omega }}={\widehat {H}}(e^{j\omega }).}$

Конструкция фильтра

КИХ-фильтр разрабатывается путем поиска коэффициентов и порядка фильтра, которые соответствуют определенным спецификациям, которые могут находиться во временной области (например, согласованный фильтр ) и/или в частотной области (наиболее распространенный). Согласованные фильтры выполняют взаимную корреляцию между входным сигналом и известной формой импульса. КИХ-свертка представляет собой взаимную корреляцию между входным сигналом и обращенной во времени копией импульсного отклика. Таким образом, импульсная характеристика согласованного фильтра «проектируется» путем выборки известной формы импульса и использования этих выборок в обратном порядке в качестве коэффициентов фильтра. ^[1]

Когда требуется определенная частотная характеристика, обычно используются несколько различных методов проектирования:

1. Метод оформления окна
2. Метод выборки частоты
3. Метод наименьших MSE (среднеквадратическая ошибка)
4. Метод Паркса – Макклеллана (также известный как метод равной пульсации, оптимальный или минимаксный метод). Алгоритм обмена Ремеза обычно используется для поиска оптимального равноравномерного набора коэффициентов. Здесь пользователь указывает желаемую частотную характеристику, весовую функцию для ошибок этой характеристики и порядок фильтра N. Затем алгоритм находит набор коэффициентов, которые минимизируют максимальное отклонение от идеала. Интуитивно понятно, что это находит фильтр, который максимально близок к желаемому ответу, учитывая, что можно использовать только коэффициенты. Этот метод на практике особенно прост, поскольку по крайней мере один текст ^[2] включает программу, которая берет желаемый фильтр и N и возвращает оптимальные коэффициенты. ${\textstyle N+1}$ ${\textstyle N+1}$
5. КИХ-фильтры Equiripple также могут быть разработаны с использованием алгоритмов ДПФ. ^[3] Алгоритм является итеративным по своей природе. ДПФ исходной конструкции фильтра вычисляется с использованием алгоритма БПФ (если первоначальная оценка недоступна, можно использовать h[n]=delta[n]). В области Фурье, или области ДПФ, частотная характеристика корректируется в соответствии с желаемыми характеристиками, а затем вычисляется обратное ДПФ. Во временной области сохраняются только первые N коэффициентов (остальные коэффициенты устанавливаются равными нулю). Затем процесс повторяется итеративно: ДПФ вычисляется еще раз, коррекция применяется в частотной области и так далее.

Пакеты программного обеспечения, такие как MATLAB , GNU Octave , Scilab и SciPy , предоставляют удобные способы применения этих различных методов.

Метод оформления окна

В методе проектирования окна сначала проектируется идеальный БИХ-фильтр, а затем усекается бесконечная импульсная характеристика путем умножения ее на оконную функцию конечной длины . В результате получается фильтр с конечной импульсной характеристикой, частотная характеристика которого изменена по сравнению с БИХ-фильтром. Умножение бесконечного импульса на оконную функцию во временной области приводит к свертке частотной характеристики БИХ с преобразованием Фурье (или DTFT) оконной функции. Если главный лепесток окна узкий, составная частотная характеристика остается близкой к характеристике идеального БИХ-фильтра.

Идеальный ответ часто имеет прямоугольную форму, а соответствующий БИХ является функцией sinc . В результате свертки частотной области края прямоугольника сужаются, а в полосе пропускания и полосе задерживания появляются пульсации. Двигаясь в обратном направлении, можно указать наклон (или ширину) сужающейся области ( полосы перехода ) и высоту пульсаций и тем самым получить параметры частотной области соответствующей оконной функции. Продолжение возврата к импульсной характеристике можно выполнить, повторяя программу проектирования фильтра, чтобы найти минимальный порядок фильтра. Другой метод состоит в том, чтобы ограничить набор решений параметрическим семейством окон Кайзера , которое обеспечивает отношения замкнутой формы между параметрами временной и частотной областей. В общем, этот метод не позволяет достичь минимально возможного порядка фильтра, но он особенно удобен для автоматизированных приложений, требующих динамического, оперативного проектирования фильтров.

Метод проектирования окна также выгоден для создания эффективных полуполосных фильтров , поскольку соответствующая функция sinc равна нулю в каждой второй точке выборки (кроме центральной). Произведение с оконной функцией не меняет нули, поэтому почти половина коэффициентов итоговой импульсной характеристики равна нулю. Соответствующая реализация КИХ-расчетов может использовать это свойство для удвоения эффективности фильтра.

Метод наименьшей среднеквадратической ошибки (MSE)

Цель:

Чтобы спроектировать КИХ-фильтр в смысле MSE, мы минимизируем среднеквадратическую ошибку между полученным нами фильтром и желаемым фильтром.

${\displaystyle {\text{MSE}}=f_{s}^{-1}\int _{-f_{s}/2}^{f_{s}/2}|H(f)-H_{d}(f)|^{2}\,df}$, где – частота дискретизации, – полученный нами спектр фильтра, – спектр искомого фильтра. ${\displaystyle f_{s}\,}$ ${\displaystyle H(f)\,}$ ${\displaystyle H_{d}(f)\,}$

Метод:

Учитывая N -точечный КИХ-фильтр и . ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle r[n]=h[n+k],k={\frac {(N-1)}{2}}}$

Шаг 1: Предположим, даже симметрично. Тогда дискретное время преобразование Фурье определяется как ${\displaystyle h[n]}$ ${\displaystyle r[n]}$

${\displaystyle R(F)=e^{j2\pi Fk}H(F)=\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)}$

Шаг 2: Рассчитайте среднеквадратическую ошибку.

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF}$

Поэтому,

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}\sum _{n=0}^{k}s[n]\cos(2\pi nF)H_{d}\,dF+\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\,dF}$

Шаг 3. Минимизируйте среднеквадратическую ошибку, выполнив частную производную MSE по отношению к ${\displaystyle s[n]}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\text{MSE}}}{\partial s[n]}}=2\sum _{\tau =0}^{k}s[\tau ]\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)\cos(2\pi \tau F)\,dF-2\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)^{2}\cos(2\pi nF)\,dF=0}$

После организации у нас есть

${\displaystyle s[0]=\int _{-1/2}^{1/2}H_{d}(F)\,dF}$

${\displaystyle s[n]=\int _{-1/2}^{1/2}\cos(2\pi nF)H_{d}(F)\,dF,\ {\text{ for }}n\neq 0}$

Шаг 4. Вернитесь к представлению ${\displaystyle s[n]}$ ${\displaystyle h[n]}$

${\displaystyle h[k]=s[0],h[k+n]=s[n]/2,h[k-n]=s[n]/2,\;for\;n=1,2,3,\ldots ,k,{\text{ where }}k=(N-1)/2}$и ${\displaystyle h[n]=0{\text{ for }}n<0{\text{ and }}n\geq N}$

Кроме того, мы можем по-разному относиться к важности полосы пропускания и полосы задерживания в соответствии с нашими потребностями, добавляя взвешенную функцию. Тогда ошибка MSE становится ${\displaystyle W(f)}$

${\displaystyle {\text{MSE}}=\int _{-1/2}^{1/2}W(F)|R(F)-H_{d}(F)|^{2}\,dF}$

Пример скользящего среднего

Фильтр скользящего среднего — это очень простой КИХ-фильтр. Его иногда называют коробчатым фильтром, особенно если за ним следует прореживание или синхрочастотный фильтр . Коэффициенты фильтра находятся по следующему уравнению: ${\textstyle b_{0},\ldots ,b_{N}}$

${\displaystyle b_{i}={\frac {1}{N+1}}}$

Чтобы предоставить более конкретный пример, мы выбираем порядок фильтра:

${\displaystyle N=2}$

Импульсная характеристика результирующего фильтра :

${\displaystyle h[n]={\frac {1}{3}}\delta [n]+{\frac {1}{3}}\delta [n-1]+{\frac {1}{3}}\delta [n-2]}$

На блок-схеме справа показан фильтр скользящего среднего второго порядка, обсуждаемый ниже. Передаточная функция :

${\displaystyle H(z)={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}z^{-1}+{\frac {1}{3}}z^{-2}={\frac {1}{3}}{\frac {z^{2}+z+1}{z^{2}}}.}$

На следующем рисунке показана соответствующая диаграмма полюс-ноль . Нулевая частота (DC) соответствует (1, 0), положительные частоты продвигаются против часовой стрелки по кругу до частоты Найквиста в точке (-1, 0). Два полюса расположены в начале координат, а два нуля — в точках , . ${\textstyle z_{1}=-{\frac {1}{2}}+j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\textstyle z_{2}=-{\frac {1}{2}}-j{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

Частотная характеристика, выраженная в нормализованной частоте ω , равна :

${\displaystyle {\begin{aligned}H\left(e^{j\omega }\right)&={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}e^{-j\omega }+{\frac {1}{3}}e^{-j2\omega }\\&={\frac {1}{3}}e^{-j\omega }\left(1+2\cos(\omega )\right).\end{aligned}}}$

На рисунке показаны амплитудная и фазовая составляющие . Но подобные графики также можно построить, выполнив дискретное преобразование Фурье (ДПФ) импульсной характеристики. ^[B] А из-за симметрии программное обеспечение для проектирования фильтров или просмотра часто отображает только область [0, π]. График амплитуды показывает, что фильтр скользящего среднего пропускает низкие частоты с коэффициентом усиления, близким к 1, и ослабляет высокие частоты и, таким образом, является грубым фильтром нижних частот . Фазовый график является линейным, за исключением разрывов на двух частотах, где величина стремится к нулю. Размер разрывов равен π, что представляет собой смену знака. Они не влияют на свойства линейной фазы, как показано на последнем рисунке. ${\textstyle H\left(e^{j\omega }\right)}$

Смотрите также

• Электронный фильтр
• Фильтр (обработка сигнала)
• Фильтр с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ)
• Z-преобразование (в частности , линейное разностное уравнение с постоянными коэффициентами )
• Передаточная функция КИХ
• Конструкция фильтра
• Каскадный интегратор – гребенчатый фильтр
• Компактная поддержка

Примечания

1. Исключением является MATLAB, который предпочитает единицы полупериоды/выборки = циклы/2-выборки , поскольку частота Найквиста в этих единицах равна 1, что удобно для построения графиков программного обеспечения, которое отображает интервал от 0 до частоты Найквиста.
2. См. § Выборка DTFT .

Рекомендации

1. Оппенгейм, Алан В., Уиллски, Алан С. и Янг, Ян Т., 1983: Сигналы и системы, стр. 256 (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.) ISBN  0-13-809731-3
2. Рабинер, Лоуренс Р. и Голд, Бернард, 1975: Теория и применение цифровой обработки сигналов (Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Prentice-Hall, Inc.) ISBN 0-13-914101-4 
3. А. Е. Четин, О. Н. Герек, Ю. Ярдимчи, «Разработка FIR-фильтра Equiripple с помощью алгоритма БПФ», журнал IEEE Signal Processing Magazine, стр. 60–64, март 1997 г.